tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

15 May 2013

Soal Nomor 10 OSN Matematika SMP 2007 ( Himpunan Campur Aljabar )

Ditulis Oleh pada 15 May 2013


Soal OSN Matematika SMP tahun 2007 nomor 10 berkaitan dengan teori himpunan. Namun pada akhirnya saya bilang ini soal aljabar juga. Kemasannya saja yang himpunan tetapi penyelesaiannya lebih ke aljabar. Berikut soal OSN 2007 nomor 10 tersebut :

Hasil survey terhadap $N$ orang dengan pertanyaan apakah mereka memelihara anjing, burung, atau kucing dirumah adalah sebagai berikut: 50 orang memelihara burung, 61 orang tidak memelihara anjing, 13 orang tidak memelihara kucing, dan paling sedikit ada 74 orang yang memelihara paling sedikit dua jenis binatang di rumah. Berapakah nilai maksimum dan minimum dari nilai $N$ yang mungkin?

Namun, mengapa kembali memunculkan soal OSN enam tahun silam? Ada dua alasan. Pertama, ada teman yang bertanya kepada saya mengenai soal ini melalui kotak komentar blog ini. Kedua, beberapa hari ini saya ngobrol via sms dan email dengan Bapak Budi Sanjaya dari Negara, Bali juga mengenai soal ini. Dan parahnya, saya salah memberikan jawaban terhadap soal ini. Awalnya saya menjawab bahwa nilai minimal dari $N$ adalah 98. Tetapi kemarin, Bapak Budi memberikan contoh bahwa $N=86$ juga mungkin. Itu artinya minimalnya bukan 98. Lalu salahnya saya dimana? Kesalahan bodoh saya terletak dalam membaca dan menafsirkan soal. Pada jawaban awal, saya mengasumsikan semua orang yang disurvey memiliki hewan peliharaan paling tidak satu. Itu artinya, dari $N$ orang yang disurvey, tidak ada yang tidak memiliki salah satu dari burung, anjing ataupun kucing. Padahal, boleh saja ada orang yang tidak punya ketiganya. Nah, itu letak kesalahan "bodoh" yang saya buat.

Ok, curhatnya cukup sampai di sini. Sekarang mari kita jawab soal nomor 10 OSN SMP 2007 tersebut.

Pertama - tama untuk memudahkan, perhatikan diagram Venn berikut,
gambar 1 untuk soal osn matematika smp 2007

Berdasarkan keterangan dari soal diperoleh hubungan sebagai berikut, $$\begin{align*} b+c+z+p&=50\quad .......................(1)\\ b+y+z+q&=61\quad .......................(2)\\ c+x+z+q&=13\quad .......................(3)\\ a+b+c+p&\geq 74\quad .......................(4) \end{align*}$$ Perhatikan juga bahwa, $N=a+b+c+x+y+z+p+q$. Dengan melihat batasan di atas terlihat bahwa nilai $a$ bisa dibuat besar sekali tanpa ada batasan dan tetap memenuhi keempat ekspresi di atas. Dengan demikian nilai maksimal dari $N$ juga tak terbatas.

Selanjutnya kita tinggal mencari nilai minimal dari $N$. Dari pers. (1) dan (4) diperoleh, $$\begin{align*} a+b+c+z+p\geq 74+z&\Leftrightarrow a+50\geq 74+z\\ &\Leftrightarrow a-z\geq 24 \end{align*}$$ Selain itu dari pers.(2) dan (3) berturut - turut diperoleh $$\begin{equation*} y+z=61-b-q\quad \text{ dan }\quad x+z=13-c-q \end{equation*}$$ Oleh karena itu diperoleh $$\begin{align*} N&=a+b+c+x+y+z+p+q\\ &=a+b+c+13-c-q+61-b-q+p+q-z\\ &=74+a-z+p-q\\ &\geq 74+24+p-q\\ &=98+p-q\\ &\geq 98+0-13\\ &=85 \end{align*}$$ Sehingga diperoleh $N\geq 85.$

Jika $N=85$ berakibat $q=13$ dan $p=0$. Karena $q=13$ berakibat pula $c=x=z=0$ sehingga $b=50$. Akibatnya $61=b+y+z+q\geq 63$ yang jelas tak mungkin. Oleh karena itu $N\neq 85$.

Jika $N=86$ maka $p=0$ dan $q=12$. Hal ini berakibat $c+x+z=1, b+y+z=49$ dan $b+c+z=50$. Dari $b+y+z=49$ dan $b+c+z=50$ diperoleh $c-y=1$ sehingga $c=1$ dan $y=0$. Akibatnya $x=z=0$ dan $b=49$. Oleh karena itu, $N=86$ dapat tercapai dengan konstruksi seperti diagram Venn di bawah ini

gambar 2 untuk soal osn matematika smp 2007

Jadi, nilai minimal dari $N$ adalah $86$ dan nilai maksimal dari $N$ tak terbatas.





7 comments :

  1. Sebenarnya kita banyak belajar dari kesalahan. Kesalahan tidak selalu hal yang "bodoh" Pak. Justru dari kesalahan itu jika kita mau merefleksi seringkali kita dapat menemukan srategi yang elegan. Inilah nilai lebih dari proses berpikir kita dalam memecahkan maalah..

    ReplyDelete
  2. Muhammad Alif Aqsha22 May, 2013

    Terima kasih, pak. O ya, pak, kapan pembahasan OSN Matematika SMP Tk. Nasional-nya?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Wah saya belum dapat soalnya. Jika ada yang punya ayo bagi - bagi!

      Delete
  3. Muhammad Alif Aqsha24 May, 2013

    Wah, kebetulan, saya salah satu pesertanya. Saya punya soalnya.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Siang ini saya sudah dapat soalnya dari Pak Budi Sanjaya. Tetapi jika mas punya soal bagus bisa saya dibagi melalui email : tutur.w87@gmail.com

      Terima kasih

      Delete
  4. Pak mau tanya untuk ekspresi "98+p−q≥98+0−13" 13 diproleh dari mana yah Pak?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Karena nilai $p$ paling kecil $0$ dan nilai $q$ paling besar $13$

      Delete