tko

tko

tko

tko

08 April 2013

Bilangan Basis Sepuluh : Definisi dan Aplikasinya Dalam Soal Olimpiade Matematika

Ditulis Oleh pada 08 April 2013


Dalam kehidupan sehari - hari, jika melihat bilangan $6825$ maka kebanyakan orang akan secara otomatis membaca "enam ribu delapan ratus dua puluh lima". Hal ini berarti ada enam bilangan seribu, delapan bilangan seratus, dua bilangan sepuluh dan ditambah lima. Dalam notasi matematika ditulis, $$\begin{equation*} 6825=6\times1000+8\times100+2\times10+5 \end{equation*}$$ Penyajian bilangan seperti di atas dikenal sebagai penyajian bilangan dalam basis sepuluh atau desimal.

penyajian bilangan dalam basis sepuluh desimal

Sebenarnya selain basis sepuluh, terdapat pula penyajian bilangan dalam basis lain. Seperti basis dua yang banyak dipakai di dunia komputerisasi, bisa juga basis tiga, empat dan seterusnya. Namun dalam kehidupan sehari - hari sudah terdapat semacam konvensi bahwa bilangan yang umum dipakai adalah dalam basis sepuluh.

Nah berkenaan dengan hal itu, akan kita pelajari khusus mengenai basis sepuluh. Untuk basis lain mungkin lain kali ya. Dan sebagai kesepakatan pula, untuk postingan kali semua bilangan yang muncul adalah dalam basis sepuluh kecuali ditulis lain. Ingat itu, jangan bingung.

Definisi Basis Sepuluh

Penyajian bilangan dalam basis sepuluh adalah sistem penyajian bilangan yang memakai sepuluh sebagai basis/ dasarnya. Dalam basis sepuluh, $(n+1)$ digit bilangan bulat nonnegatif $N=a_na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0$ bermakna $$\begin{equation*} N=a_n\times10^n+a_{n-1}\times10^{n-1}+a_{n-2}\times10^{n-2}+\cdots+a_\times10+a_0\quad **) \end{equation*}$$ Sehingga bilangan $2324$ bermakna $2\times10^3+3\times10^2+2\times10+4$.


Manfaat penyajian bilangan seperti pada $**)$ adalah sebuah bilangan diekspansi dalam $(n+1)$ bilangan yang independen. Itu artinya meskipun ada beberapa digit dari bilangan tersebut yang belum diketahui, kita tetap dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan operasi perkalian secara bebas. Tanpa terlalu terkait antara satu dengan yang lain.

Contoh soal berikut mungkin bisa memberi sedikit gambaran manfaat seperti yang saya utarakan di atas.

Contoh 1.
$abcdef$ adalah bilangan enam digit sedemikian sehingga $defabc$ bernilai enam kali $abcdef$. Tentukan nilai $a+b+c+d+e+f$.
Penyelesaian : Perhatikan bahwa kita bisa menulis $abcdef=abc000+def=1000\cdot abc+def$. Sehingga berdasarkan asumsi soal diperoleh, $$\begin{align*} 1000\cdot def+abc&=6(1000\cdot abc+def)\\ 1000\cdot def+abc&=6000\cdot abc+6\cdot def)\\ 994\cdot def&=5999\cdot abc\\ 142\cdot def&=857\cdot abc \end{align*}$$ Karena $FPB(142,857)=1$ maka $857$ membagi $def$. Padahal $def$ adalah bilangan tiga digit berakibat $def=857$. Sehingga tentu saja $abc=142$. Oleh karena itu, $a+b+c+d+e+f=1+4+2+8+5+7=27$.

Atau mungkin contoh soal lain yang mirip dan pernah ditanyakan melalui blog ini yaitu
Tentukan bilangan enam digit $MANDOR$ sehingga $7\times MANDOR=6\times DORMAN$.
Setelah melihat contoh di atas saya rasa pembaca sudah bisa menyelesaikan soal ini dengan mudah.

Beberapa Bentuk Khusus.

  • $\underbrace{aaa\cdots aa}_{n \text{ of }a}=a(10^{n-1}+10^{n-2}+10^{n-3}+\cdots +10+1)=\dfrac{a}{9}\left(10^n-1\right)$
  • $\underbrace{abab\cdots ab}_{n \text{ of }ab}=ab(10^{2(n-1)}+10^{2(n-2)}+\cdots +10^2+1)=\dfrac{ab}{99}\left(10^{2n}-1\right)$
  • $\underbrace{abcabc\cdots abc}_{n \text{ of }abc}=abc(10^{3(n-1)}+10^{3(n-2)}+\cdots +10^3+1)=\dfrac{abc}{999}\left(10^{3n}-1\right)$

dan seterusnya apabila terdapat pengulangan digit secara periodik, pembaca dapat menentukan sendiri bagaimana formulanya dengan melihat beberapa contoh di atas.

