tko

tko

tko

tko

16 April 2013

Persiapan OSN Matematika SMP 2013 Part 1

Ditulis Oleh pada 16 April 2013


Bagi adik - adik siswa SMP yang hari Sabtu, 13 April 2013 kemarin mengikuti seleksi olimpiade matematika tingkat provinsi alias OSP, pasti semua saat ini merasakan hal yang sama. Semua merasa deg - degan,was - was, dan khawatir bisa lolos ke Batam atau tidak. Dan tentunya semua masih harus menunggu pengumuman dari pusat. Bersabar untuk dua minggu ini.

Soal OSP Matematika tingkat SMP tahun ini menurut sebagian siswa yang ikut test terbilang sulit. Dan setelah saya lihat, memang ada beberapa nomor yang saya sendiri secara pribadi juga belum bisa menyelesaikan. Mungkin lain kali akan saya post di blog ini juga, soal dan pembahasan OSP Matematika tingkat SMP tahun 2013.

Untuk saat ini, saya belum mau berbicara tentang OSP SMP. Mengingat niatan saya untuk menyusun pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2013 bagian kedua juga belum selesai. Jadi, saya selesaikan dulu yang OSK SMA baru ke OSP SMP.

Berhubung untuk pembahasan OSK SMA juga belum kelar - kelar. Saya mau menyisipi dulu dengan soal - soal untuk persiapan OSN SMP. Yah, walaupun hasil OSP belum keluar namun kita harus yakin bahwa kita lolos. Keyakinan kan juga salah satu wujud dari doa. Jadi, yakin saja kalau pasti lolos ke Batam. Dan untuk itu, sambil menunggu pengumuman ada baiknya kita mencuri start untuk mempersiapkan diri guna menyongsong OSN 2013.

lolos osp matematika smp ke  osn batam 2013

Untuk urusan persiapan pasti masing - masing sudah punya tentor dan pembimbing sendiri - sendiri. Entah dari guru maupun dosen dan yang lain. Posisi saya hanya sekedar membantu. Bagaimana caranya? Sampai menjelang pelaksanaan OSN saya akan rutin memposting soal latihan dengan nama thread "Persiapan OSN SMP 2013". Setiap post berisi 6 soal. Hanya soal tanpa jawaban. Nah, soal - soal tersebut silakan dicoba sebagai latihan. Jika menemui kesulitan, kita bisa diskusi melalui kotak komentar. Silakan bertanya dan saya akan menjawab sesuai kemampuan yang saya miliki.

Oke, karena sudah terlalu panjang ngomongnya berikut 6 soal pertama untuk "Persiapan OSN SMP 2013".

  1. Carilah semua bilangan lima digit $abcde$ yang habis dibagi 275 dan kebalikannya yaitu $edcba$ juga habis dibagi 275.

  2. Diketahui persegi $ABCD$ dan titik $E$ terletak pada sisi $AB$. Diagonal $AC$ memotong ruas garis $DE$ di titik $P$. Dari titik $P$ dibuat sebuah garis yang tegak lurus $DE$ sehingga memotong $BC$ di $F$. Buktikan bahwa $EF=AE+FC$.

  3. Diketahui himpunan $M=\{1,2,4,5,7,8,\cdots\}$ yaitu himpunan bilangan asli yang bukan kelipatan 3. Jumlah $2n$ anggota berurutan dari himpunan $M$ adalah 300. Tentukanlah semua nilai $n$ yang mungkin.

  4. Sebuah persegi panjang dapat dipotong - potong menjadi 200 atau menjadi 288 persegi identik. Buktikan bahwa persegi panjang tersebut juga dapat dipotong - potong menjadi 392 persegi identik.

  5. Diketahui digit terakhir dari $a^2+ab+b^2$ dengan $a,b$ bilangan bulat taknegatif adalah 0. Tentukan dua digit terakhir dari bilangan tersebut.

