tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

30 June 2013

Soal Geometri Dari OSN SMA 2010 dan JBMO 2013

Ditulis Oleh pada 30 June 2013


Pada kesempatan kali ini, saya akan membahas dua soal geometri setingkat soal olimpiade. Dua soal tersebut saya ambil dari OSN Matematika SMA tahun 2010 dan JBMO (Junior Balkan Mathematical Olympiad) tahun 2013.

Sebelumnya akan dibuktikan terlebih dahulu sebuah lemma kecil yang saya butuhkan dalam kedua solusi yang saya buat. Mungkin lemma ini sudah sangat well known bagian sebagian orang. Namun, saya berpendapat banyak juga yang belum tahu. Padahal lumayan berguna untuk menyelesaikan beberapa soal. Oleh karena itu, mari kita pelajari terlebih dahulu. Berikut lemma tersebut,

Lemma. Pada segitiga $ABC$, $O$ adalah pusat lingkaran luar dengan jari - jari $R$. Titik $H$ adalah titik tinggi yaitu titik potong ketiga garis tinggi segitiga $ABC$. Jika $D$ adalah titik tengah ruas garis $BC$ maka $AH=2OD$.
Bukti. Misalkan $AE$ dan $BF$ berturut - turut adalah garis tinggi dari titik $A$ dan $B$, seperti gambar di bawah ini,
lemma untuk osn matematika sma 2010

Perhatikan bahwa $\angle BOD=\angle A$ dan $\angle AHF=\angle C$. Selanjutnya diperoleh $$\begin{equation*} OD=R\cos \angle A \end{equation*}$$ dan pada $\triangle AHF$ diperoleh pula $$\begin{align*} \sin \angle AHF=\frac{AF}{AH}&\Leftrightarrow AH=\frac{AF}{\sin \angle C}\\ &\Leftrightarrow AH=\frac{AB\cos \angle A}{\sin \angle C}\\ &\Leftrightarrow AH=2R\cos A=2OD \end{align*}$$

Selanjutnya mari kita lihat dua soal yang saya maksud tadi.

[OSN SMA 2010] Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik pusat lingkaran luar $O$ dan titik tinggi $H$. Misalkan $K$ sebarang titik di dalam segitiga $ABC$ yang tidak sama dengan $O$ maupun $H$. Titik $L$ dan $M$ terletak di luar segitiga $ABC$ sedemikian sehingga $AKCL$ dan $AKBM$ jajaran genjang. Terakhir, misalkan $BL$ dan $CM$ berpotongan di titik $N$ dan misalkan juga $J$ adalah titik tengah $HK$. Buktikan bahwa $KONJ$ jajaran genjang.

Ketika membaca soal geometri yang panjang seperti di atas, kesan pertama yang muncul adalah susah dan ribet. Demikian pula dengan yang saya alami. Pusing, bingung dan tidak tahu mau ngapain. Jadi, saran saya untuk setiap soal geometri yang kita hadapi, pertama adalah visualisasikan persoalan dalam gambar. Usahakan menggambar sebaik-baiknya. Walaupun belum tentu menolong, setidaknya dapat lebih menyederhanakan masalah.

Oleh karena itu, perhatikan gambar di bawah ini

gambar untuk  soal nomor delapan osn sma 2010

Ending dari soal adalah menunjukkan bahwa $KONJ$ jajar genjang. Hal ini bisa ditunjukkan dengan membuktikan $KO// NJ$ dan $JK//ON$. Atau juga bisa dengan menunjukkan $JK//ON$ dan $JK=ON$.

Mari lihat kembali apa yang kita punya. Pertama $AKCL$ dan $AKBM$ adalah jajar genjang. Sehingga diperoleh $AK//CL$ dan $AK=CL$. Demikian pula $AK//BM$ dan $AK=BM$. Nah, dari dua hal ini kita peroleh keterangan baru yaitu $CL//BM$ dan $CL=BM$. Oleh karenanya, $BMLC$ adalah jajar genjang. Dan karena $N$ adalah perpotongan kedua diagonalnya maka $MN=NC$ dan $BN=NL$.

Sampai saat ini sudah lumayan banyak informasi terkumpul. Namun belum ada hubungannya dengan cara penyelesaian soal ini. Maka dari itu, mari kita lihat lebih jauh lagi.

Misalkan $P$ adalah titik tengah $BC$. Diperoleh $NP//BM//AK$ dan $NP=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}AK$. Ingat juga bahwa $OP//AH$ (keduanya tegak lurus dengan $BC$) dan berdasarakan lemma kita di atas, $OP=\frac{1}{2}AH$. Karena $NP//AK$ dan $OP//AH$ maka $\angle OPN=\angle HAK$. Dengan demikian $\triangle OPN$ sebangun dengan $\triangle HAK$. Jadi, $ON=\frac{1}{2}HK=JK$. (Ahhhhh, sudah mulai dekat dengan solusinya).

