tko

tko

tko

tko

20 April 2013

Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2013 Part 2

Ditulis Oleh pada 20 April 2013


Kembali lagi ke OSK Matematika SMA tahun 2013. Melanjutkan postingan saya sebelumnya tentang pembahasan OSK Matematika SMA, kini saya kembali dengan pembahasan bagian kedua. Memang agak lama sih rentang waktunya dari bagian pertama. Maklum untuk menulis pembahasan yang penuh dengan equation cukup membosankan juga.

Tanpa banyak cuap - cuap silakan disimak pembahasan OSK Matematika SMA bagian kedua ini. Namun, bagi yang belum membaca pembahasan bagian pertama, silakan kunjungi postingan saya yang di sini.

11. Suatu partikel bergerak pada bidang Cartesius dari titik $(0,0)$. Setiap langkah bergerak satu - satuan searah sumbu $X$ positif dengan probabilitas $0,6$ atau searah sumbu $Y$ positif dengan probabilitas $0,4$. Setelah sepuluh langkah, probabilitas partikel tersebut sampai pada titik (6,4) dengan melalui titik (3,4) adalah ...

osk matematika sma 2013 gambar 11
Sebuah partikel akan bergerak dari $A$ menuju $B$ dengan melalui $C$. Dari $A$ ke titik $C$ banyaknya cara ada $\dfrac{7!}{3!\times 4!}=35$. Sedangkan dari $C$ ke $B$ hanya ada satu cara. Oleh karena itu, banyak cara partikel bergerak dari $A$ menuju $B$ dengan melalui $C$ ada $35\times 1=35$ cara. Perhatikan bahwa bagaimana pun cara pertikel tersebut bergerak dari $A$ menuju $B$ maka dia akan selalu 6 kali bergerak searah sumbu $X$ positif dan 4 kali bergerak searah sumbu $Y$ positif. Jadi, besarnya peluang pertikel bergerak dari $A$ menuju $B$ dengan melalui $C$ adalah $35\times (0,6)^6\times (0,4)^4=\dfrac{81648}{5^9}$.

12. Diberikan segitiga $ABC$, dengan panjang sisi $AB=30$. Melalui $AB$ sebagai diameter, dibuat sebuah lingkaran, yang memotong sisi $AC$ dan sisi $BC$ berturut - turut di $D$ dan $E$. Jika $AD=\frac{1}{3}AC$ dan $BE=\frac{1}{4}BC$, maka luas segitiga $ABC$ sama dengan ...

Perhatikan sketsa gambar di bawah ini !
osk matematika sma 2013 gambar 12
Perlu diperhatikan bahwa $\angle ADB=\angle CDB=\angle AEB=\angle AEC=90^\circ$. Misal, $AD=x$ dan $BE=y$ maka $AC=3x, CD=2x, BC=4y$ dan $CE=3y$. Dengan teorema Phytagoras pada segitiga $ABD$ dan segitiga $BCD$ diperoleh $$\begin{align*} 30^2-x^2=(4y)^2-(2x)^2&\Leftrightarrow 900-x^2=16y^2-4x^2\\ &\Leftrightarrow 900=16y^2-3x^2 \end{align*}$$ Demikian pula dengan teorema Phytagoras pada segitiga $ABE$ dan segitiga $ACE$ diperoleh $$\begin{align*} 30^2-y^2=(3x)^2-(3y)^2&\Leftrightarrow 900-y^2=9x^2-9y^2\\ &\Leftrightarrow 900=9x^2-8y^2 \end{align*}$$ dengan menggabungkan kedua persamaan di atas didapat, $$\begin{equation*} 16y^2-3x^2=9x^2-8y^2\Leftrightarrow 24y^2=12x^2\Leftrightarrow x^2=2y^2 \end{equation*}$$ sehingga kita peroleh $$\begin{align*} 900=16y^2-3x^2=16y^2-6y^2=10y^2\Leftrightarrow y=\sqrt{90} \end{align*}$$ Oleh karena itu, $$\begin{align*} AE^2=900-y^2=900-90=810\Leftrightarrow AE=\sqrt{810} \end{align*}$$ Jadi, $$\begin{align*} \text{Luas segitiga }ABC&=\frac{1}{2}BC\cdot AE\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4y\cdot\sqrt{810}\\ &=2\cdot \sqrt{90}\sqrt{810}\\ &=2\cdot 3\sqrt{10}\cdot 9\sqrt{10}=540 \end{align*}$$

