tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

06 July 2013

Aplikasi Sederhana Kesebangunan dan Kekongruenan Pada Soal Geometri OSN 2002 dan OSN 2010

Ditulis Oleh pada 06 July 2013


Di dalam geometri, kesebangunan dan kekongruenan adalah jiwa dari setiap materi. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan keduanya. Dari yang sederhana sampai dengan yang amat rumit. Soal-soal olimpiade pun demikian. Banyak yang bisa diselesaikan dengan kesebangunan dan kekongruenan. Tentu dengan level kesulitan yang jauh lebih tinggi dari soal-soal di tingkat sekolah.

Kesulitan terbesar untuk menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan dengan kesebangunan dan kekongruenan adalah mencari dan menggunakan kesebangunan dan kekongruenan itu sendiri. Tidak mudah mencari adanya kesebangunan atau kekongruenan antara dua bangun. Terlebih lagi, tidak mudah mencari kesebangunan mana yang mau dipakai. Semuanya butuh latihan dan pembiasaan yang panjang. Sampai tulisan ini dibuat, saya pun masih sering kebingungan dan buntu ketika dihadapkan dengan soal yang demikian. Akan tetapi, selalu belajar dan tidak mudah menyerah adalah kuncinya.

Pada postingan kali ini, saya sertakan dua contoh soal olimpiade yang berhubungan dengan kesebangunan dan kekongruenan pada segitiga. Keduanya saya ambil dari OSN SMA tahun 2002 dan 2010. Mari kita coba lihat keduanya,

[OSN SMA 2002] Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC > BC$. Pada lingkaran luar segitiga $ABC$ terletak titik $D$ yang merupakan titik tengah busur $AB$ yang memuat titik $C$. Misalkan $E$ adalah titik pada $AC$ sehingga $DE$ tegak lurus pada $AC$. Buktikan bahwa $AE=EC+CB$.

Penyelesaian :

Misalkan $F$ terletak pada perpanjangan $BC$ sehingga $CF=CE$. Seperti pada gambar di bawah ini.

osn matematika sma 2002 nomor 4

Karena $D$ terletak pada pertengahan busur $AB$ maka $\angle ABD=\angle BAD$. Oleh karena itu $\triangle ABD$ adalah segitiga samakaki dengan $AD=BD$.

Perhatikan juga $$\begin{align*} \angle DCF&=180^\circ-(\angle BCE+\angle DCE)\\ &=180^\circ-(\angle ADB+\angle ABD)\\ &=\angle BAD\\ &=\angle ABD\\ &=\angle ECD \end{align*}$$ dan karena $CE=CF, AD=AD$ maka $\triangle CDE$ kongruen dengan $\triangle CDF$. Hal ini berakibat $\angle CFD=\angle CED=\angle AED$. Padahal kita ketahui $\angle DAE=\angle DBF$ dan $AD=BD$, sehingga $\triangle ADE$ kongruen dengan $\triangle BDF$. Oleh karenanya, $AE=BF=BC+CF=BC+CE$ seperti yang diharapkan.

[OSN SMA 2010] Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AC > BC$ dan titik pusat lingkaran luar $O$. Garis tinggi segitiga $ABC$ dari $C$ memotong $AB$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ lagi berturut- turut di titik $D$ dan $E$. Garis melalui $O$ sejajar $AB$ memotong garis $AC$ di titik $F$. Buktikan bahwa garis $CO$, garis melalui $F$ tegak lurus $AC$, dan garis melalui $E$ sejajar $DO$ bertemu di satu titik.

Penyelesaian :

Misalkan garis $CO$ dan garis melalui $F$ tegak lurus $AC$ berpotongan di titik $P$. Misalkan pula perpanjangan $CP$ memotong lingkaran di $Q$ (seperti pada gambar di bawah ini)

osn matematika sma 2010 nomor 2

Untuk menunjukkan bahwa ketiga garis yang dimaksud berpotongan di satu titik ( dalam hal ini titik $P$) maka cukup ditunjukkan bahwa $OD$ sejajar $PE$.

Perhatikan bahwa $CQ$ adalah diameter lingkaran, sehingga $\angle CAQ=90^\circ=\angle CFP$. Akibatnya $\angle CPF=\angle CQA$. Padahal $\angle CQA=\angle ABC$, sehingga diperoleh $\angle CPF=\angle ABC$. Oleh karena itu, $\triangle CFP$ sebangun dengan $\triangle CBD$. Sehingga berlaku $$\begin{equation*} \frac{BC}{CP}=\frac{CD}{CF}\Longleftrightarrow BC\cdot CF=CD\cdot CP\quad\cdots\cdots *) \end{equation*}$$

Selanjutnya, perhatikan juga bahwa $\angle BEC=\angle BAC=\angle CFO$ sehingga $\triangle CBE$ sebangun dengan $\triangle CFO$. Sehingga berlaku pula $$\begin{equation*} \frac{CF}{CE}=\frac{CO}{BC}\Longleftrightarrow BC\cdot CF=CO\cdot CE\quad\cdots\cdots **) \end{equation*}$$

Dari persamaan *) dan **) diperoleh $$\begin{equation*} CD\cdot CP=CO\cdot CE\Longleftrightarrow \frac{CD}{CE}=\frac{CO}{CP} \end{equation*}$$ Akibatnya $\triangle COD$ sebangun dengan $\triangle CPE$. Sehingga terbukti $OD$ sejajar $PE$.

Jadi, terbukti garis $CO$, garis melalui $F$ tegak lurus $AC$, dan garis melalui $E$ sejajar $DO$ bertemu di titik $P$.

Demikian sedikit pembahasan yang dapat saya berikan. Mohon dikoreksi jika ada kesalahan. Dan tentu saja, kedua soal di atas bisa diselesaikan dengan bantuan trigonometri maupun secara analitik. Akan tetapi, solusi dengan pure geometry saya anggap selalu lebih elegan dan lebih cantik diantara ketiganya.





0 comments :

Post a Comment