Pada postingan kali ini saya akan memberikan pembahasan soal geometri dari soal OSN Matematika SMA tahun 2005. Akan tetapi sebelumnya akan dibuktikan lemma berikut ini, terlebih dahulu
Pada segitiga $ABC$, dibuat persegi $ABHX$ dan persegi $BCYG$ pada sisi $AB$ dan $BC$. Misalkan titik $E$ dan $F$ berturut-turut adalah pusat persegi $ABHX$ dan persegi $BCYG$. Jika $D$ adalah titik tengah sisi $AC$ buktikan bahwa $ED=DF$ dan $ED\bot DF$
Bukti :
Perhatikan sketsa berikut ini!
Jelas bahwa $BC=BG$ dan $AB=BH$ serta $\angle ABG=\angle HBC$ sehingga $\triangle ABG$ kongruen dengan $\triangle HBC$. Akibatnya $\angle BGA=\angle BCH$. Sehingga $\angle GPC=\angle GBC=90^\circ$. Oleh karena itu $CH\bot AG$.
Perhatikan bahwa $DF$ sejajar dengan $AG$. Demikian pula $DE$ sejajar dengan $CH$. Akibatnya $DF\bot DE$.
Selain itu kita juga ketahui bahwa
$$\begin{equation*}
DF=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}CH=DE
\end{equation*}$$
Jadi terbukti bahwa $ED=DF$ dan $ED\bot DF$.
Nah, saatnya menuju soal utama,
Misalkan $ABCD$ sebuah segiempat konveks. Persegi $AB_1A_2B$ dibuat sehingga kedua titik $A_2,B_1$ terletak di luar segiempat $ABCD$. Dengan cara serupa diperoleh persegi-persegi $BC_1B_2C,CD_1C_2D$ dan $DA_1D_2A$. Misalkan $F$ adalah titik potong $AA_2$ dengan $BB_1$, $G$ adalah titik potong $BB_2$ dan $CC_1$, $I$ adalah titik potong $CC_2$ dengan $DD_1$, dan $H$ adalah titik potong $DD_2$ dengan $AA_1$. Buktikan bahwa $FI$ tegak lurus $GH$.
Penyelesaian :
Misalkan $E$ adalah titik tengah $AC$. Titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah perpotongan $GH$ dengan $EF$ dan $FI$ seperti pada sketsa di bawah ini!
Berdasarkan lemma sebelumnya kita peroleh bahwa $EF=EG$ dan $EF\bot EG$. Demikian pula $EH=EI$ dan $EH\bot EI$. Karena $\angle HEG=\angle HEF+90^\circ=\angle IEF$. Hal ini berakibat $\triangle EGH$ kongruen dengan $\triangle EFI$.
Dari kekongruenan ini diperoleh $\angle EGH=\angle EFI$. Selanjutnya mudah dilihat bahwa $\angle FQG=\angle FEG=90^\circ$.
Jadi terbukti bahwa $FI$ tegak lurus $GH$. Tambahan pula berdasarkan kekongruenan antara $\triangle EGH$ dan $\triangle EFI$ diperoleh $FI=GH$.
Ok, semoga bermanfaat.
0 comments :
Post a Comment