tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

21 June 2013

Solusi Nomor 8 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Ditulis Oleh pada 21 June 2013


Soal Nomor 8 OSN Matematika SMP 2013

Diketahui $TABC$ adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik - titik $P,Q,R$ dan $S$ berturut - turut merupakan titik berat segitiga $ABC$, segitiga $TAB$, segitiga $TBC$ dan segitiga $TCA$. Tentukan volume limas segitiga beraturan $PQRS$. Catatan : titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat.


Penyelesaian :

Untuk membuat visualisasi soal ini dalam bentuk tiga dimensi relatif susah. Oleh karena itu, kita ambil titik $P$ dan $S$ sebagai wakilnya (seperti pada gambar di bawah ini).

osn matematika smp 2013 nomor 8

Perhatikan bahwa $TP$ dan $DP$ berturut - turut adalah tinggi limas segitiga beraturan $TABC$ dan $PQRS$. Dan karena bidang $ABC$ dan $PQR$ sejajar maka $EP// SD$. Hal ini beakibat $\triangle TEP$ sebangun dengan $\triangle TSD$. Dan karena $\dfrac{TS}{SE}=2$ diperoleh $\dfrac{TP}{DP}=3$.

Selanjutnya, kita hitung terlebih dahulu volume limas segitiga beraturan $TABC$. Perhatikan kembali gambar di atas. Segitiga $ABC$ adalah segitiga samasisi sehingga $BE$ adalah garis berat dan sekaligus garis tinggi. Oleh karena itu dengan pytagoras diperoleh $BE=\sqrt{3}$ sehingga $BP=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. Sekali lagi dengan bantuan pytagoras pada $\triangle BPT$ diperoleh $TP=\sqrt{\frac{8}{3}}$. Sehingga volume limas segitiga beraturan $TABC$ yaitu $$\begin{align*} \text{Volume Limas TABC }&=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times AC\times BE \times TP\\ &=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times2\times \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{8}{3}}\\ &=\frac{1}{3}\sqrt{8}\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{align*}$$

Mengingat limas $TABC$ sebangun dengan limas $PQRS$, diperoleh $$\begin{align*} \text{Volume Limas PQRS }&=\left(\frac{DP}{TP}\right)^3\times \text{Volume Limas TABC }\\ &=\left(\frac{1}{3}\right)^3\times \frac{2\sqrt{2}}{3}\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{81} \end{align*}$$ Jadi, volume limas segitiga beraturan $PQRS$ adalah $\dfrac{2\sqrt{2}}{81}$ cm$^2$.





0 comments :

Post a Comment