Geometri 03 : Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005

Pada postingan kali ini saya akan memberikan pembahasan soal geometri dari soal OSN Matematika SMA tahun 2005. Akan tetapi sebelumnya akan dibuktikan lemma berikut ini, terlebih dahulu

Pada segitiga $ABC$, dibuat persegi $ABHX$ dan persegi $BCYG$ pada sisi $AB$ dan $BC$. Misalkan titik $E$ dan $F$ berturut-turut adalah pusat persegi $ABHX$ dan persegi $BCYG$. Jika $D$ adalah titik tengah sisi $AC$ buktikan bahwa $ED=DF$ dan $ED\bot DF$

Bukti :

Perhatikan sketsa berikut ini!

Jelas bahwa $BC=BG$ dan $AB=BH$ serta $\angle ABG=\angle HBC$ sehingga $\triangle ABG$ kongruen dengan $\triangle HBC$. Akibatnya $\angle BGA=\angle BCH$. Sehingga $\angle GPC=\angle GBC=90^\circ$. Oleh karena itu $CH\bot AG$.

Perhatikan bahwa $DF$ sejajar dengan $AG$. Demikian pula $DE$ sejajar dengan $CH$. Akibatnya $DF\bot DE$.

Selain itu kita juga ketahui bahwa $$\begin{equation*} DF=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}CH=DE \end{equation*}$$

Jadi terbukti bahwa $ED=DF$ dan $ED\bot DF$.

Nah, saatnya menuju soal utama,

Misalkan $ABCD$ sebuah segiempat konveks. Persegi $AB_1A_2B$ dibuat sehingga kedua titik $A_2,B_1$ terletak di luar segiempat $ABCD$. Dengan cara serupa diperoleh persegi-persegi $BC_1B_2C,CD_1C_2D$ dan $DA_1D_2A$. Misalkan $F$ adalah titik potong $AA_2$ dengan $BB_1$, $G$ adalah titik potong $BB_2$ dan $CC_1$, $I$ adalah titik potong $CC_2$ dengan $DD_1$, dan $H$ adalah titik potong $DD_2$ dengan $AA_1$. Buktikan bahwa $FI$ tegak lurus $GH$.

Penyelesaian :

Misalkan $E$ adalah titik tengah $AC$. Titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah perpotongan $GH$ dengan $EF$ dan $FI$ seperti pada sketsa di bawah ini!

Berdasarkan lemma sebelumnya kita peroleh bahwa $EF=EG$ dan $EF\bot EG$. Demikian pula $EH=EI$ dan $EH\bot EI$. Karena $\angle HEG=\angle HEF+90^\circ=\angle IEF$. Hal ini berakibat $\triangle EGH$ kongruen dengan $\triangle EFI$.

Dari kekongruenan ini diperoleh $\angle EGH=\angle EFI$. Selanjutnya mudah dilihat bahwa $\angle FQG=\angle FEG=90^\circ$.

Jadi terbukti bahwa $FI$ tegak lurus $GH$. Tambahan pula berdasarkan kekongruenan antara $\triangle EGH$ dan $\triangle EFI$ diperoleh $FI=GH$.

Ok, semoga bermanfaat.