Soal Nomor 9 OSN Matematika SMP 2013
Pada suatu acara diundang 13 tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut.
Penyelesaian :
Terlebih dahulu atur tempat duduk 8 pria dalam satu baris yaitu ada $8!$ cara. Selanjutnya kelima wanita tersebut dapat ditempatkan di sela - sela tempat duduk laki - laki, yaitu ada 9 pilihan tempat duduk yang dapat dipilih oleh kelima wanita tersebut, seperti gambar berikut
Sehingga cara mengatur tempat duduk kelima wanita tersebut adalah $9\times8\times7\times6\times5=15120$ cara. Jadi, total banyak posisi duduk yang mungkin dari ketiga belas tamu istimewa tersebut adalah $15120\times8!$ cara.
Alternatif lain :
ReplyDeletePersoalan ini setara dengan memilih 5 angka dari 1 s.d 13 namun tidak ada angka yang berdekatan. Contoh angka-angkanya : (1,3,5,7,9) ; (1,3,5,7,10) ; (1,4,6,9,13) dst.
Jika angkanya boleh berdekatan maka jawabannya gampang. Cukup ngitung 13C5. Kalikan dengan 5! 8! karena Pak Tutur pun mengasumsikan tamu istimewanya tidak ada yng identik..
Bagaimana cara kita menyderhanakan persoalan ini ?
Asumsikan nomor kursi wanita ke-j lebih besar dari wanita ke-i degan j>i.
Kurangi nomor kursi yang memungkinkan dari wanita ke-j dengan j-1.
Jadi, nomor kursi wanita ke-2 kurangi dengan 1, nomor kursi wanita ke-3 dikurangi 2 hingga nomor kursi wanita ke-5 dikurangi dengan 4.
Maka akan didapat nomor kursi yang berbeda namun boleh jadi berdekatan. Perbedaan dengan sebelumnya adalah nomor kursi wanita ke-5 yang semula maksimal 13 menjadi maksimal 9.
Maka persoalan setara dengan memilih 5 nomor berbeda dari 1 s.d 9 namun tidak ada persyaratan
Kesimpulannya : Banyaknya susunan = 9C5 * 5! * 8!.