tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

02 November 2013

Ada yang Tanya, Saya (jika bisa) Menjawab

Ditulis Oleh pada 02 November 2013


Berikut ini adalah dua soal geometri yang ditanyakan Daniel melalui kotak komentar. Khususnya untuk Daniel, saya minta maaf karena baru sempat membuatkan pembahasan atas soal yang ditanyakan. Berikutnya soalnya :

Pada segitiga $ABC$ diketahui garis tinggi $AP, BQ$ dan $CR$ berpotongan di titik $H$. Jika panjang $AH=BC$. Buktikan bahwa $PR$ dan $PQ$ tegak lurus.

Penyelesaian

Untuk mempermudah perhatikan gambar di bawah ini.

geometri-olimpiade-smp-daiel-surabaya-01
Perhatikan $\triangle ARH$ sebangun dengan $\triangle APB$. Demikian pula $\triangle CRB$ sebangun dengan $\triangle APB$. Dari kedua hasil ini kita diperoleh $\triangle ARH$ sebangun dengan $\triangle CRB$, dan karena $AH=BC$ maka $\triangle ARH$ kongruen dengan $\triangle CRB$. Akibatnya $RH=RB$ sehingga $\angle RBH=\angle RHB=45^\circ=\angle CHQ=\angle QCH$.

Perlu diperhatikan pula bahwa segiempat $RHPB$ dan segiempat $CPHQ$ keduanya adalah segiempat talibusur. Oleh karena itu diperoleh $$\begin{align*} \angle RPQ&=\angle RPH+\angle QPH\\ &=\angle RBH+\angle QCH\\ &=45^\circ+45^\circ\\ &=90^\circ \end{align*}$$

Jadi, terbukti $PR$ tegak lurus $PQ$.

Segitiga sama sisi $ABC$ ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari $1$. Titik $M$ dan $N$ berturut-turut adalah pertengahan $AC$ dan $BC$. Perpanjangan $MN$ memotong lingkaran di titik $P$ dengan panjang $NP < MP$. Panjang $NP$ adalah ...

Penyelesaian

Karena lingkaran luar segitiga samasisi $ABC$ memiliki jari-jari $1$ maka panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $\sqrt{3}$ dan tingginya $\frac{3}{2}$.

geometri-olimpiade-smp-daiel-surabaya-02

Misalkan $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $ABC$ maka diperoleh $OC=OP=1$. Perhatikan pula $MN$ sejajar $AB$ sehingga $CG=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ dan $GN=\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$. Kita peroleh pula $OG=OC-CG=\frac{1}{4}$. Dengan teorema phytagoras pada $\triangle OGP$ diperoleh $$\begin{align*} GP^2&=OP^2-OG^2\\ &=1^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\\ &=\frac{15}{16} \end{align*}$$

Jadi, $GP=\frac{1}{4}\sqrt{15}$ dan karenanya diperoleh $NP=GP-GN=\frac{1}{4}\sqrt{15}-\frac{1}{4}\sqrt{3}=\frac{1}{4}(\sqrt{15}-\sqrt{3})$.

Semoga membantu





16 comments :

  1. pak saya ada soal geo..
    mhon dibantu pak...
    misalkan A,B,C adalah titik pada lingkaran T dengan pusat O. Asumsikan sudutABC > 90. misalkan D adalah perpotongan garis AB dengan garis yang tegak lurus dengan AC di C. misalkan l adalah garis yg melewati D yang tegak lurus dengan AO. Misalkan E adalah perpotongan l dengan garis AC dan misalkan F adalah perpotongan T dengan l yang berada diantara D dan E. buktikan bahwa lingkaran luar segitiga BFE dan CDF saling bersinggungan di F
    mohon solusinya pak..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Susah kayaknya, soalnya puaanjaaaang banget ya

      Delete
    2. tpi soalnya menantang pak...

      Delete
    3. Iya sih. Saya belum nyoba sih tapi udah pernah nyoba ngegambar. Idenya sih membuktikan bahwa pusat lingkaran luar $\triangle BFE$ dan $\triangle CDF$ segaris dengan titik $F$ atau ide lain membuktikan ada garis yang melalui $F$ dan garis itu merupakan garis singgung persekutuan kedua lingkaran.
      Ya idenya memang gitu ya, hehe tapi realisasinya saya belum mikir :)

      Delete
    4. Solusi saya bisa dilihat di post ini

      http://www.pintarmatematika.net/2013/12/geometri-01-dua-lingkaran-luar-segitiga.html

      Delete
  2. Waa kerenn banget solusinya... (y)
    Trims pak atas solusinya...

    ReplyDelete
  3. Pak, mohon dibantu untuk membahas soal teorema sisa berikut ini.
    Terima Kasih sebelumnya.

    Jika F(x) dibagi (x+1) sisanya -8, dibagi oleh (x+2) sisanya 2, dan dibagi (x-3) sisanya 12. Berapakah sisanya jika F(x) dibagi oleh (x+1) (x+2) (x-3)








    ReplyDelete
    Replies
    1. $F(-1)=-8, F(-2)=2$ dan $F(3)=12$

      Misal $F(x)=(x+1)(x+2)(x-3)H(x)+ax^2+bx+c$

      Tinggal substitusi $x=-1, x=-2, x=3$, ntar dapet persamaan linier tiga variable

      Delete
  4. Ok. Terima kasih, saya baru ingat lagi sekarang, lama tidak mengaplikasikan math....

    ReplyDelete
  5. pak x+y=2, x^2+y^2=5. gimana penyelesaiannya pak?

    ReplyDelete
  6. Pak saya ada soal aljabar..
    Misalkan (a,b,c) merupakan solusi real dari sistem persamaan
    x^3-xyz = 2
    y^3-xyz = 6
    z^3-xyz = 20
    Tentukan nilai terbesar yang mungkin dari a^3+b^3+c^3 ! Gimana ya penyelesaiannya ??

    ReplyDelete
  7. Pak klo soal geo ini gimana ya ??
    Pada segitiga ABC diketahui panjang sisinya adalah AB=13, BC=14 dan AC=15. Titik P terletak dalam segitiga ABC sehingga <PAC=<PBA=<PCB=x. Nilai dari tanx adalah ?
    trims...

    ReplyDelete
  8. Tolong dibantu jabarkan...
    jika a/b+c + b/a+c + c/a+b = 1,

    berapa nilai untuk a^2/b+c + b^2/a+c + c^2/a+b
    trims..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalikan yang diketahui dengan $a+b+c$

      Delete