tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

14 May 2013

Rumus Sinus : Pembuktian Dengan Bantuan Lingkaran Luar Segitiga

Ditulis Oleh pada 14 May 2013


Apabila belajar trigonometri dan hubungannya dengan segitiga maka pastilah rumus sinus dan cosinus adalah hal yang mutlak diajarkan. Hal ini karena disamping keterkaitan antara keduanya, kedua rumus tersebut, sinus dan cosinus, sangat penting dalam belajar trigonometri terutama ketika berhubungan dengan aplikasi trigonometri pada bidang datar.

Hal yang menguntungkan dari kedua rumus di atas adalah bentuknya yang sangat simple dan mudah diingat ( walau sebenarnya juga mudah dipahami ). Terutama untuk rumus sinus yang jauh lebih simple dari rumus cosinus.

Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan cara pembuktian rumus sinus dengan cara yang berbeda dengan yang ada di buku - buku SMA. Setidaknya pembuktian ini berbeda dengan yang terdapat pada buku SMA yang telah saya baca. Dengan cara baru ini, sebagaimana dulu saya juga pernah membahas cara pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut dengan cara berbeda, saya berharap bisa memberi sudut pandang baru. Lebih dari itu, semoga pembuktian ini lebih mudah dipahami daripada pembuktian yang mungkin telah Anda baca sebelumnya.

Sebelum memulai pembuktian, ada baiknya saya cantumkan dulu bagaimana bentuk dari rumus sinus tersebut. Rumus sinus adalah sebagai berikut,

Pada sebarang segitiga $ABC$ berlaku $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \end{equation*}$$ Lebih jauh, jika $R$ adalah jari - jari lingkaran luar segitiga $ABC$ maka berlaku pula $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$


Untuk membuktikan rumus sinus di atas, ada tiga jenis segitiga yang perlu dilihat. Yaitu segitiga siku - siku, segitiga lancip dan segitiga tumpul. Untuk jenis pertama yaitu segitiga siku - siku, pembuktiannya cukup sederhana.
Perhatikan segitiga siku - siku $ABC$ dengan jari - jari lingkaran luar $R$ berikut ini,

rumus sinus segitiga siku-siku

Perhatikan karena $\triangle ABC$ siku - siku di $A$ maka $BC$ adalah diameter lingkaran luar. Sehingga $2R=BC=a$ dan dengan definisi dari fungsi sinus tentu benar bahwa $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=2R, \quad \frac{b}{\sin B}=2R, \quad \frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$ Jadi untuk segitiga siku - siku $ABC$ terbukti $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$

Sekarang bagaimana untuk kasus segitiga lancip? Untuk itu perhatikan segitiga lancip $ABC$ di bawah ini,

rumus sinus segitiga lancip

$O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan jari - jari $R$. Dengan kata lain $CD=2R$ adalah diameter lingkaran sehingga $\angle CBD=90^\circ$. Dengan demikian berdasarkan definisi fungsi sinus pada $\triangle CBD$ diperoleh $$\begin{equation*} \sin \angle CDB=\frac{a}{2R} \end{equation*}$$ akan tetapi karena $\angle CDB=\angle CAB$ (sudut keliling yang menghadap busur yang sama) maka diperoleh $$\begin{equation*} \sin A =\sin \angle CAB=\frac{a}{2R} \end{equation*}$$ atau equivalen dengan $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=2R \end{equation*}$$ dengan cara serupa diperoleh, $$\begin{equation*} \frac{b}{\sin B}=2R\quad\text{ dan }\quad\frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$ sehingga untuk segitiga lancip $ABC$ juga terbukti $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$

Permasalahan terakhir hanya tinggal untuk kasus segitiga tumpul. Untuk segitiga tumpul, idenya mirip dengan ide yang digunakan pada segitiga lancip. Mengingat disebut segitiga tumpul pun, yang berukuran tumpul hanya satu sudut sedang dua sedut yang lain adalah lancip. Maka untuk bagian sudut yang lancip itu bisa diterapkan cara seperti ketika berurusan dengan segitiga lancip di atas. Sama persis.

Oleh karena itu, yang harus dipikirkan adalah bagaimana menangani untuk sudut yang tumpulnya. Perhatikan segitiga tumpul $ABC$ berikut,

rumus sinus segitiga tumpul

Sama seperti kasus sebelumnya, $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan jari - jari $R$. Sehingga kita punya $CD=2R$ adalah diameter lingkaran dan berakibat, $\angle CBD=90^\circ$. Oleh karena itu pada $\triangle BCD$ berlaku $$\begin{equation*} \sin \angle BDC=\frac{a}{2R} \end{equation*}$$ Akan tetapi perhatikan bahwa $ABDC$ adalah segiempat talibusur sehingga $\angle BDC+\angle BAC=180^\circ$. Dan karena $\sin (180^\circ-\theta)=\sin \theta$ kita peroleh $$\begin{equation*} \sin \angle BAC=\sin (180^\circ-\angle BDC)=\sin \angle BDC=\frac{a}{2R} \end{equation*}$$ Oleh karena itu, $$\begin{equation*} \sin A=\sin \angle BAC=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow \frac{a}{\sin A}=2R \end{equation*}$$ Setelah tahap ini sisanya sama dengan kasus segitiga lancip, yang pada akhirnya untuk segitiga tumpul $ABC$ juga terbukti rumus sinus $$\begin{equation*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \end{equation*}$$

Demikian untuk semua jenis segitiga mulai dari siku - siku, lancip dan tumpul sudah berhasil dibuktikan kebenaran dari rumus sinus. Sekian dulu mudah - mudahan bermanfaat. Apabila ada yang kurang jelas silakan ditanyakan. Thanks.





0 comments :

Post a Comment