tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

13 October 2013

Melihat Kembali (dengan sedikit berbeda) Deret Geometri Takhingga

Ditulis Oleh pada 13 October 2013


Pernah lihat atau bahkan mengerjakan soal seperti ini

Hitunglah nilai dari $$\begin{equation*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{equation*}$$
Yups benar sekali, ini adalah soal tentang deret geometri takhingga.

Dulu ketika saya masih sekolah - setelah dipikir-pikir ternyata sudah lama sekali,he he :) - saya mendapatkan materi ini pertama kali waktu SMA. Di SMP sudah dapat sih materi pengayaan tentang barisan dan deret. Akan tetapi baru sebatas pengenalan dan say hey aja. Baru ketika kelas satu SMA saya mendapat "rumus-rumus gaibnya". Jika dicompare dengan sekarang berbeda jauh. Sekarang mayoritas anak lulusan SMP sudah tahu tentang "rumus-rumus gaib" barisan dan deret aritmatika maupun geometri. Bahkan beberapa anak SD - terutama yang ikut lomba-lomba - juga sudah fasih dengan "rumus-rumus gaib" tersebut.

Jadi bagi yang sudah tahu rumus gaibnya akan dengan cepat menjawab $$\begin{equation*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \end{equation*}$$ selesai. Cepat tepat dan benar. Dan bahkan dijawab dengan tanpa berpikir sama sekali. Luar biasa bukan? Dan inilah mungkin hasil yang diinginkan oleh pendidikan di negara kita. Anak-anak hebat yang bisa menyelesaikan soal (bukan masalah) bahkan dengan tanpa berpikir. Hebat!!!!!

Sejenak mari kita lupakan kebahagiaan kita di atas -punya murid-murid hebat- dan kembali mencoba bertanya lagi masalah berikut :

Coba hitunglah nilai dari $$\begin{equation*} 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{4}+\frac{5}{8}+\frac{6}{16}+\cdots \end{equation*}$$ atau hitunglah nilai $$\begin{equation*} \frac{1}{2}+\frac{1+2}{4}+\frac{1+2+3}{8}+\frac{1+2+3+4}{16}+\cdots \end{equation*}$$
Bagaimana masih bisa? Mau pakai rumus gaibnya juga?

Untuk menjawab kedua soal di atas, saya duga siswa-siswa akan mengalami kesulitan dan kayaknya memang bakal kesulitan. Maka rasa-rasanya kita tidak atau belum pantas untuk berbahagia atau berbangga hati punya murid-murid hebat seperti yang kita bayangkan sebelumnya. Buktinya? Jelas terlihat dari dua masalah di atas. Ternyata dengan merubah soal yang pada dasarnya masih berbau deret geometri takhingga juga, murid-murid kita pasti akan kesulitan. Intinya jika rumus tidak bisa dipakai, tidak bisa pula mengerjakan soal. Padahal di dunia ini mana ada masalah yang sama persis. Masalah di kehidupan nyata selalu dinamis. Berubah setiap saat sesuai perkembangan zaman.

Oleh karena itu, sudah seharusnya mulai sekarang, seorang guru, pendidik atau apalah istilahnya mulai memikirkan dan bekerja keras untuk menciptakan siswa-siswa (yang kelak akan menjadi penerus kita) yang mampu berpikir dan berinovasi untuk menyelesaikan permasalahan. Siswa yang mampu memanfaatkan pengalaman belajar sebelumnya untuk menyelesaikan persoalan pada pelajaran yang lebih sulit. Siswa pemikir bukan penghafal. Tentu ini kerja yang tidak mudah. Dan pasti sangat berat. Saya sendiri juga cuma bisa bercas cis cus belaka.

Ok cukup dulu. Itu tadi masalah berat. Tidak kuat saya melanjutkan. Ada baiknya sekarang kembali ke persoalan sebelumnya. Bagaimana caranya menghitung nilai $$\begin{equation*} 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{4}+\frac{5}{8}+\frac{6}{16}+\cdots \end{equation*}$$ Sebelumnya mari sejenak kita melupakan rumus-rumus gaib seputar deret geometri takhingga yang sudah kita ketahui sebelumnya. Anggap kita tidak punya apa-apa dan tidak tahu apa-apa soal deret geometri takhingga. Ingat TIDAK TAHU APA-APA!!! Dan sekonyong-konyong ada orang yang bertanya, minta bantuan untuk menghitung nilai $$\begin{equation*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{equation*}$$ Yang bertanya pasti kurang kerjaan ini, hahaha :)

Hayo bagaimana kita menyelesaikannya? Anggap ada hadiah besar menanti jika kita bisa membantu menjawab pertanyaan tersebut. Biasanya jika ada iming-iming hadiah otak manusia jadi kreatif dan semangat berpikir. Begitu juga dengan saya.

