Persiapan OSN Matematika SMP 2013 Part 2

Melanjutkan kembali thread "Persiapan OSN Matematika SMP 2013", saya post enam soal yang kedua. Silakan dicoba untuk latihan menghadapi OSN 2013 di Batam kelak.

1. $x,y$ dan $z$ adalah tiga bilangan real positif yang memenuhi persamaan $xy=\dfrac{z-x+1}{y}=\dfrac{z+1}{2}$. Buktikan salah satu dari $x,y$ atau $z$ merupakan rata - rata dari dua bilangan yang lain.

2. Misalkan $a,b,c$ dan $d$ adalah bilangan bulat non negatif. Tentukan semua quadtuple $(a,b,c,d)$ yang memmenuhi $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$.

3. $P$ adalah titik di dalam $\triangle ABC$. Perpanjangan $AP, BP$ dan $CP$ berturut - turut memotong sisi $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D,E,F$. Jika diketahui panjang $AP=6, BP=9,PD=6,PE=3$ dan $CF=20$ maka tentukanlah luas $\triangle ABC$.

4. Dekomposisi dari bilangan bulat positif $n$ adalah suatu cara untuk menuliskan $n$ sebagai jumlahan dari paling sedikit dua bilangan bulat positif( tidak harus berbeda ). Sebagai contoh dekomposisi dari $4$ ada $7$ cara yaitu $1+3,3+1,2+2,1+1+2,1+2+1,2+1+1,1+1+1+1$. Tentukan banyaknya dekomposisi yang mungkin untuk sebarang bilangan bulat positif $n$.

5. Diberikan $a^4+b^4=7^c$ dengan $a,b$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^2-5x+3=0$. Tentukanlah nilai $c$.

6. Ruas garis $BE,CE,DF$ dan $CF$ membagi daerah persegi panjang $ABCD$ menjadi beberapa daerah yang lebih kecil. Empat daerah diantaranya, yaitu dua segitiga dan dua segiempat tersebut diarsir seperti pada gambar di bawah ini. Jika luas keempat daerah yang diarsir adalah $9,35,x$ dan $6$ ( seperti terlihat pada gambar ). Tentukanlah nilai $x$.