tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

19 September 2013

Solusi Alternatif : Soal Geometri Nomor 7 OSN Matematika SMA 2013

Ditulis Oleh pada 19 September 2013


Pada postingan kali ini saya ingin mengkhususkan pembahasan pada soal geometri nomor 7 OSN Matematika SMA tahun 2013. Untuk pembahasan soal-soal yang lain silakan klik di sini.

Pada solusi yang saya share sebelumnya, ide solusi untuk nomor 7 terinspirasi dari soal OSN SMA tahun 2008. Menurut saya konstruksinya sangat mirip. Maka muncullah solusi seperti yang saya share tersebut.

Setelah melihat kembali soal nomor 7 tersebut, saya terdorong untuk mencari solusi menggunakan vektor (teringat jajar genjang dan aturan jumlah pada vektor tepatnya). Nah dari ide vektor ini lahirlah solusi alternatif berikut ini, yang pada akhirnya bukan vektor juga, :)

Diberikan jajar genjang $ABCD$. Pada sisi luar jajar genjang, dikonstruksi persegi-persegi $ABC_1D_1, BCD_2A_2, CDA_3B_3$ dan $DAB_4C_4$. Pada sisi-sisi luar $B_4D_1, C_1A_2, D_2B_3$, dan $A_3C_4$ dari segitiga-segitiga $AB_4D_1, BC_1A_2, CD_2B_3$, dan $DA_3C_4$, konstruksi persegi-persegi lagi dengan pusat berturut-turut $O_A, O_B, O_C$ dan $O_D$. Buktikan bahwa $$\begin{equation*} AO_A=BO_B=CO_C=DO_D \end{equation*}$$

Penyelesaian :

Perhatikan gambar di bawah ini!

osn matematika sma 2013 nomor 7

Misalkan $AC$ dan $BD$ berpotongan di titik $P$. Melihat konstruksi soal maka mudah dilihat bahwa $AO_A=CO_C$ dan $BO_B=DO_D$. Cukup rotasi sebesar $180^\circ$ terhadap titik $P$ sebagai bukti. Oleh karena itu, untuk membuktikan $AO_A=BO_B=CO_C=DO_D$ cukup ditunjukkan $AO_A=BO_B$.

Perhatikan bahwa $\triangle AB_4D_1\cong \triangle ABC$ dan $\triangle A_2BC_1\cong \triangle BCD$. Misalkan $Q$ dan $R$ berturut-turut titik tengah sisi $B_4D_1$ dan $A_2C_1$ selanjutnya kita peroleh $$\begin{equation*} \triangle AB_4Q\cong \triangle BCP\cong\triangle A_2BR \end{equation*}$$ Oleh karena itu, $AQ=BP=A_2R=RO_B$, dan $QO_A=B_4Q=PC=BR$ serta $\angle AQB_4=\angle BPC=\angle BRA_2\Longrightarrow \angle AQO_A=\angle BRO_B$ sehingga $$\begin{equation*} \triangle AQO_A\cong \triangle BRO_B \end{equation*}$$ yang berakibat $AO_A=BO_B$. Terbukti.

Ayo monggo dikoreksi solusi alternatif saya di atas. Mungkin ada typo di sana sini atau bahkan proses berfikirnya salah. Karena soalnya jadi relatif mudah jatuhnya untuk ukuran soal nomor 7, jika solusi saya di atas benar peace





5 comments :

  1. cara mengetahui kalo A2R=ROB itu kyk mana y ? masih bingung nih

    ReplyDelete
    Replies
    1. Ingat $O_B$ itu pusat persegi yang dibuat pada sisi $A_2C_1$, sedangkan $R$ titik tengah sisi $A_2C_1$

      Delete
  2. Pak, tolong bantu saya dengan soal geometri ini :
    Garis tinggi AP, BQ dan CR dari segitiga ABC berpotongan di titik H. Jika panjang AH = BC. Buktikan Bahwa PR dan PQ tegak lurus !

    ReplyDelete
    Replies
    1. Tolong pak dibalas :). Trims.

      Delete
  3. Yang ini juga donk.
    Segitiga sama sisi ABC ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari 1. Titik M dan N berurutan adalah pertengahan AC dan BC. Perpanjangan MN memotong lingkaran di titik P dengan panjang NP<MP. Panjang NP adalah ...

    ReplyDelete