tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

03 November 2013

Masuk PT : Sifat Sederhana di Barisan Aritmatika (yang sering terlupakan)

Ditulis Oleh pada 03 November 2013


Sudah banyak yang tahu apa itu barisan aritmatika tentunya. Secara sederhana barisan aritmatika ialah barisan yang tiap-tiap sukunya bertambah secara konstan. Pertambahan yang konstan itu biasa disebut dengan istilah beda dan umumnya dilambangkan dengan huruf $b$.

Berdasarkan definisi ini, maka jika suku pertama kita misalkan $a$ diperoleh bentuk umum dari barisan aritmatika sebagai berikut : $$\begin{equation*} a,a+b,a+2b,a+3b,\cdots\cdots \end{equation*}$$

Dalam kesempatan kali ini saya tidak akan membahas tentang rumus mencari $U_n$ maupun $S_n$. Setidaknya untuk kesempatan kali ini, saya mau mengacuhkan dulu keduanya. Lalu apa yang mau dibahas? Hehehe, :), saya mau membahas sifat barisan aritmatika yang sederhana saja. Sangat sederhana sekali. Apa itu? Ini dia

Jika $U_1,U_2,U_3$ adalah tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika maka berlaku $$\begin{equation*} 2U_2=U_1+U_3 \end{equation*}$$

Sederhana sekali bukan? Buktinya juga mudah. Langsung dari definisi barisan aritmatika. Untuk buktinya silakan dicoba sendiri.

Yang harus diberhatikan adalah kalimat "tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika". Kalimat ini jangan ditafsirkan hanya untuk tiga suku pertama barisan aritmatika secara mutlak. Walaupun kita memakai notasi $U_1,U_2,U_3$ bukan berarti hanya berlaku untuk tiga suku pertama. Wawasan kita harus diperluas. Misalkan begini, kita memiliki barisan aritmatika dengan suku terakhir $U_n$ dan suku tengah $U_t$ seperti berikut $$\begin{equation*} U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6,\cdots\cdots, U_{t-1},U_t, U_{t+1},\cdots\cdots, U_{n-2}, U_{n-1},U_n \end{equation*}$$ maka perlu dicatat bahwa tiga bilangan seperti $U_1, U_2, U_3$ jelas membentuk barisan aritmatika. Itu sudah tentu ya. Tapi perlu diperhatikan juga tiga bilangan seperti $U_1, U_3, U_5$ atau $U_2, U_4, U_6$ atau $U_{t-1},U_t, U_{t+1}$ atau $U_{n-2}, U_{n-1},U_n$ bahkan $U_1, U_{t},U_n$ semuanya juga membentuk barisan aritmatika. Jadi, sifat yang kita punya tadi juga berlaku. Artinya kita punya $$\begin{equation*} 2U_3=U_1+U_5, \quad 2U_4=U_2+U_6, \quad 2U_t=U_1+U_n, \end{equation*}$$ dan sebagainya.

Lalu, mungkin ada yang bilang "Lha iya to Mas, kayak gitu masa' dibahas. Sudah jelas to ya." Yupz, betul sekali. Sifat ini sudah jelas dan sangat sederhana. Tetapi banyak yang lupa memanfaatkannya ketika menemui soal. Kebanyakan lebih suka memakai rumus $U_n$ dan menghajarnya dengan aljabar. Tidak salah memang. Akan tetapi dengan memanfaatkan sifat sederhana yang kita bahas tadi, ada beberapa soal (walau mungkin tidak banyak) dapat dikerjakan dengan cara yang lebih indah.

Sebagai ilustrasi kita bahas beberapa soal berikut. Sebagai catatan, soal-soal yang bisa menggunakan sifat ini biasanya soal-soal tes masuk Perguruan Tinggi.

Contoh 1 (SBMPTN 2013). Diketahui $a, b$, dan $c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika. Jika $\frac{a+b+c}{b+1}=4$, maka nilai $b$ adalah ...

Penyelesaian :

Nah, karena $a, b$, dan $c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika maka ketiga bilangan $a,b,c$ juga merupakan "tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika", sehingga berdasarkan sifat yang telah kita pelajari tadi berlaku $2b=a+c$. Oleh karena itu, $$\begin{equation*} \frac{a+b+c}{b+1}=4\Leftrightarrow \frac{3b}{b+1}=4 \Leftrightarrow 3b=4b+4\Leftrightarrow b=-4 \end{equation*}$$

Contoh 2 (SNMPTN 2010). Jika $18, a,b,c,d,e,f,g,-6$ merupakan barisan aritmatika, maka $a+d+g=\cdots$

Penyelesaian :

Berdasarkan sifat yang telah kita pelajari, diperoleh $2d=18+(-6)=12\Rightarrow d=6$. Kita juga punya $2d=a+g$ (lagi-lagi dengan sifat tadi). Oleh karenanya $a+d+g=3d=18$.

Contoh 3 (SMPTN 2008). Misalkan $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika $a_2=8$, maka nilai $a_6$ adalah ...

Penyelesaian :

Berdasarkan sifat yang kita punya maka $2a_2=a_1+a_3$ dan $2a_5=a_4+a_6$ sehingga $$\begin{align*} 75=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=3a_2+3a_5\Leftrightarrow a_2+a_5=25\Leftrightarrow a_5=17 \end{align*}$$ sehingga $3b=U_5-U_2=17-8=9\Rightarrow b=3$. Oleh karena itu $U_6=U_5+b=20$.

Untuk contoh berikut ini, pemakaian sifat di atas tidak terlalu dominan, tetapi hanya mempermudah.

Contoh 4 (SPMB 2005). Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhir 43 dan suku ketiga 13, maka banyak suku deret tersebut adalah ...

Penyelesaian :

Kita punya $2U_t=U_1+U_n\Longrightarrow 2\times 23=U_1+43\Longrightarrow U_1=3$ karena $U_3=13$ maka beda $b=5$. Oleh karena itu $43=U_1+(n-1)b=3+(n-1)5\Longrightarrow n=9$. Jadi, banyak suku deret aritmatika tersebut adalah $9$.

Cukup ini dulu materi singkat dan contoh soal dari saya. Saya sudah lupa contoh-contoh lain. Jika ada yang mau bertanya sehubungan dengan materi barisan aritmatika, terutama mengenai penerapan sifat tadi, saya persilakan bertanya melalui kotak komentar. Semoga bermanfaat.





4 comments :

  1. di bahas soal2 sbmptn 2013 donk mas....

    ReplyDelete
    Replies
    1. OK, nanti klo mood dan ada kesempatan akan saya posting pembahasan SBMPTN 2013, tapi ga janji lho ya

      Delete
  2. atau minta soalnya aja mas....

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya juga ndak punya soal aslinya, saya cuma pernah tahu ada beberapa web yang memberikan soalnya.

      Delete