tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

07 November 2013

Soal Barisan dan Deret dari Semifinal UNNES 2013 Jenjang SMA

Ditulis Oleh pada 07 November 2013


Pada gelaran olimpiade matematika UNNES kemarin, untuk jenjang SMA pada tahapan semifinal ada tiga soal mengenai barisan dan deret yang lumayan bagus. Satu soal tentang barisan rekursif, satu soal mengenai deret teleskoping dan yang satunya lagi deret yang melibatkan fungsi trigonometri.
Mau tahu soal seperti apa? Yuk mari simak bersama-sama.

Yang pertama mengenai deret teleskoping. Menurut saya ini yang paling mudah dari ketiganya.

Jika diketahui $$\begin{equation*} f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}} \end{equation*}$$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Nilai dari $f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(999999)$ adalah ...

Begitu melihat soal ini yang terpikirkan adalah $n^2-2n+1=(n-1)^2, n^2+2n+1=(n+1)^2$ dan $n^2-1=(n+1)(n-1)$.

Nah terlihat hubungannya bukan? Ada $(n+1)$ dan $(n-1)$. Untuk memudahkan misalkan $\sqrt[3]{n+1}=a$ dan $\sqrt[3]{n-1}=b$. Selanjutnya kita sederhanakan fungsi $f$, sebagai berikut $$\begin{align*} f(n)&=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}}\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}\\ &=\frac{1}{a^2+ab+b^2}\\ &=\frac{a-b}{a^3-b^3}\\ &=\frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}}{(n+1)-(n-1)}\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right) \end{align*}$$ Setelah sampai tahap ini tentu mudah.

$$\begin{align*} &f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(999999)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{4}+\cdots+\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{999998}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{0}\right)\\ &=50 \end{align*}$$

Soal pertama belum susah menurut saya. Masih termasuk mainstream dan biasa. Selanjutnya soal yang kedua berkaitan dengan deret yang melibatkan fungsi trigonometri. Menurut saya lebih susah dari yang pertama. Tapi untungnya pas lihat soal yang kedua ini, saya langsung dapat ide, hehehe

Buktikan bahwa $$\begin{equation*} \cot x-\cot 2^nx=\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} \end{equation*}$$

Begitu lihat soal, saya terpikirkan ini $$\begin{equation*} \cot x-\cot 2^nx=\cot x-\cot 2x+\cot 2x-\cot 4x+\cot 4x-\cdots+\cot 2^{n-1}x-\cot 2^nx \end{equation*}$$

Nah, naturalnya kita mencoba membuktikan $$\begin{equation*} \cot 2^kx-\cot 2^{k+1}x=\frac{1}{\sin 2^{k+1}x} \end{equation*}$$

Dan untungnya tidak susah. Cukup memanfaatkan identitas $\sin 2x=2\sin x\cos x$ dan $\cos 2x=2\cos^2x-1$. $$\begin{align*} \cot 2^kx-\cot 2^{k+1}x&=\frac{\cos 2^kx}{\sin 2^kx}-\frac{\cos 2^{k+1}x}{\sin 2^{k+1}x}\\ &=\frac{2\cos^2 2^kx-(2\cos^2 2^kx-1)}{\sin 2^{k+1}x}\\ &=\frac{1}{\sin 2^{k+1}x} \end{align*}$$ Persis seperti yang kita harapkan.

Jadi, terbukti $$\begin{align*} \cot x-\cot 2^nx&=\cot x-\cot 2x+\cot 2x-\cot 4x+\cot 4x-\cdots+\cot 2^{n-1}x-\cot 2^nx\\ &=\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} \end{align*}$$

Akhirnya sampai pada soal ketiga. Soal tentang deret rekursif. Jujur, saya dapat ide untuk menyelesaikan soal ini lumayan lama. Dan jika harus mengerjakan pas lomba tentu saya tinggal saja soal ini. Bayangkan saja 10 soal isian singkat dan 2 soal uraian dalam waktu 35 menit, hadeh.

Diketahui $a_{n+1}=\dfrac{a_{n-1}}{1+n\cdot a_{n-1}\cdot a_n}$, dengan $n=1,2,3,\cdots$ dan $a_0=a_1=1$. Nilai dari $\dfrac{1}{a_{199}\cdot a_{200}}$ adalah ...

Pertama lihat soal, idenya standar. Mencoba menghitung beberapa suku awal dan berharap dapat pola tertentu. Tapi sayangnya saya tidak dapat banyak hal dari cara pertama ini. Walau tetap ada sih manfaatnya. Setidaknya kita tahu seperti apa barisan yang kita hadapi.

Ini solusi saya untuk soal ini :

Kita bentuk barisan baru yaitu $b_1,b_2,b_3,\cdots$ dengan definisi $$\begin{equation*} b_n=\frac{1}{a_{n-1}\cdot a_n} \end{equation*}$$ Sehingga yang mau kita cari adalah nilai $b_{200}$.

Selanjutnya $$\begin{align*} a_{n+1}=\frac{a_{n-1}}{1+n\cdot a_{n-1}\cdot a_n}&\Leftrightarrow a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac{a_{n-1}\cdot a_n}{1+n\cdot a_{n-1}\cdot a_n}\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{b_{n+1}}=\frac{\frac{1}{b_n}}{1+\frac{n}{b_n}}\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{b_n+n} \end{align*}$$ Jadi diperoleh $b_{n+1}=b_n+n$.

Karena $b_1=1$ maka diperoleh $b_2=2, b_3=4, b_4=7, b_5=11$ dan seterusnya. $\{b_n\}$ adalah barisan aritmatika tingkat dua. Mudah dibuktikan (dan silakan dibuktikan sendiri) bahwa rumus suku ke-$n$ untuk barisan $\{b_n\}$ adalah $$\begin{equation*} b_n=\frac{1}{2}(n^2-n+2) \end{equation*}$$ Sehingga $b_{200}=19901$.

Ok, cukup sekian dulu untuk kali ini. Semoga bermanfaat.





0 comments :

Post a Comment