tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

05 June 2013

Solusi Nomor 5 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Ditulis Oleh pada 05 June 2013


Soal Nomor 5 OSN Matematika SMP 2013

Terdapat tiga buah kotak $A,B$ dan $C$ masing - masing berisi tiga bola berwarna putih dan dua bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut :

  1. Tahap ke-1
    • Ambil satu bola dari kotak $A$.
  2. Tahap ke-2
    • Jika bola yang terambil dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $B$. Selanjutnya dari kotak $B$ diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $C$. Sedangkan, jika yang terambil adalah bola berwarna merah maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $A$.
    • Jika bola yang terambil dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $C$. Selanjutnya dari kotak $C$ diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $A$. Sedangkan, jika yang terambil adalah bola berwarna merah maka bola tersebut dimasukkan ke kotak $B$.
  3. Tahap ke-3
    • Ambil satu bola dari masing - masing kotak $A,B$ dan $C$.
Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada Tahap ke-3 berwarna merah?


Penyelesaian :

Berdasarkan tahap - tahap yang diberikan pada soal maka bagi menjadi 4 kasus, sebagai berikut :

  1. Tahap ke-1 terambil bola berwarna putih dari kotak $A$ dan Tahap ke-2 terambil bola berwarna putih dari kotak $B$.
    Peluang terambil bola putih dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 adalah $\dfrac{3}{5}$. Selanjutnya kotak $B$ berisi 4 bola putih dan 2 bola merah, sehingga peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke-2 adalah $\dfrac{4}{6}$. Pada Tahap ke-3, kotak $A$ berisi 2 bola putih dan 2 bola merah, kotak $B$ berisi 3 bola putih dan 2 bola merah, kotak $C$ berisi 4 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke-3 adalah $\dfrac{2}{4}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{6}$.
    Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah $$\begin{equation*} \frac{3}{5}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{4}\times\frac{2}{5}\times\frac{2}{6}=\frac{2}{75} \end{equation*}$$
  2. Tahap ke-1 terambil bola berwarna putih dari kotak $A$ dan Tahap ke-2 terambil bola berwarna merah dari kotak $B$.
    Peluang terambil bola putih dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 adalah $\dfrac{3}{5}$. Selanjutnya kotak $B$ berisi 4 bola putih dan 2 bola merah, sehingga peluang terambil bola berwarna merah pada Tahap ke-2 adalah $\dfrac{2}{6}$. Pada Tahap ke-3, kotak $A$ berisi 2 bola putih dan 3 bola merah, kotak $B$ berisi 4 bola putih dan 1 bola merah, kotak $C$ berisi 3 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke-3 adalah $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{2}{5}$.
    Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah $$\begin{equation*} \frac{3}{5}\times\frac{2}{6}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{625} \end{equation*}$$
  3. Tahap ke-1 terambil bola berwarna merah dari kotak $A$ dan Tahap ke-2 terambil bola berwarna putih dari kotak $C$.
    Peluang terambil bola merah dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 adalah $\dfrac{2}{5}$. Selanjutnya kotak $C$ berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, sehingga peluang terambil bola berwarna putih pada Tahap ke-2 adalah $\dfrac{3}{6}$. Pada Tahap ke-3, kotak $A$ berisi 4 bola putih dan 1 bola merah, kotak $B$ berisi 3 bola putih dan 2 bola merah, kotak $C$ berisi 2 bola putih dan 3 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke-3 adalah $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5}$.
    Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah $$\begin{equation*} \frac{2}{5}\times\frac{3}{6}\times\frac{1}{5}\times\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{625} \end{equation*}$$
  4. Tahap ke-1 terambil bola berwarna merah dari kotak $A$ dan Tahap ke-2 terambil bola berwarna merah dari kotak $C$.
    Peluang terambil bola merah dari kotak $A$ pada Tahap ke-1 adalah $\dfrac{2}{5}$. Selanjutnya kotak $C$ berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, sehingga peluang terambil bola berwarna merah pada Tahap ke-2 adalah $\dfrac{3}{6}$. Pada Tahap ke-3, kotak $A$ berisi 3 bola putih dan 1 bola merah, kotak $B$ berisi 3 bola putih dan 3 bola merah, kotak $C$ berisi 3 bola putih dan 2 bola merah. Sehingga peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada Tahap ke-3 adalah $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}$.
    Jadi, peluang terambil ketiga bola berwarna merah pada kasus ini adalah $$\begin{equation*} \frac{2}{5}\times\frac{3}{6}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}=\frac{1}{100} \end{equation*}$$
Dari keempat kasus di atas maka total peluang terambil 3 bola berwarna merah pada Tahap ke-3 yaitu $$\begin{equation*} \frac{2}{75}+\frac{6}{625}+\frac{6}{625}+\frac{1}{100}=\frac{419}{7500} \end{equation*}$$







0 comments :

Post a Comment