tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

30 March 2013

Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2012 Tipe 2 dan Tipe 3

Ditulis Oleh pada 30 March 2013


Minggu ini mungkin banyak orang yang sedang mencari - cari soal - soal OSK Matematika SMA tahun - tahun sebelumnya. Setidaknya itu yang terjadi blog ini. Dari daftar 10 postingan yang paling sering dibaca minggu ini, hampir sebagian besar adalah postingan mengenai OSK Matematika SMA. Dan daftar teratas jatuh pada Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2012.

Oleh karena itu, kali ini saya akan kembali memposting soal dan pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012. Tentunya beda dengan yang sebelumnya. Perlu diketahui bahwa pembahasan soal OSK Matematika SMA tahun 2012 yang sebelumnya saya posting adalah soal OSK Matematika SMA tahun 2012 Tipe 1. Masih ada dua tipe lagi, yaitu Tipe 2 dan Tipe 3. Nah, kali ini giliran untuk Tipe 1 dan Tipe 3 yang muncul.

Oh ya, perlu diketahui bahwa tidak semua soal dari Tipe 2 dan Tipe 3 saya bahas. Hal ini dikarenakan dari ketiga tipe yang ada banyak soal yang sama. Jadi, hanya soal - soal yang berbeda tiap tipe saja yang saya berikan pembahasan. Oleh karena itu, sebelum membaca pembahasan soal OSK Matematika SMA Tipe 2 dan Tipe 3 ini, ada baiknya Anda membaca terlebih dahulu
Pembahasan Soal OSK Matematika SMA Tahun 2012 Hari pertama.
Pembahasan Soal OSK Matematika SMA Tahun 2012 Hari Kedua.

Soal - soal OSK Matematika SMA 2012 Tipe 2

1. Diberikan segi-100 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Jika $S$ menyatakan himpunan semua nilai yang mungkin dari panjang diagonal - diagonal segi-100 tersebut maka banyak anggota $S$ adalah ...

Ambil satu titik sebagai acuan. Dari titik tersebut bisa dibuat 97 diagonal. Dari 97 diagonal tersebut, 48 pasang memiliki ukuran panjang yang sama. Oleh karena itu, banyak anggota $S$ adalah 49.

2. Pasangan bilangan asli $(a,b)$ yang memenuhi $4a(a+1)=b(b+3)$ sebanyak ...

Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna diperoleh, $$\begin{align*} 4a^2+4a+1&=b^2+2b+1+b\\ (2a+1)^2&=(b+1)^2+b\\ b&=(2a+1)^2-(b+1)^2\\ b&=(2a+2+b)(2a-b) \end{align*}$$ karena $a,b$ keduanya bilangan asli maka $(2a+2+b)$ dan $(2a-b)$ juga merupakan bilangan asli. Padahal kita punya $b<(2a+2+b)\leq (2a+2+b)(2a-b)=b$ yang jelas tidak mungkin. Jadi, tidak ada pasangan bilangan asli $(a,b)$ yang memenuhi $4a(a+1)=b(b+3)$.

3. Misalkan $S$ adalah himpunan semua faktor positif dari 1.000.000. Sebuah bilangan diambil secara acak dari $S$. Peluang bilangan yang terambil merupakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah ...

Karena $1.000.000=2^6\times5^6$ maka banyaknya faktor positif dari 1.000.000 adalah $(6+1)\times(6+1)=49$. Perhatikan juga bahwa $1.000.000=\left(2^3\right)^2\times\left(5^3\right)^2$. Jadi, banyaknya faktor positif dari 1.000.000 yang merupakan bilangan pangkat 3 ialah $(2+1)\times(2+1)=9$. Oleh karena itu, peluang bilangan yang terambil merupakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah $\dfrac{9}{49}$.

4. Diketahui bahwa besar tiap sudut dari segi-$n$ beraturan adalah $179,99^\circ$. Jika keliling dari segi-$n$ tersebut adalah 36 satuan, maka panjang sisinya adalah . . . satuan.

