tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

21 April 2013

Persiapan OSN Matematika SMP 2013 Part 2

Ditulis Oleh pada 21 April 2013


Melanjutkan kembali thread "Persiapan OSN Matematika SMP 2013", saya post enam soal yang kedua. Silakan dicoba untuk latihan menghadapi OSN 2013 di Batam kelak.

  1. $x,y$ dan $z$ adalah tiga bilangan real positif yang memenuhi persamaan $xy=\dfrac{z-x+1}{y}=\dfrac{z+1}{2}$. Buktikan salah satu dari $x,y$ atau $z$ merupakan rata - rata dari dua bilangan yang lain.

  2. Misalkan $a,b,c$ dan $d$ adalah bilangan bulat non negatif. Tentukan semua quadtuple $(a,b,c,d)$ yang memmenuhi $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$.

  3. $P$ adalah titik di dalam $\triangle ABC$. Perpanjangan $AP, BP$ dan $CP$ berturut - turut memotong sisi $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D,E,F$. Jika diketahui panjang $AP=6, BP=9,PD=6,PE=3$ dan $CF=20$ maka tentukanlah luas $\triangle ABC$.

  4. Dekomposisi dari bilangan bulat positif $n$ adalah suatu cara untuk menuliskan $n$ sebagai jumlahan dari paling sedikit dua bilangan bulat positif( tidak harus berbeda ). Sebagai contoh dekomposisi dari $4$ ada $7$ cara yaitu $1+3,3+1,2+2,1+1+2,1+2+1,2+1+1,1+1+1+1$. Tentukan banyaknya dekomposisi yang mungkin untuk sebarang bilangan bulat positif $n$.

  5. Diberikan $a^4+b^4=7^c$ dengan $a,b$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^2-5x+3=0$. Tentukanlah nilai $c$.

  6. Ruas garis $BE,CE,DF$ dan $CF$ membagi daerah persegi panjang $ABCD$ menjadi beberapa daerah yang lebih kecil. Empat daerah diantaranya, yaitu dua segitiga dan dua segiempat tersebut diarsir seperti pada gambar di bawah ini. Jika luas keempat daerah yang diarsir adalah $9,35,x$ dan $6$ ( seperti terlihat pada gambar ). Tentukanlah nilai $x$.

    osn matematika smp 2013





17 comments :

  1. Pak, Tlg dipostkan jga soal and pembahasan osp smp kmrn.... Trims

    ReplyDelete
  2. no 3 dan 6 pakai konsep apa pak?

    ReplyDelete
    Replies
    1. No.3 pake kekongruenan

      No.6 lebih sederhana lagi pake konsep perbandingan luas = perbandingan alas jika tinggi segitiga sama.

      Ini satu atau dua baris selesai

      Delete
  3. Pak bisa minta solusi dari soal-soal di atas?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Untuk thread ini saya sengaja tidak memberikan solusi. Maksimal hanya sebatas hint saja. Harus bisa sendiri mengingat untuk persiapan OSN

      Delete
  4. skropowpiwmiw25 April, 2013

    pak bgmn soal no 1 itu,pakai cara apa?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Aljabar biasa, Otak - atik saja persamaannya.

      Misal kita punya $xy^2=z-x+1$ juga $2xy=z+1$ atau mungkin punya kesamaan - kesamaan yang lain.

      Manfaatkan itu semua untuk memperoleh hasilnya.

      Delete
  5. pak sumber soalnya darimana?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya ambil dari banyak sumber soal-soalnya

      Delete
  6. nomor 3 bisa pakai stewart?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya juga pake stewart di dalam solusinya. Tapi hanya sebagai "alat" bukan strategi utama.

      Delete
  7. pak, sy dapat solusi no 6 , x = 50 . apakah itu benar ?

    ReplyDelete
  8. pak nomor 2 pakai cara apa?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Cari solusi untuk $a\leq b\leq c\leq d$, untuk kasus lain tinggal pakai permutasinya saja

      Delete
  9. No. 5
    Karena a dan b merupakan akar-akar, maka:
    a^2 = 5a - 3
    a^4 = (5a - 3)^2 = 25a^2 - 30a + 9 = 25(5a - 3) - 30a + 9 = 95a - 66
    Dengan cara yang sama didapat b^4 = 95b - 66
    Jadi, a^4 + b^4 = 95(a + b) - 132 = 95(5) - 132 = 343
    Dengan demikian, 343 = 7^c, sehingga c = 3

    ReplyDelete
  10. Nomor Tanpa mengurangi keumuman, misalkan a<= b <= c <= d
    Maka 1/a >= 1/b >=1/c >= 1/d, sehingga 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1 <= 4/a
    Karena a nonnegatif, maka a <= 4
    Jadi, a sama dengan 1, 2, 3, atau 4.
    Jika a = 4, maka 1/b + 1/c + 1/d = 3/4. Selesaikan.
    Dan seterusnya.

    ReplyDelete