Ayo berpikir!!!!! (dan harusnya seperti inilah yang namanya belajar). Mungkin ada yang ingat dulu ketika di SD pernah diajari atau pernah mengerjakan soal
Nyatakan bilangan $0,33333\cdots$ dalam bentuk pecahan biasa.
Penyelesaiannya relatif mudah bukan? Misalkan $x=0,33333\cdots$. Lalu karena bagian 'ekor' berulang takhingga maka jika $x$ dikalikan $10$ akan diperoleh bilangan baru yang 'ekornya' masih tetap sama. Jadi nanti bagian 'ekor' yang takhingga itu bisa dihilangkan. Lalu apa mesti dikali $10$? Tentu tidak harus $10$. Bisa saja dikali $100$, $1000$ atau yang lainnya. Yang terpenting bagian 'ekor'nya bisa kita eliminasi. Tetapi naluri alami manusia pasti mencari yang paling mudah. Jadi kalau sudah bisa dikali $10$ saja kenapa harus pakai yang lebih gede? Mesti bisa dan tidak salah, kan jadi tambah repot. Dan saya tidak mau repot. Jadi saya memutuskan dikali dengan $10$ saja. Jika $x$ dikali $10$ kita peroleh $$\begin{equation*} 10x=3,33333\cdots \end{equation*}$$ sehingga $$\begin{align*} 10x&=3,33333\cdots\\ x&=0,33333\cdots\\ --&---------\quad -\\ 9x&=3 \end{align*}$$ Jadi, $x=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

Nah, dari persoalan sederhana di atas, kita memperoleh ide : untuk mencari sesuatu yang ada kaitannya dengan takhingga maka bagian tak hingganya harus dieliminasi. Itu pointnya.

Mari kita coba terapkan ide tersebut pada persoalan menghitung nilai $$\begin{equation*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{equation*}$$ Pertama, caranya sama. Misalkan $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$. Pertanyaannya, $S$ kita kalikan berapa ya supaya diperoleh bilangan baru yang 'ekor'nya masih sama. Coba tebak? Ya, kita kalikan $S$ dengan $2$. Kenapa dapat ide angka $2$? Darimana? Apa dari langit? Tentu bukan.

Coba kita lihat kembali soal yang pecahan tadi. Dari bentuk $x=0,33333\cdots$ akan mudah ditebak jika $x$ dikalikan $10$ maka akan diperoleh bilangan dengan 'ekor' sama. Kenapa? Karena kalau $x$ dikali dengan $10$ maka tanda koma (,) pada nilai $0,33333\cdots$ akan bergeser ke kanan satu angka jadi diperoleh $3,33333\cdots$. Penjelasan seperti ini saya rasa mudah dipahami. Itulah kenapa muncul ide dikali $10$. Lalu apa hubungan hasil ini dengan ide mendapat angka $2$ pada persoalan mencari nilai $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$? Kan keduanya memiliki bentuk berbeda? Yang pertama mudah dilihat, jadi idenya mudah muncul. Sedangkan yang pecahan lebih ribet. Jelas beda donk. Masak sih beda, apa iya? Yakin kalau keduanya bentuknya beda? Coba perhatikan bentuk di bawah ini $$\begin{equation*} 0,33333\cdots=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\cdots \end{equation*}$$ Sekarang sudah terlihat sama bukan? Setiap suku yang dijumlahkan penyebutnya merupakan kelipatan $10$ dari penyebut sebelumnya. Dan ternyata jika dikali dengan $10$ idenya berhasil. Maka akan sangat natural jika untuk bentuk $$\begin{equation*} S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{equation*}$$ maka $S$ kita coba kali dengan $2$ dan ternyata it works. Yess. Selanjutnya mari kita aplikasikan ide tersebut $$\begin{align*} 2S&=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\ S&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\ --&---------------------\quad -\\ S&=2 \end{align*}$$ Dan jreng-jreng!!!! Diperoleh nilai $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots=2$.

