tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

08 April 2013

Limit Fungsi Trigonometri Lumayan Ribet

Ditulis Oleh pada 08 April 2013


Bagi temen - temen yang mau mengikuti UN minggu depan. Khususnya kali ini, bagi siswa kelas XII IPA, ini saya dapat soal limit fungsi trigonometri dari forum sebelah. Monggo disimak sebentar. Mudah - mudahan bermanfaat.

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut : $$\begin{equation*} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\Bigl(1-\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin x\Bigr)}{\Bigl(1+\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\right) \end{equation*}$$

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, agar lebih mudah kita sederhanakan terlebih dahulu fungsinya. $$\begin{align*} \frac{\Bigl(1-\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin x\Bigr)}{\Bigl(1+\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}&=\frac{\Bigl(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin x\Bigr)}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\\ &=\frac{\Bigl(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin^2 x\Bigr)}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\\ &=\frac{\cos x\cdot \cos^2 x}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\\ &=\frac{\cos^3 x}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3} \end{align*}$$ Jadi diperoleh, $$\begin{align*} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\Bigl(1-\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin x\Bigr)}{\Bigl(1+\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}&=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3 x}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\\ &=\lim\limits_{(x-\frac{\pi}{2})\to 0}\frac{-\sin^3 (x-\frac{\pi}{2})}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)(-8)\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr)^3}\\ &=\frac{1}{8}\cdot\lim\limits_{(x-\frac{\pi}{2})\to 0}\frac{\sin^3 (x-\frac{\pi}{2})}{\Bigl(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\Bigr)^2\Bigl(1+\sin x\Bigr)\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr)^3}\\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{1^3}{(\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2})(1+1)}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{32} \end{align*}$$ Jadi, $$\begin{equation*} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\Bigl(1-\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\sin x\Bigr)}{\Bigl(1+\tan \frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(\pi-2x\Bigr)^3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{32} \end{equation*}$$ Ayo monggo dicek apa ada yang salah?





1 comments :

  1. Mas , kpan nih ngepost pembahasannya OSK Matematika SMA 2013 ??

    ReplyDelete