tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

10 May 2013

Melihat Kembali Soal OSN Matematika SMP Tahun 2012 Nomor 10 ( Dengan Pendekatan Baru)

Ditulis Oleh pada 10 May 2013


Setelah hampir satu tahun, mari kita lihat kembali soal terakhir OSN Matematika SMP tahun 2013. Soal ini menurut saya merupakan soal yang paling merepotkan. Bahkan dulu saya harus mencoba banyak pendekatan dan berkali - kali gagal. Walau pada akhirnya berhasil menemukan solusinya akan tetapi saya belum terlalu puas. Hal ini karena solusi yang dulu saya buat masih jauh dari kata elegan. Nguli abis solusi saya dulu ( untuk melihat solusi yang saya buat sebelumnya silakan klik di sini ). Oleh karena itu mari kita coba kembali soal tersebut dengan pendekatan berbeda dan semoga hasilnya lebih elegan. Berikut soal nomor 10 OSN Matematika SMP tahun 2012 tersebut :

Ada 12 orang yang antri untuk membeli tiket masuk suatu pertunjukkan dengan harga satu tiket adalah Rp 5.000,00. Diketahui 5 orang diantara mereka hanya mempunyai uang kertas Rp 10.000,00 dan sisanya hanya mempunyai uang kertas Rp 5.000,00. Jika penjual tiket awalnya hanya mempunyai uang Rp 5.000,00, berapakah peluang penjual tiket tersebut mempunyai cukup kembalian untuk melayani semua orang sesuai dengan urutan mereka dalam antrian?

Penyelesaian :

Misalkan satu satuan arah sumbu $X$ positif kita misalkan $1$ orang yang memiliki uang Rp 5.000,00 dan satu satuan arah sumbu $Y$ positif kita misalkan $1$ orang yang memiliki uang Rp 10.000,00 maka soal di atas ekuivalen dengan mencari besarnya peluang banyaknya lintasan terpendek dari titik $A(0,0)$ ke titik $B(7,5)$ yang tidak melampui garis $y=x+1$.

osn matematika sma 2012 nomor 10

Sudah cukup well know bahwa banyaknya lintasan terpendek dari titik $A(0,0)$ ke titik $B(7,5)$ tanpa syarat apapun adalah $C_7^{12}=792$. Misalkan $n(X)$ adalah banyak lintasan dari titik $A(0,0)$ ke titik $B(7,5)$ yang tidak melampaui garis $y=x+1$. Untuk menghitung besar $n(X)$ secara langsung relatif sulit. Oleh karena itu, akan kita hitung besar komplemen dari $X$ yaitu $n(X')$ yaitu banyaknya lintasan yang melampui garis $y=x+1$. Atau dengan kata lain $n(X')$ adalah banyaknya lintasan yang memotong garis $y=x+2$.

osn matematika sma 2012 nomor 10

Misalkan $s$ adalah salah satu lintasan yang dimaksud. Dan misalkan pula lintasan tersebut memotong garis $y=x+2$ pertama kali di titik $T$ maka jika kita mencerminkan lintasan dari $A(0,0)$ ke titik $T$ tersebut terhadap garis $y=x+2$ maka kita dapat lintasan baru $s'$ dari titik $A'(-2,2)$ ke titik $T$. Apabila lintasan tersebut diteruskan dari $T$ ke $B$ ( tanpa dicerminkan ) maka didapat lintasan dari $A'(-2,2)$ ke titik $B(7,5)$. Dari sini bisa kita simpulkan bahwa banyaknya lintasan dari $A(0,0)$ ke $B(7,5)$ yang melampaui garis $y=x+1$ sama dengan banyaknya lintasan dari titik $A'(-2,2)$ ke titik $B(7,5)$. Oleh karena itu, $$\begin{equation*} n(X')=C_9^{12}=\frac{12!}{3!\cdot 9!}=220 \end{equation*}$$

Sehingga kita peroleh $$\begin{equation*} P(X')=\frac{220}{792}=\frac{5}{18} \end{equation*}$$ Dengan demikian $$\begin{equation*} P(X)=1-P(X')=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18} \end{equation*}$$

Jadi, peluang penjual tiket tersebut mempunyai cukup kembalian untuk melayani semua orang sesuai dengan urutan mereka dalam antrian adalah $\dfrac{13}{18}$.





4 comments :

  1. Muhammad Alif Aqsha10 May, 2013

    Pak, boleh nanya soal No. 10 OSN Matematika SMP 2007?

    Hasil survey terhadap N orang dengan pertanyaan apakah mereka memelihara anjing, burung, atau kucing dirumah adalah sebagai berikut: 50 orang memelihara burung, 61 orang tidak memelihara anjing, 13 orang tidak memelihara kucing, dan paling sedikit ada 74 orang yang memelihara paling sedikit dua jenis binatang di rumah. Berapakah nilai maksimum dan minimum dari nilai N yang mungkin?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya coba hitung dapatnya nilai minimal dari $N$ adalah $98$. Sedangkan nilai maksimalnya tak hingga. Akan tetapi saya juga masih kurang yakin sih

      Delete
  2. Pak, kenapa maksimalnya tak hingga? Memang, paling sedikit ada 74 orang yang memelihara paling sedikit dua jenis binatang, tetapi, hanya ada 50 orang yang memelihara burung, 61 orang yang tidak memelihara anjing, dan 13 orang yang tidak memelihara kucing.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Menurut saya jumlah orang yang memelihara kucing dan anjing tetapi tidak memelihara burung jumlah tak ada batasan khusus

      Delete