tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

28 May 2013

Solusi Nomor 4 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Ditulis Oleh pada 28 May 2013


Soal Nomor 4 OSN Matematika SMP 2013

Misalkan $A,B$ dan $P$ adalah paku - paku yang ditanam pada papan $ABP$. Panjang $AP=a$ satuan dan $BP=b$ satuan. Papan $ABP$ diletakkan pada lintasan $X_1X_2$ dan $Y_1Y_2$ sehingga $A$ hanya dapat bergerak bebas sepanjang lintasan $X_1X_2$ dan $B$ hanya bergerak bebas sepanjang lintasan $Y_1Y_2$ seperti pada gambar berikut. Misalkan $x$ adalah jarak titik $P$ terhadap lintasan $Y_1Y_2$ dan $y$ jarak titik $P$ terhadap lintasan $X_1X_2$. Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik $P$ adalah $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$.

osn matematika smp 2013 nomor 4 gambar 1


Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal ini, harus dicari hubungan antara variable - variable $a,b,x$ dan $y$. Karena berbicara mengenai geometri maka salah satu alat yang dapat digunakan tentu saja adalah kesebangunan. Untuk itu perhatikan gambar di bawah ini (gambar seperti pada soal setelah ditambah beberapa titik untuk memudahkan komputasi).

osn matematika smp 2013 nomor 4 gambar 2

Perhatikan bahwa $\triangle AOB$ sebangun dengan $\triangle BDP$ sehingga diperoleh $$\begin{equation*} \frac{OA}{AB}=\frac{PD}{PB}\quad\Leftrightarrow\quad \frac{OA}{a-b}=\frac{x}{b} \end{equation*}$$ sehingga $OA=\dfrac{x(a-b)}{b}$.

Selanjutnya diperoleh ( dengan bantuan Pythagoras tentunya ) $$\begin{align*} OD=OB+BD&\quad\Leftrightarrow\quad y=\sqrt{(a-b)^2-\frac{x^2(a-b)^2}{b^2}}+\sqrt{b^2-x^2}\\ &\quad\Leftrightarrow\quad y=\left(\frac{a-b}{b}\right)\sqrt{b^2-x^2}+\sqrt{b^2-x^2}\\ &\quad\Leftrightarrow\quad y=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-x^2}\\ &\quad\Leftrightarrow\quad b^2y^2=a^2(b^2-x^2)\\ &\quad\Leftrightarrow\quad a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \end{align*}$$

Oke, sampai di sini kita telah membuktikan apa yang diminta soal. Pekerjaan selesai. Namun cara di atas terasa panjang dan membosankan karena banyak sekali notasi akar. Maka apa tidak ada cara yang lebih baik? Untungnya ada. Perhatikan kembali gambar di atas. Sekarang perhatikan $\triangle ACP$ dan $\triangle BDP$. Kedua segitiga tersebut ternyata sebangun ( mengapa tidak dari tadi ya lihatnya!). Karenanya diperoleh $$\begin{align*} \frac{CP}{AP}=\frac{BD}{BP}&\quad\Leftrightarrow\quad\frac{y}{a}=\frac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{y^2}{a^2}=\frac{b^2-x^2}{b^2}\\ &\quad\Leftrightarrow\quad b^2y^2=a^2(b^2-x^2)\\ &\quad\Leftrightarrow\quad a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \end{align*}$$ Terlihat lebih simple ternyata.

Jadi, terbukti lintasan titik $P$ berupa ellips dengan persamaan $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$.





0 comments :

Post a Comment