Contoh Aplikasi Dalam Soal

Contoh 2.
Tentukan bilangan bulat positif terkecil yang digit pertamanya adalah $4$, dan jika digit $4$ tersebut dipindah ke bagian akhir dari bilangan tersebut akan diperoleh bilangan baru yang nilainya $\frac{1}{4}$ dari bilangan semula.
Penyelesaian : Misalkan bilangan tersebut adalah $N$ yang terdiri dari $(n+1)$ digit. Maka diperoleh $N=4\times 10^n+x$ dengan $x$ adalah bilangan terdiri dari $n$ digit. Berdasarkan asumsi pada soal diperoleh, $$\begin{align*} 4(10x+4)&=4\times 10^n+x\\ 39x&=4\times 10^n-16\\ 39x&=4(10^n-4)\\ 39x&=4\times \underbrace{999\cdots 99}_{n}6\\ 13x&=4\times \underbrace{333\cdots 33}_{n}2 \end{align*}$$ Selanjutnya tinggal dicek nilai $n$ terkecil sehingga $13$ membagi $\underbrace{333\cdots 33}_{n}2$.
  1. $32=13\times 2+6$
  2. $332=13\times 25+7$
  3. $3332=13\times 256+4$
  4. $33332=13\times 2564$
Oleh karena itu diperoleh, $13x=4\times 33332\Leftrightarrow x=4\times 2564=10256$. Jadi, didapat $N=410256$.

Contoh 3.
Buktikan bilangan - bilangan dalam barisan $$\begin{equation*} 12, 1122, 111222, 11112222,\cdots \end{equation*}$$ merupakan hasil perkalian dari dua bilangan bulat berurutan.
Penyelesaian : Kita selidiki untuk beberapa kasus $12=3\times 4$, $1122=33\times 34$, $111222=333\times 334$. Nah mulai terlihat polanya, bahwa $$\begin{equation*} \underbrace{11\cdots11}_n\underbrace{22\cdots22}_n=\underbrace{33\cdots33}_n\times\underbrace{33\cdots33}_{n-1}4 \end{equation*}$$ Tinggal bagaimana cara membuktikan argumen tersebut.
Untuk tujuan ini bentuk khusus seperti yang telah saya tuliskan di atas bisa dimanfaatkan. Perhatikan bahwa, $$\begin{align*} \underbrace{11\cdots11}_n\underbrace{22\cdots22}_n&=\underbrace{11\cdots11}_n\times10^n+\underbrace{22\cdots22}_n\\ &=\frac{1}{9}(10^n-1)\times 10^n+\frac{2}{9}(10^n-1)\\ &=\frac{1}{9}(10^n-1)(10^n+2)\\ &=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)\left(\frac{10^n+2}{3}\right)\\ &=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)\left(\frac{10^n-1+3}{3}\right)\\ &=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)\left(\frac{10^n-1}{3}+1\right)\\ \end{align*}$$ dan karena $\dfrac{10^n-1}{3}=\underbrace{33\cdots33}_n$, maka terbukti.

Untuk Anda Coba !

  1. Tentukan bilangan asli terkecil $N$ yang memenuhi kedua sifat berikut :
    1. Digit terakhirnya adalah $6$.
    2. Jika digit $6$ tersebut dipindah menjadi digit pertama akan terbentuk bilangan baru yang nilainya empat kali $N$.
  2. Buktikan jika $abc$ habis dibagi $37$ maka $bca$ juga habis dibagi $37$.
  3. Misalkan $N$ adalah bilangan tiga digit sedemikian sehingga jumlah ketiga digitnya sama dengan $21$. Jika digit - digit dari $N$ dibalik, sebagai contoh $123$ menjadi $321$, maka bilangan baru yang terbentuk lebih besar 495 dari $N$. Tentukan bilangan $N$ tersebut.
  4. Buktikan setiap bilangan pada barisan di bawah ini merupakan kuadrat sempurna, $$\begin{equation*} 729,71289,7112889,711128889,\cdots \end{equation*}$$
  5. Diketahui bilangan empat digit $N$ dan jumlah keempat digitnya sama dengan $2001$. Tentukan bilangan $N$ tersebut.
  6. Jika $$\begin{equation*} N=\underbrace{111\cdots11}_{1989\text{ digit}}\times \underbrace{111\cdots11}_{1989\text{ digit}} \end{equation*}$$ Tentukan jumlah semua digit dari $N$.
  7. Carilah semua bilangan kuadrat sempurna empat digit yang berbentuk $aabb$.
  8. Carilah semua bilangan yang berawal dengan angka $6$ dan mengecil $25$ kali jika angka pertama dihapus.
  9. Carilah semua bilangan yang angka keduanya dihapus menghasilkan faktor bilangan semula.
  10. Carilah bilangan asli terkecil yang dimulai dengan angka $1$ dan membesar tiga kali jika angka pertama dipindah menjadi angka terakhir.

Pusing? Berarti Anda berpikir. Lanjutkan dan dengan cara itu kita berkembang.





4 comments :

  1. Sungguh keren pembahasannya Pak Tutur...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya juga masih dalam taraf belajar ini Mas Stenly

      Delete
  2. pak no. 6 minta solusinya, dong! thanks

    ReplyDelete
    Replies
    1. Mungkin ini bisa membnatu
      $$\begin{align*}
      N&=\underbrace{11\cdots 1}_{1989 \text{ digit}}\times\frac{1}{9}(10^{1989}-1)\\
      &=\frac{1}{9}(\underbrace{11\cdots 1}_{1989 \text{ digit}}\times 10^{1989})-\frac{1}{9}(\underbrace{11\cdots 1}_{1989 \text{ digit}})
      \end{align*}$$
      dan gunakan fakta $9\times 12345679=111111111$

      Delete