Geometri 01 : Dua Lingkaran Luar Segitiga Saling Bersinggungan

Berikut adalah soal yang ditanyakan oleh seseorang di kolom komentar.

Misalkan $A,B,C$ adalah titik pada lingkaran $\Gamma$ dengan pusat $O$. Asumsikan $\angle ABC > 90^\circ$. Misalkan $D$ adalah perpotongan garis $AB$ dengan garis yang tegak lurus dengan $AC$ di $C$. Misalkan $\ell$ adalah garis yang melewati $D$ yang tegak lurus dengan $AO$. Misalkan $E$ adalah perpotongan $\ell$ dengan garis $AC$ dan misalkan $F$ adalah perpotongan $\Gamma$ dengan $\ell$ yang berada diantara $D$ dan $E$. Buktikan bahwa lingkaran luar $\triangle BFE$ dan $\triangle CDF$ saling bersinggungan di $F$.

Penyelesaian :

Perpanjang $DC$ sehingga memotong lingkaran $\Gamma$ di $H$. Misalkan $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah pusat lingkaran luar $\triangle BEF$ dan $\triangle CDF$. Seperti terlihat pada gambar di bawah ini

Perhatikan bahwa $E$ adalah titik tinggi $\triangle DAH$. Oleh karena itu $E$ terletak pada garis $BH$. Untuk membuktikan lingkaran luar $\triangle BEF$ dan $\triangle CDF$ bersinggungan di $F$ cukup ditunjukkan bahwa $P,F,Q$ segaris.

Untuk menunjukkan $P,F,Q$ segaris cukup ditunjukkan $\angle EFP=\angle DFQ$.

Untuk tujuan tersebut kita punya $$\begin{align*} \angle EFP&=90^\circ-\angle ENF\\ &=90^\circ-\angle EBF\\ &=90^\circ-\angle HAF\\ &=\angle AHF\\ &=\angle ACF\\ &=90^\circ-\angle DCF\\ &=90^\circ-\angle DMF\\ &=\angle DFQ \end{align*}$$

Terbukti titik-titik $P,F,Q$ segaris sehingga terbukti bahwa lingkaran luar $\triangle BEF$ dan $\triangle CDF$ bersinggungan di $F$.