tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

10 July 2013

Play With Area : A Geometric Problems From OSN

Ditulis Oleh pada 10 July 2013


Sejak di bangku SD kita telah diajari mencari luas segitiga. Yaitu untuk mencari luas segitiga dapat digunakan rumus setengah alas kali tinggi. Dari rumus sederhana ini dapat dilihat, jika dua segitiga memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luasnya sama dengan perbandingan alas. Fakta ini memang terlihat simple akan tetapi sangat berguna. Untuk mengetahui kegunaannya, mari kita lihat dua soal geometri dari OSN SMA yang berhubungan dengan luas segitiga berikut ini.

[OSN SMA 2009] Pada segitiga $ABC$, titik-titik $D, E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada segmen $BC, CA$ dan $AB$. Nyatakan $P$ sebagai titik perpotongan $AD$ dan $EF$. Tunjukkan bahwa \begin{equation*} \frac{AB}{AF}\times CD+\frac{AC}{AE}\times BD=\frac{AD}{AP}\times BC \end{equation*}

Penyelesaian :

Untuk memudahkan perhatikan sketsa di bawah ini!

osn matematika sma 2009 nomor 3

Perhatikan $\triangle ABC, \triangle ACD$ dan $\triangle ABD$ ketiganya memiliki tinggi yang sama. Oleh karena itu, diperoleh $$\begin{equation*} \frac{[ACD]}{[ABC]}=\frac{CD}{BC}\text{ dan }\frac{[ABD]}{[ABC]}=\frac{BD}{BC}\quad\cdots\cdots*) \end{equation*}$$ Selain itu, $\triangle ABC$ dan $\triangle AEF$, $\triangle ACD$ dan $\triangle AEP$ serta $\triangle AFP$ dan $\triangle ABD$, ketiga pasang segitiga tersebut memiliki satu sudut yang saling berhimpit sehingga diperoleh hubungan $$\begin{equation*} \frac{[AEF]}{[ABC]}=\frac{AE\times AF}{AC\times AB},\quad \frac{[AEP]}{[ACD]}=\frac{AE\times AP}{AC\times AD},\quad\frac{[AFP]}{[ABD]}=\frac{AP\times AF}{AD\times AB},\quad\cdots**) \end{equation*}$$

Dari persamaan *) dan persamaan **) diperoleh $$\begin{align*} &\frac{[AEF]}{[ABC]}\times\frac{[ACD]}{[AEP]}=\frac{AE\times AF}{AC\times AB}\times\frac{AC\times AD}{AE\times AP}\\ &\Leftrightarrow \frac{[AEF]}{[AEP]}\times\frac{CD}{BC}=\frac{AF\times AD}{AB\times AP}\\ &\Leftrightarrow \frac{[AEF]}{[AEP]}=\frac{AF\times AD\times BC}{AB\times AP\times CD} \end{align*}$$ dan $$\begin{align*} &\frac{[AEF]}{[ABC]}\times\frac{[ABD]}{[AFP]}=\frac{AE\times AF}{AC\times AB}\times\frac{AB\times AD}{AF\times AP}\\ &\Leftrightarrow \frac{[AEF]}{[AFP]}\times\frac{BD}{BC}=\frac{AE\times AD}{AC\times AP}\\ &\Leftrightarrow \frac{[AEF]}{[AFP]}=\frac{AE\times AD\times BC}{AC\times AP\times BD} \end{align*}$$

Padahal diketahui pula $[AEP]+[AFP]=[AEF]$, sehingga $$\begin{align*} \frac{[AEP]}{[AEF]}+\frac{[AFP]}{[AEF]}=1&\Leftrightarrow\frac{AB\times AP\times CD}{AF\times AD\times BC}+\frac{AC\times AP\times BD}{AE\times AD\times BC}=1\\ &\Leftrightarrow\frac{AB}{AF}\times CD+\frac{AC}{AE}\times BD=\frac{AD}{AP}\times BC \end{align*}$$

[OSN SMA 2006] Pada segitiga $ABC$, $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$. Sebuah garis $\ell$ melalui $G$ memotong ruas garis $AB$ di $P$ dan ruas garis $AC$ di $Q$, dimana $P\neq B$ dan $Q\neq C$. Jika $[XYZ]$ menyatakan luas segitiga $XYZ$, tunjukkan bahwa \begin{equation*} \frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac{3}{2} \end{equation*}

Penyelesaian :

osn matematika sma 2006 nomor 4

$G$ adalah titik berat $\triangle ABC$ sehingga $AG:GM=2:1$. Oleh karena itu diperoleh $$\begin{align*} \frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}&=\frac{\frac{1}{3}[ABM]}{[PAG]}+\frac{\frac{1}{3}[ACM]}{[QGA]}\\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{AM\times AB}{AG\times AP}+\frac{AM\times AC}{AG\times AQ}\right)\\ &=\frac{1}{3}\times\frac{AM}{AG}\left(\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}\right)\\ &=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\left(\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}\right) \end{align*}$$ Oleh karena itu cukup ditunjukkan bahwa $\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=3$. Padahal berdasarkan hasil dari soal OSN 2009 sebelumnya diperoleh $$\begin{align*} \frac{AB}{AP}\times MC+\frac{AC}{AQ}\times MB=\frac{AM}{AG}\times BC&\Leftrightarrow \frac{AB}{AP}\times MC+\frac{AC}{AQ}\times MC=\frac{3}{2}\times 2MC\\ &\Leftrightarrow \frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=3 \end{align*}$$

Jadi, terbukti bahwa $$\begin{equation*} \frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac{3}{2} \end{equation*}$$





0 comments :

Post a Comment