Sampai di sini seharusnya ketika ada soal yang senada, walaupun sudah dimodifikasi tentu setidaknya ada ide harus ngapain? Tidak stuck dan tidak berharap ada rumus jatuh dari langit. Sekarang kita sudah tahu bagaimana harus bekerja. Oleh karena itu coba kita lihat kembali dua soal kita yang belum terselesaikan sebelumnya.

Pertama, hitung nilai $$\begin{equation*} 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{4}+\frac{5}{8}+\frac{6}{16}+\cdots \end{equation*}$$ Udah tahu harus bagaimana kan?

Yupz, misalkan $S=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{4}+\frac{5}{8}+\frac{6}{16}+\cdots$ maka kalikan $S$ dengan $2$ diperoleh $$\begin{equation*} 2S=4+3+\frac{4}{2}+\frac{5}{4}+\frac{6}{8}+\frac{7}{16}+\cdots \end{equation*}$$ sehingga diperoleh $$\begin{align*} 2S&=4+3+\frac{4}{2}+\frac{5}{4}+\frac{6}{8}+\frac{7}{16}+\cdots\\ S&=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{4}+\frac{5}{8}+\frac{6}{16}+\cdots\\ --&----------------------\quad -\\ S&=5+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \end{align*}$$ Jadi, tinggal menghitung nilai dari $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$. Yang tentu sudah bisa.

Soal kedua, hitung nilai dari $$\begin{equation*} \frac{1}{2}+\frac{1+2}{4}+\frac{1+2+3}{8}+\frac{1+2+3+4}{16}+\cdots \end{equation*}$$ Idenya masih sama. $$\begin{align*} 2S&=1+\frac{1+2}{2}+\frac{1+2+3}{4}+\frac{1+2+3+4}{8}+\frac{1+2+3+4+5}{16}+\cdots\\ S&=\frac{1}{2}+\frac{1+2}{4}+\frac{1+2+3}{8}+\frac{1+2+3+4}{16}+\cdots\\ --&--------------------------\quad -\\ S&=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\cdots \end{align*}$$ sehingga tinggal menghitung nilai $\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\cdots$ yang tentu juga sudah bisa (seperti kasus soal pertama).

Sampai sejauh ini kita sudah memiliki pengalaman belajar yang lumayan banyak. Jadi, kalau saya bertanya hitunglah nilai dari $$\begin{equation*} a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5+\cdots\cdots \end{equation*}$$ dengan $a$ dan $r$ bilangan real serta $-1 < r < 1$.
Ada yang bisa jawab? Atau setidaknya ada yang punya ide harus memulai dari mana?

Sebagai catatan batasan $-1 < r < 1$ memberi jaminan suku-suku yang dijumlahkan makin lama semakin kecil. Oleh karena itu bentuknya masih mirip dengan contoh-contoh yang kita bahas sebelumnya. Artinya ide yang kita pergunakan tadi seharusnya masih bisa pula dipakai untuk menyelesaikan persoalan terakhir ini.

Oke, sudah dulu ya. Jangan lupa silakan dicoba soal yang terakhir supaya bisa bertemu dengan si rumus gaib, hehehe

Tantangan tambahhan, coba tentukan nilai dari $$\begin{equation*} \frac{1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+5^{-1}+6^{-1}+\cdots}{1^{-1}+3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+\cdots} \end{equation*}$$ (soal ini saya ambil dari buku matematika kelas X SMA kurikulum 2013)





1 comments :

  1. Misalkan 1 + 1/2 + 1/3 + ... = x, jadi 1 + 1/3 + 1/5 + ... = x - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ...)
    1 + 1/3 + 1/5 + ... = x - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ...)
    1 + 1/3 + 1/5 + ... = x - 1/2(1 + 1/2 + 1/3 + ...)
    1 + 1/3 + 1/5 + ... = x - 1/2x = 1/2 x
    Nah, yang ditanya kan 1 + 1/2 + 1/3 + ... dibagi 1 + 1/3 + 1/5 + ...
    Tinggal bagi x dengan 1/2 x yang sama dengan 2.

    ReplyDelete