Solusi Nomor 1 OSN Matematika SMP Tahun 2013

Nomor 1 OSN Matematika SMP 2013

Diketahui $f$ adalah suatu fungsi sehingga $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x$ untuk setiap $x\neq 0$. Carilah nilai $x$ yang memenuhi $f(x)=f(-x)$.

Penyelesaian :

Untuk sebarang bilangan real $y\neq 0$, substitusikan nilai $x=y$ dan $x=\dfrac{1}{y}$ sehingga berturut - turut diperoleh $$\begin{align*} f(y)+2f\left(\frac{1}{y}\right)&=3y\quad\cdots\cdots\cdots\quad (1)\\ f\left(\frac{1}{y}\right)+2f(y)&=\frac{3}{y}\quad\cdots\cdots\cdots\quad (2) \end{align*}$$ Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh $$\begin{equation*} 3f(y)=\frac{6}{y}-3y\quad\Leftrightarrow\quad f(y)=\frac{2}{y}-y \end{equation*}$$ Dari sini diperoleh $$\begin{align*} f(x)=f(-x)&\quad\Leftrightarrow\quad \frac{2}{x}-x=-\frac{2}{x}+x\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{4}{x}=2x\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x^2=2\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x=-\sqrt{2}\quad\text{ atau }\quad x=\sqrt{2} \end{align*}$$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi $f(x)=f(-x)$ adalah $x=-\sqrt{2}$ atau $x=\sqrt{2}$.