Melanjutkan kembali thread "Persiapan OSN Matematika SMP 2013", saya post enam soal yang kedua. Silakan dicoba untuk latihan menghadapi OSN 2013 di Batam kelak.
$x,y$ dan $z$ adalah tiga bilangan real positif yang memenuhi persamaan $xy=\dfrac{z-x+1}{y}=\dfrac{z+1}{2}$. Buktikan salah satu dari $x,y$ atau $z$ merupakan rata - rata dari dua bilangan yang lain.
Misalkan $a,b,c$ dan $d$ adalah bilangan bulat non negatif. Tentukan semua quadtuple $(a,b,c,d)$ yang memmenuhi $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$.
$P$ adalah titik di dalam $\triangle ABC$. Perpanjangan $AP, BP$ dan $CP$ berturut - turut memotong sisi $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D,E,F$. Jika diketahui panjang $AP=6, BP=9,PD=6,PE=3$ dan $CF=20$ maka tentukanlah luas $\triangle ABC$.
Dekomposisi dari bilangan bulat positif $n$ adalah suatu cara untuk menuliskan $n$ sebagai jumlahan dari paling sedikit dua bilangan bulat positif( tidak harus berbeda ). Sebagai contoh dekomposisi dari $4$ ada $7$ cara yaitu $1+3,3+1,2+2,1+1+2,1+2+1,2+1+1,1+1+1+1$. Tentukan banyaknya dekomposisi yang mungkin untuk sebarang bilangan bulat positif $n$.
Diberikan $a^4+b^4=7^c$ dengan $a,b$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^2-5x+3=0$. Tentukanlah nilai $c$.
Ruas garis $BE,CE,DF$ dan $CF$ membagi daerah persegi panjang $ABCD$ menjadi beberapa daerah yang lebih kecil. Empat daerah diantaranya, yaitu dua segitiga dan dua segiempat tersebut diarsir seperti pada gambar di bawah ini. Jika luas keempat daerah yang diarsir adalah $9,35,x$ dan $6$ ( seperti terlihat pada gambar ). Tentukanlah nilai $x$.
Pak, Tlg dipostkan jga soal and pembahasan osp smp kmrn.... Trims
ReplyDeleteno 3 dan 6 pakai konsep apa pak?
ReplyDeleteNo.3 pake kekongruenan
DeleteNo.6 lebih sederhana lagi pake konsep perbandingan luas = perbandingan alas jika tinggi segitiga sama.
Ini satu atau dua baris selesai
Pak bisa minta solusi dari soal-soal di atas?
ReplyDeleteUntuk thread ini saya sengaja tidak memberikan solusi. Maksimal hanya sebatas hint saja. Harus bisa sendiri mengingat untuk persiapan OSN
Deletepak bgmn soal no 1 itu,pakai cara apa?
ReplyDeleteAljabar biasa, Otak - atik saja persamaannya.
DeleteMisal kita punya $xy^2=z-x+1$ juga $2xy=z+1$ atau mungkin punya kesamaan - kesamaan yang lain.
Manfaatkan itu semua untuk memperoleh hasilnya.
pak sumber soalnya darimana?
ReplyDeleteSaya ambil dari banyak sumber soal-soalnya
Deletenomor 3 bisa pakai stewart?
ReplyDeleteSaya juga pake stewart di dalam solusinya. Tapi hanya sebagai "alat" bukan strategi utama.
Deletepak, sy dapat solusi no 6 , x = 50 . apakah itu benar ?
ReplyDelete$x=51$
Deletepak nomor 2 pakai cara apa?
ReplyDeleteCari solusi untuk $a\leq b\leq c\leq d$, untuk kasus lain tinggal pakai permutasinya saja
DeleteNo. 5
ReplyDeleteKarena a dan b merupakan akar-akar, maka:
a^2 = 5a - 3
a^4 = (5a - 3)^2 = 25a^2 - 30a + 9 = 25(5a - 3) - 30a + 9 = 95a - 66
Dengan cara yang sama didapat b^4 = 95b - 66
Jadi, a^4 + b^4 = 95(a + b) - 132 = 95(5) - 132 = 343
Dengan demikian, 343 = 7^c, sehingga c = 3
Nomor Tanpa mengurangi keumuman, misalkan a<= b <= c <= d
ReplyDeleteMaka 1/a >= 1/b >=1/c >= 1/d, sehingga 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1 <= 4/a
Karena a nonnegatif, maka a <= 4
Jadi, a sama dengan 1, 2, 3, atau 4.
Jika a = 4, maka 1/b + 1/c + 1/d = 3/4. Selesaikan.
Dan seterusnya.