  6. Diketahui $\triangle ABC$ dan misalkan $D$ adalah titik tengah sisi $BC$. Pada sisi $AB$ dan $AC$ berturut - turut terdapat titik $M$ dan $N$, keduanya bukan titik tengah. Jika $AM^2+AN^2=BM^2+CN^2$ dan $\angle MDN=\angle BAC$, carilah besar $\angle BAC$.

Silakan dicoba dikerjakan. Semoga bermanfaat.

Next : Persiapan OSN Matematika SMP 2013 Part 2





27 comments :

  1. pak, boleh bantu minta solusinya soal berikut nggak...

    banyaknya persegi termasuk persegi panjang yg dapat dibentuk dari 30 persegi berukuran 6 X 5 adalah...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Ukuran persegi panjang yang terbentuk adalah bilangan bulat dengan bentuk $5x+6y$, $x,y$ bilangan bulat non negatif. Luas persegi panjang tersebut adalah $900$. Mengingat $900=2^2\times 3^2\times 5^2$ maka ukuran persegi panjang yang mungkin yaitu :

      $1\times 900$, $2\times 450$, $3\times 300$

      $4\times 225$, $5\times 180$, $6\times 150$

      $9\times 100$, $10\times 90$, $12\times 75$

      $15\times 60$, $18\times 50$, $20\times 450$

      $25\times 36$, $30\times 30$

      Mudah dicek bahwa ukuran yang memenuhi hanya ada $8$ yaitu :

      $5\times 180$, $6\times 150$, $10\times 90$

      $12\times 75$, $15\times 60$, $18\times 50$

      $25\times 36$, $30\times 30$

      Oleh karena itu ada $8$ persegi panjang berbeda yang bisa dibentuk.

      Delete
  2. iya pak , makasih , tapi bagaimana dgn soal seperti

    sebuah persegi panjang dengan ukuran 6X5 dibagi menjadi 30 persegi satuan. banyaknya persegi (termasuk persegi panjang) yang dapat dibuat pada persegi panjang tersebut adalah ...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Mungkin
      $(1+2+3+4+5)\times (1+2+3+4+5+6)$
      $=15\times 21=315$

      Delete
  3. terima kasih pak.

    ReplyDelete
  4. Permisi pak, bisa tlg bantu gmana ngerjain soal ini gx ??

    Diketahui suatu himpunan dengan 6 unsur berbeda, misalkan S = a,b,c,d,e,f. Akan ditentukan dua himpunan bagian sembarang dari S sedemikian sehingga gabungan dari kedua himpunan bagian tersebut adalah S. urutan unsur dalam himpunan tidak diperhatikan. Sebagai contoh, himpunan bagian : a,b,cdan c,d,e,f dianggap sama dengan f,d,e,c dan a,c ,b. Tentukan Banyak cara memilih pasangan himpunan Bagian yang dimaksud ???

    ReplyDelete
    Replies
    1. Jika dua himpunan tersebut adalah $A$ dan $B$ maka untuk sebarang himpunan bagian $A$ kita selalu bisa mendapatkan himpunan bagian $B$ sehingga $A\cup B=S$. Jika pasangan $(A,B)$ sama dengan pasangan $(B,A)$ maka ada $\dfrac{2^6}{2}=2^5$ pasangan. Jika dianggap beda maka ada $2^6$ pasangan.

      Delete
  5.  maksudnya kurung krawal pak....

    ReplyDelete
  6. Ok... Thx pak... .

