Ada yang Tanya, Saya (jika bisa) Menjawab

Berikut ini adalah dua soal geometri yang ditanyakan Daniel melalui kotak komentar. Khususnya untuk Daniel, saya minta maaf karena baru sempat membuatkan pembahasan atas soal yang ditanyakan. Berikutnya soalnya :

Pada segitiga $ABC$ diketahui garis tinggi $AP, BQ$ dan $CR$ berpotongan di titik $H$. Jika panjang $AH=BC$. Buktikan bahwa $PR$ dan $PQ$ tegak lurus.

Penyelesaian

Untuk mempermudah perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan $\triangle ARH$ sebangun dengan $\triangle APB$. Demikian pula $\triangle CRB$ sebangun dengan $\triangle APB$. Dari kedua hasil ini kita diperoleh $\triangle ARH$ sebangun dengan $\triangle CRB$, dan karena $AH=BC$ maka $\triangle ARH$ kongruen dengan $\triangle CRB$. Akibatnya $RH=RB$ sehingga $\angle RBH=\angle RHB=45^\circ=\angle CHQ=\angle QCH$.

Perlu diperhatikan pula bahwa segiempat $RHPB$ dan segiempat $CPHQ$ keduanya adalah segiempat talibusur. Oleh karena itu diperoleh $$\begin{align*} \angle RPQ&=\angle RPH+\angle QPH\\ &=\angle RBH+\angle QCH\\ &=45^\circ+45^\circ\\ &=90^\circ \end{align*}$$

Jadi, terbukti $PR$ tegak lurus $PQ$.

Segitiga sama sisi $ABC$ ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari $1$. Titik $M$ dan $N$ berturut-turut adalah pertengahan $AC$ dan $BC$. Perpanjangan $MN$ memotong lingkaran di titik $P$ dengan panjang $NP < MP$. Panjang $NP$ adalah ...

Penyelesaian

Karena lingkaran luar segitiga samasisi $ABC$ memiliki jari-jari $1$ maka panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $\sqrt{3}$ dan tingginya $\frac{3}{2}$.

Misalkan $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $ABC$ maka diperoleh $OC=OP=1$. Perhatikan pula $MN$ sejajar $AB$ sehingga $CG=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ dan $GN=\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$. Kita peroleh pula $OG=OC-CG=\frac{1}{4}$. Dengan teorema phytagoras pada $\triangle OGP$ diperoleh $$\begin{align*} GP^2&=OP^2-OG^2\\ &=1^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\\ &=\frac{15}{16} \end{align*}$$

Jadi, $GP=\frac{1}{4}\sqrt{15}$ dan karenanya diperoleh $NP=GP-GN=\frac{1}{4}\sqrt{15}-\frac{1}{4}\sqrt{3}=\frac{1}{4}(\sqrt{15}-\sqrt{3})$.

Semoga membantu