tko

tko

tko

tko

15 April 2013

Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2013 Part 1

Ditulis Oleh pada 15 April 2013


OSK Matematika SMA tahun 2013 telah selesai dilaksanakan tanggal 3 April kemarin. Tahun ini sebenarnya saya tidak terlalu mengikuti pelaksanaan OSK SMA. Namun demikian ada beberapa kawan yang meminta saya untuk memposting pembahasan OSK Matematika SMA 2013. Yah, okelah saya coba yang saya bisa.

Soal OSK SMA tahun ini masih berformat sama yaitu 20 soal isian singkat. Dan untuk pembahasan di blog ini akan saya bagi menjadi dua bagian. Yang setiap bagian terdiri dari 10 soal. Bagian pertama yaitu sepuluh nomor pertama, menurut saya lebih didominasi oleh teori bilangan dan kombinatorik. Untuk selengkapnya silakan simak pembahasan di bawah ini :

1. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dengan $a>b$. Jika $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, maka nilai $a-b$ adalah ...

Untuk $a,b\geq 0$ berlaku $$\begin{equation*} (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} \end{equation*}$$ Padahal $94+2\sqrt{2013}=(61+33)+2\sqrt{61\times 33}$. Oleh karena itu, $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}$. Sehingga $a-b=61-33=28$.

2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan luas 10. Titik $D,E$ dan $F$ berturut - turut terletak pada sisi - sisi $AB, BC$ dan $CA$ dengan $AD=2, DB=3$. Jika segitiga $ABE$ dan segiempat $DBFE$ mempunyai luas yang sama, maka luasnya sama dengan ...

Perhatikan sketsa berikut ini!
osk matematika sma 2013 nomor 2
Karena $\text{Luas }\triangle ABE=\text{Luas }DBFE$ berakibat $\text{Luas }\triangle ADE=\text{Luas }\triangle DEF$. Padahal diketahui pula bahwa $DE$ adalah sisi persekutuan antara $\triangle ADE$ dan $\triangle DEF$ sehingga jarak titik $A$ ke $DE$ sama dengan jarak titik $F$ ke $DE$. Dengan kata lain, $AF$ sejajar $DE$ sehingga $$\begin{equation*} \frac{CE}{EB}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3} \end{equation*}$$ Oleh karena itu, $\text{Luas }\triangle ABE=\dfrac{3}{5}\times 10=6$.

3. Misalkan $p$ dan $q$ bilangan prima. Jika diketahui persamaan $x^{2014}-px^{2013}+q=0$ mempunyai akar - akar bilangan bulat, maka nilai $p+q$ adalah ...

Misalkan salah satu akar bulat dari persamaan $x^{2014}-px^{2013}+q=0$ adalah $t$. Maka diperoleh $t^{2014}-pt^{2013}+q=0\Leftrightarrow q=t^{2013}(p-t)$. Perhatikan juga bahwa $-1$ dan $0$ bukan merupakan akar - akar persamaan $x^{2014}-px^{2013}+q=0$. Sehingga dengan mengingat bahwa $q$ adalah bilangan prima diperoleh $t=1$. Oleh karena itu, $q=p-1\Leftrightarrow p-q=1$. Dari keterangan ini dapat disimpulkan bahwa salah satu dari $p,q$ harus genap. Dan karena bilangan prima genap hanya $2$ maka kita peroleh $q=2$ dan $p=3$. Jadi, $p+q=5$.

4. Jika fungsi $f$ didefinisikan oleh $f(x)=\dfrac{kx}{2x+3},x\neq -\frac{3}{2},k$ konstanta memenuhi $f\Bigl(f(x)\Bigr)=x$ untuk setiap bilangan real $x$, kecuali $x=-\frac{3}{2}$ maka nilai $k$ adalah ...

Untuk $x=1$ diperoleh $$\begin{align*} f\Bigl(f(1)\Bigr)=1&\Leftrightarrow f\Bigl(\frac{k}{5}\Bigr)=1\\ &\Leftrightarrow \frac{k^2}{2k+15}=1\\ &\Leftrightarrow k^2-2k-15=0\\ &\Leftrightarrow (k-5)(k+3)=0 \end{align*}$$ Mudah dicek bahwa $k=-3$ memenuhi kondisi $f\Bigl(f(x)\Bigr)=x$.

5. Koefisien $x^{2013}$ pada ekspansi $$\begin{equation*} (1+x)^{4026}+x(1+x)^{4025}+x^2(1+x)^{4024}+\cdots+x^{2013}(1+x)^{2013} \end{equation*}$$ adalah ...