13. Banyaknya nilai $\alpha$ dengan $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ yang memenuhi persamaan $$\begin{equation*} (1+\cos \alpha)(1+\cos 2\alpha)(1+\cos 4\alpha)=\frac{1}{8} \end{equation*}$$ adalah ...

Ingat identitas trigonometri $\cos 2x=2\cos^2 x-1\Leftrightarrow \cos^2 x=\dfrac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)$. Selanjutnya lakukan sedikit manipulasi $$\begin{align*} (1+\cos \alpha)(1+\cos 2\alpha)(1+\cos 4\alpha)&=\frac{1}{8}\\ (1-\cos^2 \alpha)(1+\cos 2\alpha)(1+\cos 4\alpha)&=\frac{1}{8}(1-\cos \alpha)\\ (1-\cos 2\alpha)(1+\cos 2\alpha)(1+\cos 4\alpha)&=\frac{1}{4}(1-\cos \alpha)\\ (1-\cos^2 2\alpha)(1+\cos 4\alpha)&=\frac{1}{4}(1-\cos \alpha)\\ (1-\cos 4\alpha)(1+\cos 4\alpha)&=\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)\\ 1-\cos^2 4\alpha &=\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)\\ 1-\cos 8\alpha &=1-\cos \alpha\\ \cos 8\alpha &=\cos \alpha \end{align*}$$ Sehingga diperoleh,
  • $8\alpha=\alpha+k\cdot 360^\circ\Leftrightarrow 7\alpha =k\cdot 360^\circ.$
    Diperoleh $\alpha=\dfrac{360^\circ}{7}$.
  • $8\alpha=-\alpha+k\cdot 360^\circ\Leftrightarrow 9\alpha =k\cdot 360^\circ\Leftrightarrow \alpha=k\cdot 40^\circ$.
    Diperoleh $\alpha=40^\circ$ atau $\alpha=80^\circ$.
Jadi, ada tiga nilai $\alpha$ yang memenuhi.

14. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $O$ sebagai pusat lingkaran luarnya. Misalkan $M$ dan $N$ berturut - turut pertengahan $OA$ dan $BC$. Jika $\angle ABC=4\angle OMN$ dan $\angle ACB=6\angle OMN$, maka besarnya $\angle OMN$ sama dengan ...

osk matematika sma 2013 gambar 11
Misalkan $\angle OMN=x$. $\triangle BOC$ adalah segitiga sama kaki. Karena $BN=NC$ maka $ON$ adalah garis tinggi sehingga $\angle CNO=90^\circ$ dan $\angle CON=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=180^\circ-10x$. Perhatikan juga bahwa $\angle AOC=2\angle ABC=8x$ sehingga $\angle AON=\angle AOC+\angle CON=8x+180^\circ-10x=180^\circ-2x$. Karena $\angle OMN=x$ dan $\angle MON=\angle AON=180^\circ-2x$ maka berakibat $\angle ONM=x$. Dengan kata lain $\triangle OMN$ adalah segitiga samakaki dengan $ON=OM=\frac{1}{2}OC$. Oleh karena itu, $\cos \angle CON=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \angle CON=60^\circ$. Jadi, diperoleh $180^\circ-10x=60^\circ\Leftrightarrow x=12^\circ$. Maka besar $\angle OMN=12^\circ$.

15. Tentukan semua bilangan tiga digit yang memenuhi syarat bahwa bilangan tersebut sama dengan penjumlahan dari faktorial setiap digitnya.

