tko

tko

tko

tko

12 March 2013

Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Pertama

Ditulis Oleh pada 12 March 2013


soal osk matematika smp 2013 bagian pertama

Olimpiade matematika SMP tingkat kabupaten tahun 2013 telah dilaksanakan sabtu kemarin, tanggal 9 Maret 2013. Para peserta yang ikut OSK tahun ini tinggal berharap dan berdoa saja supaya lolos ke tingkat provinsi atau OSP. OSP sendiri sesuai jadwal akan dilaksanakan tanggal 13 April. Nah, sambil menunggu pengumuman hasil OSK Matematika tahun ini, mari kita lihat kembali soal OSK kemarin. Hitung - hitung koreksi dan belajar buat persiapan OSP.

Pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 ini seperti biasa akan saya bagi menjadi tiga bagian. Untuk masing - masing bagian akan terdiri dari 10 soal. Bagian pertama saat ini saya ambil dari nomor 1 sampai nomor 10 pilihan ganda. Berikut soal - soalnya :

No. 1 Bentuk $x^4-1$ mempunyai faktor sebanyak ...

Perhatikan bahwa $x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$. Jadi, bentuk $x^4-1$ memiliki $(1+1)\times(1+1)\times(1+1)=8$ faktor.

No. 2 Jika $a, b, c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka $3a+4b-3c+2d$ dibagi 13 akan bersisa ...

Dengan operasi modular pada bilangan bulat diperoleh, $$\begin{align*} 3a+4b-3c+2d&\equiv 3\times12+4\times9-3\times11+2\times7 \quad\text{mod }13\\ &\equiv 36+36-33+14\quad\text{mod }13\\ &\equiv 53 \quad\text{mod }13\\ &\equiv 1 \quad\text{mod }13 \end{align*}$$ Jadi, $3a+4b-3c+2d$ bersisa 1 jika dibagi 13.

No. 3 Nilai rata-rata kelas $A$ adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas $B$ adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas $A$ adalah ... orang.

Misal banyak siswa kelas $A$ adalah $x$ dan banyak siswa kelas $B$ adalah $y$ maka diperoleh $x+y=75$ dan $$\begin{equation*} \frac{73x+88y}{x+y}=80\Leftrightarrow 8y=7x \end{equation*}$$ sehingga didapat $$\begin{align*} 8x+8y=600&\Leftrightarrow 8x+7x=600\\ &\Leftrightarrow 15x=600\\ &\Leftrightarrow x=40 \end{align*}$$ Jadi, banyak siswa kelas $A$ adalah 40.

No. 4 Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah $2:1$. Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp 100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah $1:3$. Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp ...

Misalkan jumlah uang Netty adalah $n$ dan jumlah uang Agit adalah $a$ maka $n=2a$ dan $a+100.000=3(n-100.000)$. Oleh karena itu diperoleh, $$\begin{align*} a+100.000=3(n-100.000)&\Leftrightarrow a+100.000=3(2a-100.000)\\ &\Leftrightarrow a+100.000=6a-300.000\\ &\Leftrightarrow 5a=400.000\\ &\Leftrightarrow a=80.000 \end{align*}$$ Jadi, uang Netty sekarang adalah $2\times60.000-100.000=60.000$

No. 5 Jika $f$ adalah fungsi linier, $f(1)=2000$ dan $f(x+1)+12=f(x)$ maka nilai $f(100)=$...

Karena $f$ fungsi linier dan $f(x+1)=f(x)-12$ maka $f(1),f(2),f(3),\cdots$ merupakan barisan aritmatika dengan beda $-12$. Oleh sebab itu, $f(100)=2000+99\times(-12)=2000-1188=812$.

No. 6 Diketahui $H=\{k|x^2-1 < x^2+k < 2(x+1)$, dengan $x$ dan $k$ bilangan bulat $\}$. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan $H$ adalah ...

Perhatikan bahwa anggota himpunan $H$ adalah bilangan bulat $k$ sehingga terdapat bilangan bulat $x$ yang memenuhi $x^2-1 < x^2+k < 2(x+1)$. Dari $x^2-1 < x^2+k$ diperoleh $k > -1$. Sedangkan dari $x^2+k < 2(x+1)\Leftrightarrow (x-1)^2+k < 3$ diperoleh $k < 3$. Sehingga hanya ada tiga nilai $k$ yang mungkin yaitu $k=0,1,2$.

  • Jika $k=0$ maka pilih $x=0,1,2$ (pada kenyataannya cukup pilih satu saja nilai $x$ yang memenuhi).
  • Jika $k=1$ maka pilih $x=0,1,2$.
  • Jika $k=2$ maka pilih $x=1$.

Jadi, $H=\{0,1,2\}$. Sehingga banyaknya himpunan bagian dari himpunan $H$ adalah $2^3=8$.