  • Koefisien $x^{2013}$ dari $(1+x)^{4026}$ adalah $C_{2013}^{4026}$.
  • Koefisien $x^{2013}$ dari $x(1+x)^{4025}$ adalah $C_{2012}^{4025}$.
  • Koefisien $x^{2013}$ dari $x^2(1+x)^{4024}$ adalah $C_{2011}^{4024}$.
  • $\cdots$
  • $\cdots$
  • $\cdots$
  • Koefisien $x^{2013}$ dari $x^{2012}(1+x)^{2014}$ adalah $C_{1}^{2014}$.
  • Koefisien $x^{2013}$ dari $x^{2013}(1+x)^{2013}$ adalah $C_{0}^{2013}$.
Dengan menggunakan identitas, $$\begin{equation*} C_0^m+C_1^{m+1}+C_2^{m+2}+\cdots+C_k^{m+k}=C_k^{m+k+1} \end{equation*}$$ diperoleh koefisien $x^{2013}$ pada ekspansi $$\begin{equation*} (1+x)^{4026}+x(1+x)^{4025}+x^2(1+x)^{4024}+\cdots+x^{2013}(1+x)^{2013} \end{equation*}$$ yaitu, $$\begin{equation*} C_{0}^{2013}+C_{1}^{2014}+\cdots+C_{2012}^{4025}+C_{2013}^{4026}=C_{2013}^{4027} \end{equation*}$$

6. Jika $\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{y}=1$ dan $y-x=2$, maka $(x+y)^2=\cdots$

Lakukan sedikit manipulasi aljabar sebagai berikut, $$\begin{align*} \frac{2}{x}-\frac{2}{y}=1&\Leftrightarrow \frac{2(y-x)}{xy}=1\\ &\Leftrightarrow \frac{4}{xy}=1\\ &\Leftrightarrow xy=4 \end{align*}$$ selanjutnya diperoleh, $$\begin{align*} (x+y)^2&=x^2+y^2+2xy\\ &=x^2+y^2-2xy+4xy\\ &=(y-x)^2+4xy\\ &=4+16\\ &=20 \end{align*}$$

7. Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul angka 6 adalah ...

Tanpa mengurangi keumuman misalkan tos pertama muncul angka 6. Maka pada tos kedua sampai dengan tos keenam hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22. Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu
  • Yang muncul angka : 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada $\dfrac{5!}{4!}=5$ cara.
  • Yang muncul angka : 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada $\dfrac{5!}{3!}=20$ cara.
  • Yang muncul angka : 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada $\dfrac{5!}{2!\times 3!}=10$ cara.
Sehingga total ada $5+20+10=35$ cara jika pada tos pertama muncul angka $6$. Karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka $6$ berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu $6\times 35=210$ cara.

8. Misalkan $P$ adalah titik interior dalam daerah segitiga $ABC$ sehingga besar $\angle PAB=10^\circ, \angle PBA=20^\circ,\angle PCA=30^\circ, \angle PAC=40^\circ$. Besar $\angle ABC=\cdots$

Perpanjang $CP,AP,BP$ sehingga memotong $AB,BC,CA$ berturut - turut di titik $D,E,F$ seperti gambar berikut :
osk matematika sma 2013 nomor 8
Mudah diperoleh bahwa $\angle APB=150^\circ, \angle APC=110^\circ$ sehingga $\angle BPC=100^\circ$. Misalkan $\angle PBC=x$ maka $\angle PCB=80-x$.
Berdasarkan dalil sinus pada $\triangle ADP$ dan $\triangle BDP$ diperoleh $$\begin{equation*} \frac{AD}{\sin 70^\circ}=\frac{DP}{\sin 10^\circ}\text{ dan }\frac{BD}{\sin 50^\circ}=\frac{DP}{\sin 20^\circ} \end{equation*}$$ sehingga $$\begin{equation*} \frac{AD}{BD}=\frac{\sin 70^\circ\cdot \sin 20^\circ}{\sin 80^\circ\cdot \sin 10^\circ} \end{equation*}$$ Dengan cara serupa diperoleh pula $$\begin{align*} \frac{BE}{EC}&=\frac{\sin 30^\circ\cdot \sin (80-x)^\circ}{\sin x\cdot \sin 70^\circ}\\ \frac{CF}{FA}&=\frac{\sin 80^\circ\cdot \sin 40^\circ}{\sin 30^\circ\cdot \sin 30^\circ} \end{align*}$$ Padahal berdasarkan teorema Ceva diperoleh $$\begin{equation*} \frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=1 \end{equation*}$$ Substitusikan ketiga persamaan di atas sehingga didapat $$\begin{equation*} \frac{\sin 20^\circ\cdot \sin (80-x)^\circ\cdot\sin 40^\circ}{\sin 10^\circ\cdot \sin 30^\circ\cdot \sin x}=1 \end{equation*}$$ yang ekuivalen dengan $$\begin{align*} \sin 20^\circ\cdot \sin (80-x)^\circ\cdot\sin 40^\circ&=\sin 10^\circ\cdot \sin 30^\circ\cdot \sin x\\ -4\cdot\sin 20^\circ\cdot \sin (80-x)^\circ\cdot\sin 40^\circ&=-2\cdot\sin 10^\circ\cdot \sin x\\ 2(\cos 60^\circ-\cos 20^\circ)\sin (80-x)^\circ&=\cos (x+10)-\cos (x-10)\\ \sin (80-x)^\circ-2\cos 20^\circ\cdot\sin (80-x)^\circ&=\cos (x+10)-\cos (x-10)\\ \sin (80-x)^\circ-(\sin (100-x)+\sin (60-x))&=\sin (80-x)^\circ-\sin (100-x)\\ -\sin (60-x)&=0 \end{align*}$$ Karena $x$ terletak pada kuadran pertama maka $x=60^\circ$. Jadi, $\angle ABC=20^\circ+x=80^\circ$.

