Solusi Nomor 7 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Soal Nomor 7 OSN Matematika SMP 2013

Diketahui parabola $y=ax^2+bx+c$ melalui titik $(-3,4)$ dan $(3,16)$, serta tidak memotong sumbu-$X$. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.

Penyelesaian :

Karena parabola tersebut melalui titik $(-3,4)$ dan $(3,16)$ diperoleh $$\begin{align*} 9a-3b+c&=4\quad\cdots\cdots\cdots(1)\\ 9a+3b+c&=16\quad\cdots\cdots\cdots(2) \end{align*}$$ dari persamaan (1) dan (2) di atas diperoleh $6b=12\Leftrightarrow b=2$.

Perhatikan juga bahwa parabola tersebut tidak memotong sumbu-$X$ oleh karena itu diskriminan dari $y=ax^2+bx+c$ kurang dari nol, $$\begin{equation*} b^2-4ac < 0\Leftrightarrow 4-4ac < 0\Leftrightarrow ac > 1\quad\cdots\cdots(3) \end{equation*}$$ Selain itu, dari persamaan (1) dan $b=2$ diperoleh pula $c=10-9a$. Jika nilai $c=10-9a$ disubstitusikan ke pertidaksamaan (3) diperoleh, $$\begin{align*} a(10-9a) > 1&\Leftrightarrow 9a^2-10a+1 < 0\\ &\Leftrightarrow (9a-1)(a-1) < 0 \end{align*}$$ sehingga diperoleh $\dfrac{1}{9} < a < 1$.

Misalkan absis dari titik puncak parabola tersebut adalah $x_p$, kita ketahui bahwa $x_p=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2}{2a}=-\dfrac{1}{a}$ dan karena $\dfrac{1}{9} < a < 1$ maka diperoleh $-9 < x_p < -1$.

Jadi, kemungkinan nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut adalah $-9 < x_p < -1$.