Solusi Nomor 2 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Nomor 2 OSN Matematika SMP 2013

Diketahui $ABC$ adalah segitiga lancip dengan titik - titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik $O$. Titik $P$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $AP$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$. Jika $\angle ABC+30^\circ\leq \angle ACB$, buktikan bahwa $\angle COP+\angle CAB < 90^\circ$.

Penyelesaian :

Perpanjang garis $BO$ sehingga memotong lingkaran di titik $E$ (seperti terlihat pada gambar). Perhatikan bahwa $BE$ adalah diameter lingkaran luar $\triangle ABC$. Hal ini berakibat $\angle BAE=90^\circ$.

Oleh karena itu, untuk membuktikan $\angle COP+\angle CAB < 90^\circ$ cukup ditunjukkan bahwa $\angle COP < \angle CAE$. Akan tetapi $\angle CAE=\angle CBE=\angle OCP$. Sehingga cukup ditunjukkan $\angle COP < \angle OCP$. Atau setara dengan menunjukkan $CP < OP$.

Untuk menunjukkan $CP < OP$, tambahkan beberapa titik bantu yaitu titik $Q$ pada sisi $BC$ sehingga $OQ\bot BC$ dan titik $R$ pada ruas garis $AP$ sehingga $OR\bot AP$ (seperti pada gambar di bawah ini). Diperoleh $OQPR$ berupa persegi panjang dengan $PQ=OR$ dan $PR=OQ$.

Perhatikan bahwa $$\begin{equation*} \angle CAO=\angle ACO=\frac{180^\circ-\angle AOC}{2}=\frac{180^\circ-2\angle ABC}{2}=90^\circ-\angle ABC \end{equation*}$$ selain itu $$\begin{equation*} \angle CAP=90^\circ-\angle ACB \end{equation*}$$ Dari kedua hasil di atas diperoleh $$\begin{equation*} \angle PAO=\angle CAO-\angle CAP=(90^\circ-\angle ABC)-(90^\circ-\angle ACB)=\angle ACB-\angle ABC \end{equation*}$$ dan karena $\angle ABC+30^\circ\leq \angle ACB$ berakibat $\angle PAO\geq 30^\circ$. Sehingga diperoleh $OR=OA\cdot\sin \angle PAO\geq \dfrac{OA}{2}$.

Ingat kembali bahwa $PQ=OR$ sehingga $PQ\geq \dfrac{OA}{2}=\dfrac{OC}{2}$. Dengan menggabungkan fakta bahwa $CP+PQ=CQ < OC$ dan $PQ\geq \dfrac{OC}{2}$ dapat disimpulkan $CP < PQ$. Sehingga diperoleh $$\begin{equation*} CP < PQ < OP \end{equation*}$$ seperti apa yang diharapkan.

Jadi, terbukti $\angle COP+\angle CAB < 90^\circ$.