Alternatif Penyelesaian :

Misalkan $D$ pusat lingkaran luar $\triangle ACP$ karena $\angle ADP=2\angle ACP=60^\circ$ maka $\triangle ADP$ adalah segitiga sama sisi.
osk matematika sma 2013 gambar 7
$\angle CAD=\angle DAP-\angle CAP=60^\circ-40^\circ=20^\circ$. Karena $\angle APB=150^\circ$ maka $\angle APE=30^\circ$, sehingga $\angle EPD=30^\circ$. Oleh karena itu, $\angle DPB=150^\circ =\angle APB$. Hal ini berakibat $\triangle APB$ kongruen $\triangle BPD$. Sehingga $\angle BDP=\angle BAP=10^\circ$. Selanjutnya kita diperoleh $\angle ADF=\angle ADP+\angle BDP=60^\circ+10^\circ=70^\circ$. Oleh karena itu, $\angle AFD=90^\circ$. Dengan kata lain, $BD\bot AC$ dan karena $\triangle ADC$ adalah segitiga sama kaki dengan $AD=CD$ maka $AF=FC$. Sehingga dapat disimpulkan $\triangle ABC$ adalah segitiga sama kaki dengan $AB=BC$. Jadi, $\angle BAC=\angle ACB=50^\circ$ yang berarti $\angle ABC=80^\circ$.

9. Sepuluh kartu ditulis dengan angka satu sampai sepuluh (setiap kartu hanya terdapat satu angka dan tidak ada dua kartu yang memiliki angka yang sama). Kartu - kartu tersebut dimasukkan kedalam kotak dan diambil satu secara acak. Kemudian sebuah dadu dilempar. Probabilitas dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah ...

Misalkan $a$ angka dari dadu dan $b$ angka dari kartu. Pasangan $(a,b)$ yang menghasilkan $ab$ bilangan prima yaitu $(1,1),(1,4),(1,9),(2,2),(2,8),(3,3),(4,1),(4,4),(4,9),(5,5),(6,6)$ yang ada 11 kemungkinan. Sedangkan kemungkinan ruang sampel adalah $60$. Oleh karena itu, peluang dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah $\dfrac{11}{60}$.

10. Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah ...

Pembagian keenam siswa pada tiga meja bundar tersebut adalah sebagai berikut :
  • Siswa diatur dalam kelompok $4,1,1$. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $$\begin{equation*} \frac{C_4^6\times C_1^2\times(4-1)!}{2!}=90 \end{equation*}$$
  • Siswa diatur dalam kelompok $3,2,1$. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $$\begin{equation*} C_3^6\times C_2^3\times(3-1)!\times(2-1)!=120 \end{equation*}$$
  • Siswa diatur dalam kelompok $2,2,2$. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $$\begin{equation*} \frac{C_2^6\times C_2^4}{3!}=15 \end{equation*}$$
Oleh karena itu, total cara mengatur tempat duduk keenam siswa tersebut adalah $90+120+15=225$ cara.

Bagian pertama pembahasan OSK Matematika SMA 2013 selesai. Tunggu postingan selanjutnya untuk bagian kedua. Jangan lupa baca juga pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013. Dan semoga yang ikut OSK tahun ini bisa lolos ke tahap selanjutnya alias OSP. Good luck!





7 comments :

  1. pak, nomor 3 bukannya bisa q=x^2013(p-x). karena q>0, jadi p>x>0 atau px>0. Karena q prima, jadi cuma punya 1 faktor. jadi x=1. q=p-1 --> p-q=1. jadi yang mungkin cuma p=3,q=2. ga mungkin lebih dari itu karena prima setelahnya selalu ganjil, kalo dikurang pasti genap.. jadinya p+q=5.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih koreksinya, saya salah baca kalimat "mempunyai akar - akar bilangan bulat"

      pada teks soal. Akibatnya salah persepsi seperti di atas.

      Delete
    2. iya pak, maaf juga saya nulisnya rada kacau

      Delete
  2. nomer 8 itu di kunci jawaban dari dinas 50 derajat.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Untuk jawaban dari dinas saya tidak tahu. Pembahasan di atas adalah murni pandangan dan pendapat dari saya pribadi. Masalah benar salah saya juga kurang tahu.

      Namun jika ada analisis saya yang salah maka mari kita diskusikan bersama. Saya sangat mengharap masukan dari para pembaca.

      Terima kasih

      Delete
  3. pak, buat persiapan osp dong pak, hehe

    ReplyDelete
  4. makasii :D
    sangat bermanfaat :)

    ReplyDelete