Misalkan bilangan tersebut adalah $\overline{abc}$. Karena $\overline{abc}=a!+b!+c!$ dan $7!=5040$ maka $a,b,c\leq 6$. Jika salah satu dari $a,b,c$ adalah $6$ maka $\overline{abc} > 6!=720$ yang jelas tak mungkin. Jadi $a,b,c\leq 5$. Oleh karena itu $\overline{abc} \leq 5!+5!+5!=360$. Sehingga $a \leq 3$. Perhatikan juga bahwa $4!+4!+4!=72$. Oleh karena itu paling tidak salah satu dari $a,b,c$ sama dengan $5$.
  • Jika $a=1$, maka diperoleh $1!+5!+1!=122, 1!+5!+2!=123, 1!+5!+3!=127, 1!+5!+4!=145$,
    $1!+5!+5!=241$. Jadi yang mungkin hanya $\overline{abc}=145$.
  • Jika $a=2$, kedua $b,c$ harus sama dengan $5$, tetapi $2!+5!+5!=242\neq 255$. Jadi, tidak ada yang memenuhi.
  • Jika $a=3$, diperoleh $\overline{abc}\geq 300$ akan tetapi $\overline{abc}\leq 3!+5!+5!=246$ yang jelas tak mungkin.
Jadi, satu - satunya bilangan tiga digit yang memenuhi adalah $145$.

16. Diberikan himpunan $$\begin{equation*} S=\left\{x\in\mathbb{Z}\Bigl|\frac{x^2-2x+7}{2x-1}\in\mathbb{Z}\right\} \end{equation*}$$ Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah ...

Misal $t=\dfrac{x^2-2x+7}{2x-1}$ maka diperoleh $$\begin{equation*} t=\frac{1}{4}\left(\frac{4x^2-8x+28}{2x-1}\right)=\frac{1}{4}\left(2x-3+\frac{25}{2x-1}\right) \end{equation*}$$ Agar diperoleh $t$ bulat maka haruslah $(2x-1)$ membagi $25$. Ada enam kasus yang mungkin
  • $2x-1=1\Leftrightarrow x=1$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(-1+25)=6$.
  • $2x-1=5\Leftrightarrow x=3$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(3+5)=2$.
  • $2x-1=25\Leftrightarrow x=13$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(23+1)=6$.
  • $2x-1=-1\Leftrightarrow x=0$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(-3-25)=-7$.
  • $2x-1=-5\Leftrightarrow x=-2$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(-7-5)=-3$.
  • $2x-1=-25\Leftrightarrow x=-12$. Diperoleh $t=\frac{1}{4}(-27-1)=-7$.
Jadi, diperoleh $S=\{-12,-2,0,1,3,13\}$ sehingga banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah $2^6=64$.

17. Untuk $x>0,y>0$ didefinisikan $f(x,y)$ adalah nilai terkecil diantara $x,\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{x},\dfrac{1}{y}$. Nilai terbesar yang mungkin dicapai oleh $f(x,y)$ adalah ...

Jika $x=\dfrac{1}{y}=\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{x}$ maka diperoleh $xy=1$ dan $$\begin{align*} x=\frac{y}{2}+\frac{2}{x}&\Leftrightarrow x=\frac{xy+4}{2x}\\ &\Leftrightarrow 2x^2=5\\ &\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{10}}{2} \end{align*}$$ Selanjutnya akan ditunjukkan nilai terbesar dari $f(x,y)$ adalah $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Untuk kasus $x\leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ atau $\dfrac{1}{y}\leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ jelas bahwa $f(x,y)\leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Oleh karena itu, anggap $x > \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ dan $\dfrac{1}{y} > \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. Untuk kasus ini diperoleh, $$\begin{equation*} \frac{y}{2}+\frac{2}{x} < \frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2} \end{equation*}$$ Jadi, diperoleh $f(x,y) < \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Terbukti bahwa nilai terbesar dari $f(x,y)$ adalah $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ yang dicapai ketika $x=\dfrac{1}{y}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

18. Nilai $k$ terkecil sehingga jika sembarang $k$ bilangan dipilih dari $\{1, 2, ..., 30\}$, selalu dapat ditemukan $2$ bilangan yang hasil kalinya merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ...