No. 7 Tiga orang $A, B$, dan $C$ pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari $A$ meminjami sejumlah kelereng kepada $B$ dan $C$ sehingga jumlah kelereng $B$ dan $C$ masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya $B$ meminjami sejumlah kelereng kepada $A$ dan $C$ sehingga jumlah kelereng $A$ dan $C$ masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir $C$ meminjami sejumlah kelereng kepada $A$ dan $B$ sehingga jumlah kelereng $A$ dan $B$ masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak kelereng $A$ mula-mula adalah ...

Untuk mengerjakan soal ini akan lebih mudah jika kita bekerja mundur. Pada hari terakhir yang saya anggap hari ketiga jumlah kelereng $A,B$ dan $C$ sama yaitu 16. Pada hari kedua banyak kelereng $A$ dan $B$ adalah 8 sehingga banyak kelereng $C$ adalah $16+8+8=32$. Sedang pada hari pertama, banyak kelereng $A$ dan $C$ berturut- turut adalah $4$ dan $16$ sehingga banyak kelereng $B$ adalah $8+4+16=28$. Terakhir, banyak kelereng $B$ dan $C$ mula - mula berturut- turut ialah $14$ dan $8$ sehingga banyak kelereng $A$ mula - mula yaitu $4+14+8=26$.

No. 8 Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah ...

Misal dua bilangan tersebut adalah $a$ dan $b$ maka diperoleh $a+b=24$. Oleh karena itu $$\begin{equation*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{24}{ab} \end{equation*}$$ Agar nilai $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ minimum maka haruslah dipilih nilai $a$ dan $b$ sehingga $ab$ maksimum yaitu terjadi ketika $a=b=12$. Jadi, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{24}{12\times12}=\frac{1}{6}$.

No. 9 Jika $\dfrac{2013}{700}$ ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke-2013 di belakang koma adalah ...

Karena $\dfrac{2013}{7000}=0,2875714285714285714285714285714285714\cdots$ yaitu terjadi pengulangan blok $285714$ sebanyak tak hingga kecuali pada blok pertama yaitu $2875714$. Anggap blok pertama memiliki pola sama yaitu $285714$. Karena $2013=6\times335+3$ maka angka ke-2013 jika blog pertama berpola sama $285714$ adalah 5. Akan tetapi pada kenyataannya blok pertama berpola $2875714$ sehingga untuk mendapatkan angka ke-2013 cukup menggeser ke kiri satu angka. Oleh karena itu didapat angka ke-2013 adalah 8.

No. 10 Diberikan angka disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?

Perhatikan bahwa $9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$. Supaya mendapat jumlah 99 maka paling tidak terdapat satu bilangan puluhan. Anggap bilangan tersebut adalah $10a+b$ maka diperoleh, $$\begin{equation*} 45-a-b+10a+b=99\Leftrightarrow 9a=54\Leftrightarrow a=6 \end{equation*}$$ sehingga $b=5$. Setelah dicek diperoleh $9+8+7+65+4+3+2+1=99$. Jadi diperlukan 7 tanda operasi penjumlahan.

Demikian pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 bagian pertama. Semoga bermanfaat dan selalu ikuti update blog ini untuk mendapatkan pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 bagian kedua.





24 comments :

  1. Pembahasan soal no 1 OSK 2013 menurut pendapat saya adalah: x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1), maka banyaknya faktor = (1+1)(1+1)(1+1)= 2.2.2 = 8, yaitu: 1, (x2+1), (x+1), (x−1), (x+1)(x−1), (x2+1)(x+1), (x2+1)(x-1), dan (x4−1). Bagaimana Mas Tutur.... apakah ada yang salah dengan pendapat saya?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Betul - betul pak, saya yang kecolongan. Yang ditanya banyaknya faktor ya. Terima kasih koreksinya pak, segera diperbaiki

      Delete
  2. Tapi dikuncinya ndak ada pilihan 8 pak.. Adanya 3, 4, 5, 6, dan 7

    ReplyDelete
    Replies
    1. Iya setelah saya liat kembali memang tak afa jawaban 8. Untuk kasus ini mungkin yang jawaban yang diharapkan adalah 8 (mungkin). Tapi secara teori jawaban 8 juga masuk akal. Hal ini mengingat bentuk $(x^+1),(x+1),(x-1)$ ketiganya merupakan polinom yang irreducible untuk domain real, jadi mirip seperti bilangan prima yang kita kenal. Makanya jawaban 8 masuk akal bukan? Pak Penyu Kamat juga sudah menyebutkan kedelapan faktor tersebut.

      Delete
  3. Muhammad Alif Aqsha16 March, 2013

    Pada nomor 8, bukannya terjadi pengulangan blok 571428, kecuali pada blok pertama yaitu 287?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Muhammad Alif Aqsha16 March, 2013

      Maaf, nomor 9, bukan 8.

