tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

11 May 2013

Identitas Sophie Germain

Ditulis Oleh pada 11 May 2013


Sophie Germain

Apabila berbicara mengenai identitas aljabar tentu jumlahnya banyak sekali. Ada yang sudah sangat well known tetapi banyak juga yang masih jarang dipublikasikan.

Untuk kali ini saya akan membahasa identitas Sophie Germain. Pada dasarnya identitas ini elementer dan sangat basic. Identitas Sophie Germain yaitu sebagai berikut :

$$\begin{equation*} a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab) \end{equation*}$$

Untuk membuktikan identitas di atas relatif mudah. Bisa dengan menguraikan ruas kanan sehingga pada akhirnya akan diperoleh bentuk di ruas kiri. Atau bisa juga dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri, seperti berikut $$\begin{align*} a^4+4b^4&=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\ &=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2\\ &=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab) \end{align*}$$

Untuk aplikasi dari identitas Sophie Germain sendiri lebih sering ditemukan pada soal - soal teori bilangan daripada soal - soal aljabar. Berikut beberapa soal yang berkaitan dengan identitas Sophie Germain :

Contoh 1. Buktikan untuk bilangan asli $n > 1$ maka $n^4+4^n$ adalah bilangan komposit Penyelesaian : Jika $n$ genap jelas bahwa $n^4+4^n$ juga genap sehingga komposit. Oleh karena itu, cukup kita cek untuk $n$ ganjil yaitu $n=2k+1$. Dengan identitas Sophie Germain diperoleh, $$\begin{align*} n^4+4^n&=n^4+4^{2k+1}\\ &=n^4+4\cdot (2^k)^4\\ &=(n^2+2\cdot 4^k+2n^2\cdot2^k)(n^2+2\cdot 4^k-2n^2\cdot2^k) \end{align*}$$ dan karena $n^2+2\cdot 4^k-2n\cdot2^k=(n-2^k)^2+4^k\geq 4$ maka terbukti $n^4+4^n$ adalah bilangan komposit.


Contoh 2. Hitunglah nilai $\dfrac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$
Penyelesaian : Perhatikan bahwa masing - masing suku pada pecahan tersebut berbentuk $x^4+324$. Berdasarkan identitas Sophie Germain diperoleh $$\begin{align*} x^4+4\cdot 3^4 &= (x^2+2\cdot 3^2-2\cdot 3\cdot x)(x^2+2\cdot 3^2+2\cdot 3\cdot x)\\ &=(x(x-6)+18)(x(x+6)+18) \end{align*}$$ sehingga $$\begin{align*} &\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}\\ &=\frac{[(10(10-6)+18)(10(10+6)+18)][(22(22-6)+18)(22(22+6)+18)]\cdots[(58(58-6)+18)(58(58+6)+18)]}{[(4(4-6)+18)(4(4+6)+18)][(16(16-6)+18)(16(16+6)+18)]\cdots[(52(52-6)+18)(52(52+6)+18)]}\\ &=\frac{(10(4)+18)(10(16)+18)(22(16)+18)(22(28)+18)\cdots(58(52)+18)(58(64)+18)}{(4(-2)+18)(4(10)+18)(16(10)+18)(16(22)+18)\cdots(52(46)+18)(52(58)+18)}\\ &=\frac{58(64)+18}{4(-2)+18}\\ &=\frac{3730}{10}\\ &=373 \end{align*}$$


Contoh 3. Buktikan bahwa $$\begin{equation*} 3^{4^5}+4^{5^6} \end{equation*}$$ adalah hasil perkalian dua bilangan bulat yang masing - masing lebih besar dari $10^{2002}$
Penyelesaian : Misalkan $a=3^{4^4}$ dan $b=2^{\sqrt{5^6-1}}$ maka diperoleh $$\begin{equation*} 3^{4^5}+4^{5^6}=a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab) \end{equation*}$$ Perhatikan bahwa $a^2+2b^2-2ab=(a-b)^2+b^2=2^{5^6-1} > 10^{2002}$. Terbukti.





0 comments :

Post a Comment