    ReplyDelete
  7. a^2 + b^2 + ab = (a + b)^2 - ab
    Angka satuannya nol, berarti habis dibagi 10.
    Perhatikan bahwa angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, atau 9.
    Agar angka satuannya 0, haruslah (a + b)^2 dan ab mempunyai angka satuan yang sama.
    Jika angka satuannya 0, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 0 x 0 atau genap x 5
    Tetapi genap x 5 akan membuat a+b tidak mempunyai angka satuan 0.
    Untuk perkalian satuan 0X0, misalkan a=10m dan b=10n.
    Maka a^2 + b^2 + ab = 100m^2 + 100n^2 + 100mn = 100(m^2+n^2+mn).
    Maka dua digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 00.
    Jika angka satuannya 1, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 1 x 1, 3 x 7, atau 9 x 9.
    Tetapi tidak ada yang membuat a+b mempunyai angka satuan 1 atau 9.
    Jika angka satuannya 4, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 2 x 2, 4 x 6, atau 8 x 8
    Tetapi tidak ada yang membuat a+b mempunyai satuan 2 atau 8
    Jika angka satuannya 5, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 5 x ganjil.
    Tetapi tidak ada yang membuat a+b mempunyai satuan 5
    Jika angka satuannya 6, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 2x8, 4x4, atau 6x6
    Tetapi tidak ada yang membuat a+b mempunyai satuan 4 atau 6.
    Jika angka satuannya 9, perkalian satuan ab yang mungkin adalah 3x3 atau 7x7.
    Tetapi tidak ada yang membuat a+b mempunyai satuan 3 atau 7.

    Jadi, dua digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 00.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Boleh juga analisisnya.

      Alternatif lain :
      $a,b$ genap jadi $a^2+ab+b^2$ habis dibagi $4$. Selanjutnya tunjukkan $a^2+ab+b^2$ habis dibagi $25$. Untuk ini bisa dimulai dari fakta $a^2+ab+b^2$ habis dibagi $10$ trus identitas $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ dan bla bla bla .....

      Delete
  8. Soal no. 1
    Hint:
    Agar habis dibagi 275, karena a dan b tidak bisa 0, maka a dan b = 5.
    275 = 5 x 5 x 11. Jadi, gunakan modulo 5 dan 11.
    Selanjutnya, kuli.
    :)

    ReplyDelete
    Replies
    1. Gunakan fakta juga bahwa bilangan kelipatan 25 ganjil dua digit terakhirnya adalah $25$ atau $75$. Ngulinya jadi simple.

      Delete
  9. Untuk soal no.6, bisa dibantu ngak ??

    ReplyDelete
    Replies
    1. Misal titik $E$ dan $F$ berturut- turut adalah titik tengah sisi $AB$ dan $AC$. Refleksikan $D$ terhadap titik $F$. Setelah ini gunakan kesebangunan.

      Final answernya $\angle BAC$ siku - siku

      Delete
  10. kesebangunan antara segitiga apa yah ??

    ReplyDelete
  11. Lebih tepatnya kekongruenan antara $\triangle EDM$ dengan $\triangle D'FN$ dengan $D'$ refleksi titik $D$ terhadap $F$ seperti yang saya katakan di atas

    ReplyDelete
    Replies
    1. kenapa bisa kongruen pak?

      Delete
    2. pake syarat yang sisi, sudut, sisi kalau tidak salah itu. Andai tak kongruen pun tak masalah, karena yang dimanfaatkan cuma sudut-sudutnya saja. Otak - atik mulai dari kesamaan yang diberikan untuk mendapatkan perbandingan sisi-sisi yang sebanding antar $\triangle EDM$ dan $\triangle D'FN$

      Delete
  12. pak no.1 jawabannya 52525 dan 57475?

    ReplyDelete
  13. Anonymous03 May, 2013

    yang nomor 3 gimana pak?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Anggota $M$ berbentuk $3k+1$ atau $3k+2$. Jadi, bagaimana kalau $2n$ bilangan itu dimulai dari bilangan yang berbentuk $3k+1$ atau dimulai dari $3k+2$?

      Ayo dicoba, moga membantu

      Delete
  14. smangat !!!!!!! bantu anak bangsa agar hebat matematika.....

    ReplyDelete
  15. 2 pangkat 1000 bagi 7 sisanya adalah

    ReplyDelete
    Replies
    1. $2^{1000}=(2^3)^{333}\cdot 2=8^{333}\cdot 2=(7+1)^{333}\cdot 2$

      Delete
    2. Bisa juga pake Fermat Little Theorem, $2^6\equiv 1\quad\text{mod }7$. Jadi

      $2^{1000}\equiv 2^{6\cdot 166+4}\equiv (2^6)^{166}\cdot 2^4\equiv 16\equiv 2\quad\text{mod }7$

      Delete