      Delete
  4. Boleh juga dipandang seperti. Itu hanya berbeda cara pandang, hasilnya tetap saja sama yaitu jawabnya 8

    ReplyDelete
  5. pak saya mau tanya adakah bilangan bulat positif 6 digit yang memenuhi
    7 x MANDOR = 6 x DORMAN ?

    ReplyDelete
  6. saya juga sdh mencoba membuat penyelesaian soal-soal tersebut di blog saya.
    Beberapa penyelesaaian yang disusun mas tutur kayaknya lebih simpel.
    Thank's atas sharingnya di blog ini.

    ReplyDelete
  7. pak mau tanya adakah bilangan 6 digit yang memenuhi kesamaan
    7 x MANDOR = 6 x DORMAN ?

    ReplyDelete
  8. pak mau tanya adakah bilangan 6 digit yang memenuhi kesamaan
    7 x MANDOR = 6 x DORMAN ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Coba ini :

      $7\times 461538=6\times 538461$

      Delete
  9. terima kasih jawabannya. saya mau tanya lagi pak. ada soal jika diketahui x+1/x=(√5+1)/2 tentukan nilai x^2048+x^(-2048) ? tolong disertakan pembahasannya

    ReplyDelete
    Replies
    1. Tinggal kuadratin ruas kanan dan ruas kiri, ntar ada polanya

      Delete
  10. kok saya ndak ketemu polanya yaaaaa. harus berapa kali dikuadratkan baru ketemu pola. minta bantuan pak udah mumet nih

    ReplyDelete
    Replies
    1. \begin{align*}
      x+\frac{1}{x}&=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\
      x^2+\frac{1}{x^2}&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\
      x^4+\frac{1}{x^4}&=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\\
      x^8+\frac{1}{x^8}&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\
      x^{16}+\frac{1}{x^{16}}&=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}
      \end{align*}
      dan seterusnya polanya udah keliatan, $x^{2048}+\dfrac{1}{x^{2048}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

      Delete
  11. oh gitu caranya. makasih banyak. menurut saya soal-soal olimpiade kok agak aneh ya? beda jauh ama yang diajarkan di kelas. buku-buku olimpiade rata-rata hanya membahas soal-soal. kalau boleh tahu apa ada materi khusus untuk olimpiade.? aku sih pernah download materi olimpiade. tapi tak baca-baca kok ndak mudeng-mudeng ya. pak tutur mungkin bisa meng up date materi olmat setahap demi setahap di blog ini dengan pembahasan yang mudah di pahami . terutama untuk anak2 yg baru belajar ngerjain soal2 olmat(ini cuman saran lho)

    ReplyDelete
  12. pertanyaan titipan. untuk yang kemarin pertanyaan
    7 x MANDOR = 6 x DORMAN ada yg tanya caranya gimana kok bisa sih??

    ReplyDelete
  13. oh ya pak ada yg nanya. pertanyaan yg kemarin yg 7 x MANDOR = 6 DORMAN kok bisa sih?. caranya gimana?. nah itu saya ndak bisa njawab. tolong penjelasannya pak!

    ReplyDelete
    Replies
    1. Misalin $x=\overline{MAN}$ dan $y=\overline{DOR}$, ntar dapet kesamaan berikut,
      $7(1000x+y)=6(1000y+x)$

      Tinggal diterusin, nanti dapet nilai $x$ dan $y$. Ingat $x$ dan $y$ keduanya bilangan tiga digit.

      Delete
  14. kalau buku yang khusus membahas teori-teori tentang bilangan yg lengkap ada ndak pak? saya uda nyari. tapi rata-rata hanya dijelaskan tentang teori keterbagian dan modulo saja.

    ReplyDelete
  15. tolong kapan-kapan di posting tentang identitas-identitas trigonometri pak!! ya? terutama yang identitas trigonometri yang ndak ada di buku sma. makasih sebelumnya

    ReplyDelete
    Replies
    1. Saya trigonometri juga tidak terlalu mudeng. Sebenarnya identitas yang dibahas di SMA sudah lumayan banyak dan mungkin sudah lebih dari cukup.

      Permasalahan yang sering dijumpai mungkin ketika menjumpai soal harus lebih kreatif saja sehingga dengan identitas yang sudah kita punya, permasalahan dapat terselesaikan.

      Tapi, nanti saya coba buat postingannya. InsyaAllah

      Delete
  16. Muhammad Alif Aqsha19 April, 2013

    Pak, saya ingin bertanya suatu soal dari Kompetisi Matematika PASIAD 9 Babak Final.

    A = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√80, n-1 < A < n dengan n adalah bilangan bulat. Nilai yang tepat untuk n adalah...

    ReplyDelete