tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

05 June 2013

Solusi Nomor 6 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Ditulis Oleh pada 05 June 2013


Soal Nomor 6 OSN Matematika SMP 2013

Apakah ada bilangan asli $n$ sehingga $n^2+5n+1$ habis dibagi oleh $49$? Jelaskan!


Penyelesaian : Tidak ada bilangan asli $n$ yang memenuhi

Kita buktikan dengan kontradiksi. Andaikan terdapat bilangan asli $n$ sehingga $49\bigl|n^2+5n+1$. Karena $49\bigl|n^2+5n+1$ maka berakibat $7\bigl|n^2+5n+1=(n-1)(n+6)+7$ sehingga $7\bigl|(n-1)$ atau $7\bigl|(n+6)$. Akan tetapi $7\bigl|(n+6)-(n-1)=7$. Dengan kata lain, $7\bigl|(n-1)$ dan $7\bigl|(n+6)$. Oleh karena itu, diperoleh $49\bigl|(n-1)(n+6)$. Dan karena $49\bigl|(n-1)(n+6)+7$ maka diperoleh $49\bigl|7$ yang jelas tidak mungkin. Jadi, terbukti tidak ada bilangan asli $n$ sehingga $49\bigl|n^2+5n+1$.

Selain dengan cara di atas ( yang menurut saya harus sedikit kreatif ), ada cara lain yang lebih umum dan mudah dilihat. Yaitu dengan bekerja pada modulo 7 dan membagi kasus. Ada 7 kasus untuk pilihan $n$ yang mungkin yaitu

  1. $n\equiv 0\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv1\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
  2. $n\equiv 1\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv1+5+1\equiv7\equiv0\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini ada kemungkinan memenuhi.
  3. $n\equiv 2\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv4+10+1\equiv15\equiv1\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
  4. $n\equiv 3\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv9+15+1\equiv25\equiv4\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
  5. $n\equiv 4\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv16+20+1\equiv37\equiv2\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
  6. $n\equiv 5\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv25+25+1\equiv51\equiv2\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
  7. $n\equiv 6\text{ mod }7$.
    Sehingga $n^2+5n+1\equiv36+30+1\equiv67\equiv4\text{ mod }7$. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
Jadi, satu - satunya bilangan asli $n$ yang mungkin adalah $n\equiv 1\text{ mod }7$ atau $n=7k+1$ untuk suatu bilangan bulat nonnegatif $k$. Akan tetapi untuk $n=7k+1$ diperoleh $$\begin{equation*} (7k+1)^2+5(7k+1)+1=49k^2+14k+1+35k+5+1=49(k^2+k)+7 \end{equation*}$$ yang jelas tidak habis dibagi oleh $49$. Jadi, dapat disimpulkan tidak ada bilangan asli $n$ sehingga $49\bigl|n^2+5n+1$.





5 comments :

  1. pak mau nannya soal nih
    Banyaknya pasangan bilangan prima $(p,q)$ yang memenuhi $p^2-q^3$ dan $p^3-q^2$ merupakan bilangan kuadrat adalah

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalau tidak salah corat coret kayaknya tidak ada deh.

      Bilangan prima yang memenuhi $p^2-q^3=k^2$ hanya $p=3, q=2$ sedang ini menyebabkan $p^3-q^2$ bukan kuadrat sempurna

      Delete
    2. Terima Kasih ya pak

      Delete
  2. Mau nanya lagi nih pak
    Diketahui $a$ merupakan bilangan bulat. Barisan $x_0,x_1,x_3,...$ memeuhi:
    $x_n=2x_{n-1}-4x_{n-2}+3,\forall n>1$
    Jika $x_0=a$ dan $x_1=3$ maka bilangan bulat terbesar $k$ dengan sifat terdapat bilangan prima $p$ dengan $p^{k_0}$ membagi habis $x_{2011}-1$

    ReplyDelete
    Replies
    1. Mungkin dicari rumus explicit dari $x_n$ dulu saja. Bisa dengan melihat pola (butuh kreatifitas kalau yang ini dan bisa saja tidak berhasil) atau bisa dengan Generating Function.

      Jika sudah ketemu bentuk $x_n$ kayaknya lebih mudah dilihat.

      Catatan : ini semua baru ide, saya belum corat-coret sama sekali. Jadi, bisa jadi it doesn't work

      Delete