tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

28 May 2013

Solusi Nomor 3 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Ditulis Oleh pada 28 May 2013


Soal Nomor 3 OSN Matematika SMP 2013

Tentukan semua bilangan asli $a,b$ dan $c$ yang lebih besar dari $1$ dan saling berbeda, serta memenuhi sifat bahwa $abc$ membagi habis $ab+bc+ca+2$.


Penyelesaian :

Tanpa mengurangi keumuman misalkan $1 < a < b < c$. Karena $abc$ membagi habis $ab+bc+ca+2$ itu berarti terdapat bilangan asli $k$ sedemikian sehingga $$\begin{equation*} ab+bc+ca+2=k\cdot abc\quad\cdots\cdots\cdots\quad (1) \end{equation*}$$ Dari persamaan (1) diperoleh $$\begin{equation*} k=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{2}{abc} \end{equation*}$$ Mengingat $1 < a < b < c$ diperoleh $$\begin{equation*} k\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}=\frac{14}{12} < 2 \end{equation*}$$ Sehingga nilai $k$ yang mungkin hanya $k=1$. Selain itu jika $a \geq 3$ diperoleh $$\begin{equation*} k\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{2}{3\cdot4\cdot5}=\frac{49}{60} < 1 \end{equation*}$$ yang jelas tak mungkin karena $k$ bilangan asli. Jadi, diperoleh $a=2$.

Dengan mengsubstitusikan nilai $k=1$ dan $a=2$ pada persamaan (1) diperoleh $$\begin{equation*} 2b+bc+2c+2=2bc \end{equation*}$$ yang setara dengan $$\begin{equation*} (b-2)(c-2)=6 \end{equation*}$$ Oleh karena itu, ada dua kasus yang mungkin yaitu

  • $b-2=1$ dan $c-2=6$ sehingga diperoleh $b=3$ dan $c=8$.
  • $b-2=2$ dan $c-2=3$ sehingga diperoleh $b=4$ dan $c=5$.
Mudah dicek bahwa $a=2,b=3,c=8$ dan $a=2,b=4,c=5$ memenuhi kondisi dari soal.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah $a=2,b=3,c=8$ dan $a=2,b=4,c=5$ serta semua permutasinya (total ada 12 solusi untuk triple $(a,b,c)$ yang mungkin).





2 comments :

  1. Anonymous06 June, 2013

    MAS TUTUR, NUMPANG TANYA. UNTUK MENULIS POSTINGAN DENGAN KARAKTER2 ATAU SIMBOL MATEMATIKA SEPERTI DI ATAS PAKE LATEX YA?

    ReplyDelete