Segiempat $ABCD$ adalah segiempat talibusur (segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran). Diketahui $CF$ tegak lurus $AF$, $CE$ tegak lurus $BD$ dan $CG$ tegak lurus $AB$. Apakah pernyataan berikut benar? Tuliskan alasan Anda!
$$\begin{equation*}
\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CG}+\frac{AD}{CF}
\end{equation*}$$
Perhatikan
$$\begin{equation*}
\angle CDE=\angle CDB=\angle CAB=\angle CAQ
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{equation*}
\angle CED=90^\circ=\angle CQA
\end{equation*}$$
sehingga $\triangle CDE\sim\triangle ACG$. Akibatnya
$$\begin{equation*}
\frac{CD}{CE}=\frac{AC}{CG}\Leftrightarrow \frac{CD}{CE\cdot AC}=\frac{1}{CG}\quad ..............(1)
\end{equation*}$$
Dengan cara serupa diperoleh pula $\triangle BCE\sim\triangle ACF$ sehingga berlaku hubungan
$$\begin{equation*}
\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CF}\Leftrightarrow \frac{BC}{CE\cdot AC}=\frac{1}{CF}\quad ..............(2)
\end{equation*}$$
Perlu diingat pula bahwa $ABCD$ adalah segiempat talibusur, sehingga berdasarkan dalil Ptolemy diperoleh
$$\begin{equation*}
AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC
\end{equation*}$$
yang equivalen dengan
$$\begin{equation*}
\frac{BD}{CE}=AB\left(\frac{CD}{CE\cdot AC}\right)+AD\left(\frac{BC}{CE\cdot AC}\right)
\end{equation*}$$
bersama dengan pers.(1) dan pers.(2) diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CG}+\frac{AD}{CF}
\end{equation*}$$
seperti yang diharapkan.
Jadi, pernyataan bernilai benar.
Pada limas segitiga $T.ABC$, titik $E,F,G,$ dan $H$ berturut-turut terletak pada $AB,AC,TC,$ dan $TB$ sehingga $EA:EB=FA:FC=HB:HT=GC:GT=2:1$. Tentukan perbandingan volume kedua bagian limas segitiga yang terbagi oleh bidang $EFGH$.
Misalkan $I$ titik pada $AT$ sehingga $IG$ sejajar $AC$. Perpanjangan $FG$ dan $EH$ berpotongan di $P$. Misalkan pula $Q$ dan $R$ berturut-turut titik pada perpanjangan $AB$ dan $AC$ sehingga $PQ$ sejajar $TB$ dan $PR$ sejajar $TC$ seperti pada gambar di bawah ini,
Perhatikan bahwa $EF=\frac{2}{3}BC$ dan $HG=\frac{1}{3}BC$ sehingga $EF=2HG$. Akibatnya $PG=GF, PI=IA, AF=FR, FC=CR$.
Untuk memudahkan misalkan $[ABC]$ menyatakan luas segitiga $ABC$. Misalkan pula $[ABC]=L$, tinggi limas $T.ABC=t$ dan $\text{Volume limas }T.ABC=V$. Jadi $V=\frac{1}{3}Lt$.
Perhatikan bahwa
$$\begin{equation*}
[AEF]=\left(\frac{2}{3}\right)^2[ABC]=\frac{4}{9}L
\end{equation*}$$
dan tinggi limas $P.AEF=\frac{4}{3}t$ sehingga
$$\begin{equation*}
\text{Volume limas }P.AEF=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}L\cdot\frac{4}{3}t=\frac{16}{27}V
\end{equation*}$$
Perhatikan pula
$$\begin{equation*}
[GHI]=\left(\frac{1}{3}\right)^2[ABC]=\frac{1}{9}L
\end{equation*}$$
dan tinggi limas $P.GHI=\frac{2}{3}t$ sehingga
$$\begin{equation*}
\text{Volume limas }P.GHI=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}L\cdot\frac{2}{3}t=\frac{2}{27}V
\end{equation*}$$
Karena tinggi limas $T.GHI=\frac{1}{3}t$ maka diperoleh pula
$$\begin{equation*}
\text{Volume limas }T.GHI=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}L\cdot\frac{1}{3}t=\frac{1}{27}V
\end{equation*}$$
Jadi, Volume limas $T.ABC$ di atas bidang $EFGH$ yaitu
$$\begin{equation*}
\frac{16}{27}V-\frac{2}{27}V+\frac{1}{27}V=\frac{15}{27}V=\frac{5}{9}V
\end{equation*}$$
sehingga Volume limas $T.ABC$ di bawah bidang $EFGH$ adalah $\frac{4}{9}V$.
Oleh karena itu perbandingan Volume limas $T.ABC$ di atas bidang $EFGH$ dan Volume limas $T.ABC$ di bawah bidang $EFGH$ adalah $5:4$.
Artikel Terkait Yang Juga Menarik
geometri
,
latihan osn
,
materi belajar
,
osn 2014
,
osn smp
Pada pernyataan: "Perlu diingat pula bahwa ABCD adalah segiempat talibusur, sehingga berdasarkan dalil Ptolemy diperoleh" apa bisa Pak, jika tidak menggunaan dalil tersebut untuk membuktikannya?.
Pada pernyataan: "Perlu diingat pula bahwa ABCD adalah segiempat talibusur, sehingga berdasarkan dalil Ptolemy diperoleh"
ReplyDeleteapa bisa Pak, jika tidak menggunaan dalil tersebut untuk membuktikannya?.
Bisa dengan murni pakai kesebangunan
DeleteMungkin yang dimaksud persamaan sudut di awal itu adalah:
ReplyDelete<CDE = <CDB = <CAB = <CAG
Bukan,
....= < CAQ