Terakhir, tinggal ditunjukkan $JK//ON$. Dan tentunya tidak terlalu sulit. Karena $\triangle OPN$ sebangun dengan $\triangle HAK$ maka $\angle HKA=\angle ONP$. Dan mengingat $NP//AK$ maka kita peroleh $HK//ON$ dan tentu saja berarti $JK//ON$.

Karena $JK//ON$ dan $JK=ON$ maka terbukti $KONJ$ adalah jajar genjang.

Lanjut soal kedua,

[JBMO 2013] Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB < AC$ serta titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar $\omega$. Misalkan $D$ adalah titik pada ruas garis $BC$ sedemikian sehingga $\angle BAD=\angle CAO$. Misalkan pula $E$ adalah titik potong kedua dari lingkaran $\omega$ dengan garis $AD$. Jika $M,N$ dan $P$ berturut - turut adalah titik tengah dari ruas garis $BE, OD$ dan $AC$, tunjukkan bahwa $M,N$, dan $P$ segaris.

Pertama mari gambar keterangan soal terlebih dahulu.

gambar untuk  soal nomor dua jbmo 2013

Dari gambar tersebut, untuk menunjukkan bahwa $M,N$, dan $P$ segaris, idenya adalah dengan membuktikan bahwa $POMD$ adalah jajar genjang. Nah pertanyaannya, bagaimana cara membuktikan $POMD$ jajar genjang? Ingat, ini masih berupa asumsi, bisa salah dan bisa benar. Tetapi whatever lah, benar salah urusan belakangan. Yang terpenting mari kita lihat dan kumpulkan apa saja yang kita miliki.

$P$ adalah titik tengah $AC$ dan $O$ pusat lingkaran luar maka $OP\bot AC$. Kita juga tahu bahwa $\angle CAO=\angle BAD$ dan karena $\angle ABC=\angle AOP$ maka $\triangle AOP$ sebangun dengan $\triangle ABD$. Itu berarti $\angle ADB=90^\circ$ sehingga $AD$ adalah garis tinggi dari titik $A$. Karena kita bekerja dengan $OP$ dan tahu bahwa $AD$ adalah garis tinggi maka sangat masuk akal jika kita memunculkan titik tinggi $H$. Dan tentu saja $H$ terletak di ruas garis $AD$ dengan $BH=2OP$ (berdasarkan lemma kita sebelumnya). Wow, lumayan banyak ternyata yang kita dapat. Sekarang kita tahu bahwa untuk menunjukkan $OP=MD$, cukup ditunjukkan $BH=2MD$ dan karena $M$ adalah titik tengah $BE$ maka harus ditunjukkan bahwa $D$ titik tengah $HE$. Padahal $BD\bot HE$. Jadi tinggal dibuktikan bahwa $BHE$ adalah segitiga samakaki.

Untuk membuktikan $BHE$ segitiga samakaki, mari kita coba gunakan kesebangunan. Mudah dilihat bahwa $\triangle ABD$ dan $\triangle CDE$ sebangun. Dan karena $\triangle ABD$ juga sebangun dengan $\triangle AOP$ maka $\triangle CDE$ dan $\triangle AOP$ juga sebangun. Dari hubungan ini diperoleh $$\begin{equation*} \frac{CD}{DE}=\frac{AP}{OP}\quad\cdots\cdots\cdots *) \end{equation*}$$ Selain itu $\triangle ACD$ sebangun dengan $\triangle BDE$ (untuk yang ini sangat mudah dikenali). Oleh karena itu, diperoleh pula $$\begin{equation*} \frac{CD}{DE}=\frac{AC}{BE}\quad\cdots\cdots\cdots **) \end{equation*}$$ Dari persamaan *) dan **) diperoleh $$\begin{equation*} \frac{AP}{OP}=\frac{AC}{BE}\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BH}=\frac{AC}{BE}\Leftrightarrow BE=BH \end{equation*}$$ Terbukti $BHE$ segitiga samakaki.

Oleh karena itu, $MD//BH//OP$ dan $MD=\frac{1}{2}BH=OP$ sehingga $POMD$ adalah jajar genjang. Karena $N$ pertengahan diagonal $OD$ maka $N$ adalah titik potong diagonal $OD$ dan diagonal $MP$. Jadi terbukti $M,N$ dan $P$ segaris.

Catatan : saya mencoba menulis kedua solusi di atas dengan mengikutkan beberapa proses berpikir yang saya libatkan. Tujuannya tentu saja agar lebih bermanfaat bagi pembaca. Tentunya untuk solusi formalnya dapat lebih disederhanakan.





0 comments :

Post a Comment