tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

21 September 2013

Dalil Ceva dan Ceva Trigonometri

Ditulis Oleh pada 21 September 2013


Pada postingan kali ini saya akan mencoba membahas sedikit mengenai Dalil Ceva. Hal ini termotivasi soal OSN SMA nomor 2 kemarin yang didalamnya memanfaatkan Dalil Ceva. Oleh karena itu, bagi yang belum familiar dengan Dalil Ceva saya akan memberikan penjelasannya kali ini.

Dalil Ceva merupakan salah satu Teorema yang penting di geometri Euclid. Sangat penting terutama ketika berhubungan dengan pembuktian garis-garis yang bertemu di satu titik (konkuren). Berikut bunyi Dalil Ceva tersebut

Teorema 1 (Dalil Ceva). Pada segitiga $ABC$, titik $D,E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC, CA$ dan $AB$. Garis-garis $AD, BE, CF$ bertemu di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika $$\begin{equation*} \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \end{equation*}$$

Bukti :

Bagian Pertama (arak ke kanan). Jika garis-garis $AD, BE, CF$ bertemu di satu titik (konkuren) maka $\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$.

Bukti. Misalkan $AD, BE, CF$ bertemu di titik $P$ seperti terlihat pada gambar di bawah ini

dalil ceva

Perhatikan bahwa $\triangle APF$ dan $\triangle BPF$ serta $\triangle ACF$ dan $\triangle BCF$ masing-masing memiliki tinggi yang sama dengan alasnya berupa $AF$ dan $FB$. Dengan demikian kita peroleh $$\begin{equation*} \frac{AF}{FB}=\frac{[ACF]}{[BCF]}=\frac{[APF]}{[BPF]}=\frac{[ACF]-[APF]}{[BCF]-[BPF]}=\frac{[ACP]}{[BCP]} \end{equation*}$$ Dengan cara serupa diperoleh pula $$\begin{equation*} \frac{BD}{DC}=\frac{[BAP]}{[CAP]},\quad\text{dan}\quad\frac{CE}{EA}=\frac{[CBP]}{[APB]} \end{equation*}$$ Jadi, diperoleh $$\begin{equation*} \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{[ACP]}{[BCP]}\cdot\frac{[BAP]}{[CAP]}\cdot\frac{[CBP]}{[APB]}=1 \end{equation*}$$

Catatan : simbol $[ABC]$ menyatakan luas segitiga $ABC$.

Bagian Kedua (arak ke kiri). Jika berlaku $\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$ maka garis-garis $AD, BE, CF$ bertemu di satu titik (konkuren).

Bukti. Misalkan $AD$ dan $BE$ berpotongan di titik $O$ dan misalkan pula $CO$ memotong sisi $AB$ di $F'$. Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa $F=F'$.
Berdasarkan Bagian Pertama kita peroleh $$\begin{equation*} \frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \end{equation*}$$ dan mengingat berlaku pula $$\begin{equation*} \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \end{equation*}$$ berakibat $$\begin{equation*} \frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB} \end{equation*}$$ sehingga haruslah titik $F$ dan $F'$ keduanya berhimpit. Jadi, terbukti $F=F'$. Sehingga terbukti pula $AD, BE, CF$ bertemu di satu titik (konkuren).

Teorema 2 (Dalil Ceva Versi Trigonometri). Pada segitiga $ABC$, titik $D,E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC, CA$ dan $AB$. Garis-garis $AD, BE, CF$ bertemu di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika $$\begin{equation*} \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}\cdot\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}\cdot\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}=1 \end{equation*}$$

Bukti :

Perhatikan gambar di bawah ini!

dalil ceva trigon

Pada $\triangle CAD$ dan $\triangle BAD$ berdasarkan aturan sinus diperoleh $$\begin{equation*} \frac{DC}{\sin\angle CAD}=\frac{AC}{\sin\angle CDA}\quad\text{dan}\quad\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle BDA} \end{equation*}$$ karena $\sin \angle CDA=\sin\angle BDA$ berakibat $$\begin{equation*} \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}=\frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC} \end{equation*}$$ dengan cara yang sama dapat kita peroleh pula $$\begin{equation*} \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}=\frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB} \end{equation*}$$ dan $$\begin{equation*} \frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}=\frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC} \end{equation*}$$ Oleh karena itu, $$\begin{align*} \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}\cdot\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}\cdot\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}&=\frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC}\cdot\frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB}\cdot\frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC}\\ &=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA} \end{align*}$$ sehingga Teorema 2 equivalen dengan Teorema 1 yang kebenarannya telah kita buktikan sebelumnya.

Sekian cerita singkat tentang Dalil Ceva. Semoga Bermanfaat smile





0 comments :

Post a Comment