Kita kelompokkan terlebih dahulu bilangan - bilangan yang jika sebarang dua bilangan diantaranya dikalikan akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna, yaitu sebagai berikut
Kelompok 1Kelompok 2Kelompok 3Kelompok 4Kelompok 5Kelompok 6
123567
4812202428
91827
16
25
Sedangkan himpunan 13 bilangan sisanya yaitu $\{10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30\}$ adalah himpunan yang hasil perkalian sebarang dua anggotanya bukan kuadrat sempurna. Berdasarkan pigeon hole principle, jika diambil $7$ bilangan dari enam kelompok di atas maka pasti ada setidaknya dua bilangan yang berasal dari kelompok yang sama. Itu berarti hasil perkalian dua bilangan tersebut adalah kuadrat sempurna. Oleh karena itu, jika kita mengambil sebarang $13+7=20$ bilangan pasti ada setidaknya dua bilangan yang hasil perkaliannya berupa kuadrat sempurna.
Sedangkan untuk $k\leq 19$ maka bisa dipilih bilangan dari himpunan berikut sebagai counter example, $\{1,2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30\}$.
Jadi, nilai terkecil dari $k$ adalah $k=20$.

19. Diketahui $x_1,x_2$ adalah dua bilangan bulat berbeda yang merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^2+px+q+1=0$. Jika $p$ dan $p^2+q^2$ adalah bilangan - bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin dari $x_1^{2013}+x_2^{2013}$ adalah ...

Berdasarkan teorema Vieta diperoleh, $$\begin{equation*} x_1+x_2=-p \text{ dan }x_1x_2=q+1 \end{equation*}$$ oleh karena itu $$\begin{align*} (x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2&=p^2+(q+1)^2\\ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+x_1^2x_2^2&=p^2+q^2+2q+1\\ x_1^2+x_2^2+2q+2+x_1^2x_2^2&=p^2+q^2+2q+1\\ x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2+1&=p^2+q^2\\ (x_1^2+1)(x_2^2+1)&=p^2+q^2 \end{align*}$$ Karena $p^2+q^2$ adalah bilangan prima dan $x_1\neq x_2$ maka haruslah salah satu dari $x_1$ atau $x_2$ sama dengan $0$. Dan tanpa mengurangi keumuman, misalkan $x_2=0$ sehingga diperoleh $q+1=0\Leftrightarrow q=-1$. Oleh karena itu, $p^2+q^2=p^2+1$. Karena $p^2+1$ adalah bilangan prima maka haruslah $p$ genap sehingga $p=2$. Jadi, diperoleh $x_1=-2$ dan $x_2=0$ yang berakibat $x_1^{2013}+x_2^{2013}=-2^{2013}$.

20. Misalkan $\lfloor x\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$ dan $\lceil x\rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan $x$. Tentukan semua $x$ yang memenuhi $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=5$.

Jika $x$ adalah bilangan bulat maka $\lfloor x\rfloor=\lceil x\rceil=x$ sehingga tidak mungkin $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=5$. Oleh karena itu $x$ bukan bilangan bulat. Hal ini berakibat $\lceil x\rceil-\lfloor x\rfloor=1$. Sehingga $\lfloor x\rfloor=2$ dan $\lceil x\rceil=3$. Jadi, $2 < x < 3$.

Untuk mengunduh Soal dan Pembahasan Lengkap OSK Matematika SMA Tahun 2013 ini dalam format PDF silakan klik di sini





3 comments :

  1. nice post....
    nanya mas,.. ngetiknya pakai latex atau program lain mas...
    terimakasih sebelumnya..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Thanks udah berkunjung.

      Saya pakai $\LaTeX$

      Delete
  2. Anonymous21 July, 2013

    Pak yg part 1 dan part 2, bisa di jadiin satu di PDF ga biar lebih enak aja.

    ReplyDelete