Soal Geometri OSN Matematika SMP 2014

Perhatikan gambar berikut,

Segiempat $ABCD$ adalah segiempat talibusur (segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran). Diketahui $CF$ tegak lurus $AF$, $CE$ tegak lurus $BD$ dan $CG$ tegak lurus $AB$. Apakah pernyataan berikut benar? Tuliskan alasan Anda! $$\begin{equation*} \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CG}+\frac{AD}{CF} \end{equation*}$$

Perhatikan $$\begin{equation*} \angle CDE=\angle CDB=\angle CAB=\angle CAQ \end{equation*}$$ dan $$\begin{equation*} \angle CED=90^\circ=\angle CQA \end{equation*}$$ sehingga $\triangle CDE\sim\triangle ACG$. Akibatnya $$\begin{equation*} \frac{CD}{CE}=\frac{AC}{CG}\Leftrightarrow \frac{CD}{CE\cdot AC}=\frac{1}{CG}\quad ..............(1) \end{equation*}$$ Dengan cara serupa diperoleh pula $\triangle BCE\sim\triangle ACF$ sehingga berlaku hubungan $$\begin{equation*} \frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CF}\Leftrightarrow \frac{BC}{CE\cdot AC}=\frac{1}{CF}\quad ..............(2) \end{equation*}$$ Perlu diingat pula bahwa $ABCD$ adalah segiempat talibusur, sehingga berdasarkan dalil Ptolemy diperoleh $$\begin{equation*} AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC \end{equation*}$$ yang equivalen dengan $$\begin{equation*} \frac{BD}{CE}=AB\left(\frac{CD}{CE\cdot AC}\right)+AD\left(\frac{BC}{CE\cdot AC}\right) \end{equation*}$$ bersama dengan pers.(1) dan pers.(2) diperoleh $$\begin{equation*} \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CG}+\frac{AD}{CF} \end{equation*}$$ seperti yang diharapkan.
Jadi, pernyataan bernilai benar.

Pada limas segitiga $T.ABC$, titik $E,F,G,$ dan $H$ berturut-turut terletak pada $AB,AC,TC,$ dan $TB$ sehingga $EA:EB=FA:FC=HB:HT=GC:GT=2:1$. Tentukan perbandingan volume kedua bagian limas segitiga yang terbagi oleh bidang $EFGH$.

Misalkan $I$ titik pada $AT$ sehingga $IG$ sejajar $AC$. Perpanjangan $FG$ dan $EH$ berpotongan di $P$. Misalkan pula $Q$ dan $R$ berturut-turut titik pada perpanjangan $AB$ dan $AC$ sehingga $PQ$ sejajar $TB$ dan $PR$ sejajar $TC$ seperti pada gambar di bawah ini,

Perhatikan bahwa $EF=\frac{2}{3}BC$ dan $HG=\frac{1}{3}BC$ sehingga $EF=2HG$. Akibatnya $PG=GF, PI=IA, AF=FR, FC=CR$.
Untuk memudahkan misalkan $[ABC]$ menyatakan luas segitiga $ABC$. Misalkan pula $[ABC]=L$, tinggi limas $T.ABC=t$ dan $\text{Volume limas }T.ABC=V$. Jadi $V=\frac{1}{3}Lt$.
Perhatikan bahwa $$\begin{equation*} [AEF]=\left(\frac{2}{3}\right)^2[ABC]=\frac{4}{9}L \end{equation*}$$ dan tinggi limas $P.AEF=\frac{4}{3}t$ sehingga $$\begin{equation*} \text{Volume limas }P.AEF=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}L\cdot\frac{4}{3}t=\frac{16}{27}V \end{equation*}$$ Perhatikan pula $$\begin{equation*} [GHI]=\left(\frac{1}{3}\right)^2[ABC]=\frac{1}{9}L \end{equation*}$$ dan tinggi limas $P.GHI=\frac{2}{3}t$ sehingga $$\begin{equation*} \text{Volume limas }P.GHI=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}L\cdot\frac{2}{3}t=\frac{2}{27}V \end{equation*}$$ Karena tinggi limas $T.GHI=\frac{1}{3}t$ maka diperoleh pula $$\begin{equation*} \text{Volume limas }T.GHI=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}L\cdot\frac{1}{3}t=\frac{1}{27}V \end{equation*}$$ Jadi, Volume limas $T.ABC$ di atas bidang $EFGH$ yaitu $$\begin{equation*} \frac{16}{27}V-\frac{2}{27}V+\frac{1}{27}V=\frac{15}{27}V=\frac{5}{9}V \end{equation*}$$ sehingga Volume limas $T.ABC$ di bawah bidang $EFGH$ adalah $\frac{4}{9}V$.

Oleh karena itu perbandingan Volume limas $T.ABC$ di atas bidang $EFGH$ dan Volume limas $T.ABC$ di bawah bidang $EFGH$ adalah $5:4$.