tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

08 December 2013

Geometri 02 : Soal Nomor 7 OSN Matematika SMA Tahun 2007

Ditulis Oleh pada 08 December 2013


Titik-titik $A,B,C,D$ terletak pada lingkaran $\Gamma$ sedemikian rupa sehingga $AB$ merupakan garis tengah $\Gamma$, tetapi $CD$ bukan garis tengah $\Gamma$. Diketahui pula bahwa $C$ dan $D$ berada pada sisi yang berbeda terhadap $AB$. Garis singgung terhadap $\Gamma$ di $C$ dan $D$ berpotongan di titik $P$. Titik-titik $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah perpotongan garis $AC$ dengan garis $BD$ dan garis $AD$ dengan garis $BC$.

a. Buktikan bahwa $P,Q$ dan $R$ segaris
b. Buktikan bahwa garis $QR$ tegak lurus terhadap garis $AB$.

Penyelesaian :

Untuk memudahkan perhatikan sketsa gambar di bawah ini!

osn matematika sma 2007 nomor 7

Bagian a,
Perhatikan bahwa $\angle QCR=90^\circ=\angle RDQ$ sehingga $CDRQ$ adalah segiempat tali busur dengan diameter $QR$. Misalkan $E$ adalah titik tengah $QR$. Akan kita tunjukkan bahwa $EC$ dan $ED$ adalah garis singgung lingkaran $\Gamma$. Untuk itu cukup ditunjukkan bahwa $EC\bot CO$ dan $CD\bot DO$.

Perhatikan $$\begin{equation*} \angle ECB=\angle ERC=\angle CDB=\angle CAB=\angle ACO \end{equation*}$$ sehingga $\angle ECO=\angle RCA=90^\circ$.

Dengan cara yang sama diperoleh pula $$\begin{equation*} \angle EDB=\angle EQB=\angle BCD=\angle BAD=\angle ADO \end{equation*}$$ sehingga $\angle EDO=\angle QDA=90^\circ$.

Jadi, terbukti bahwa $EC$ dan $ED$ adalah garis singgung lingkaran $\Gamma$. Akibatnya titik $E$ berhimpit dengan titik $P$. Dengan kata lain $E=P$. Oleh karena itu, terbukti $P,Q$ dan $R$ segaris.

Bagian b,
Perhatikan $\triangle AQR$, $RC\bot AQ$ dan $QD\bot AR$ sehingga perpotongan $RC$ dan $QD$ yaitu titik $B$ adalah titik tinggi $\triangle AQR$. Sehingga jelas $AB\bot QR$.





0 comments :

Post a Comment