Karena besar tiap sudut dari segi-$n$ beraturan adalah $179,99^\circ$ maka diperoleh, $$\begin{align*} 179,99^\circ&=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\\ \frac{360^\circ}{n}&=0.01^\circ\\ n&=36000 \end{align*}$$ Oleh karena itu, panjang sisi segi-36000 beraturan tersebut ialah $\dfrac{36}{36000}=0.001$ satuan.

5. Misalkan $$\begin{equation*} S=\{1,2,3,\cdots,10\} \end{equation*}$$ dan $f:S\rightarrow S$ merupakan korespondensi satu - satu yang memenuhi $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5$ dan $f(5)=6$. Banyak fungsi $f$ yang memenuhi adalah ...

Karena 5 nilai sudah pasti, berarti kita tinggal memasangkan lima nilai yang lain yaitu $f:(6,7,8,9,10)\rightarrow (1,7,8,9,10)$ yaitu ada sebanyak $5!=120$. Jadi, banyak fungsi $f$ yang memenuhi adalah 120.

6. Diketahui $a^2+b^2=5$ dan $c^2+d^2=5$. Tentukan nilai maksimum dari $ac+bd$.

Berdasarkan AM-GM diperoleh, $$\begin{equation*} 10=a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2ac+2bd \end{equation*}$$ sehingga $ac+bd\leq 5$. Jadi, nilai maksimum dari $ac+bd$ adalah 5 yang dicapai ketika $a=b=c=d=\frac{1}{2}\sqrt{10}$.

7. Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat dengan $f(1)=8$ dan $f(8)=1$. Nilai dari $$\begin{equation*} f(0)-f(1)+f(2)-f(3)+f(4)-f(5)+f(6)-f(7)+f(8)-f(9) \end{equation*}$$ adalah ...

Misalkan $f(x)=ax^2+bx+c$ maka diperoleh, $$\begin{align*} a+b+c&=8\\ 64a+8b+c&=1 \end{align*}$$ Kurangkan persamaan pertama pada persamaan kedua sehingga diperoleh $63a+7b=-7\Leftrightarrow 9a+b=-1$. Selain itu, $$\begin{align*} f(0)-f(1)&=c-(a+b+c)=-a-b\\ f(2)-f(3)&=(4a+2b+c)-(9a+3b+c)=-5a-b\\ f(4)-f(5)&=(16a+4b+c)-(25a+5b+c)=-9a-b\\ f(6)-f(7)&=(36a+6b+c)-(49a+7b+c)=-13a-b\\ f(8)-f(9)&=(64a+8b+c)-(81a+9b+c)=-17a-b \end{align*}$$ Sehingga diperoleh, $$\begin{align*} f(0)&-f(1)+f(2)-f(3)+f(4)-f(5)+f(6)-f(7)+f(8)-f(9)\\ &=-45a-5b\\ &=-5(9a+b)\\ &=(-5)\times(-1)\\ &=5 \end{align*}$$

8. Jumlah dari 2012 bilangan genap berurutan mulai dari $n$ merupakan pangkat 2012 dari suatu bilangan asli. Nilai terkecil dari $n$ yang mungkin adalah ...

Misalkan $N$ adalah jumlah 2012 bilangan genap berurutan mulai dari $n$. Maka diperoleh, $$\begin{align*} N&=n+n+2+n+4+n+6+\cdots+n+4022\\ &=2012n+2011\times2012\\ &=2012(n+2011)\\ &=2^2\cdot 503(n+2011) \end{align*}$$ Oleh karena itu, $n+2011=2^{10}\cdot p$ dengan kata lain $n=2^{10}\cdot p-2011$ yang merupakan bilangan ganjil. Jadi, tidak ada nilai $n$ yang memenuhi.

9. Diberikan segitiga siku - siku $ABC$ dengan $AB=3, AC=4,$ dan $BC=5$ serta $D$ merupakan titik tengah $BC$. Jika $r$ dan $s$ berturut - turut menyatakan panjang jari - jari lingkaran dalam segitiga $ABD$ dan $ADC$ maka nilai dari $\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}$ adalah ...

Perhatikan gambar di bawah ini!
soal-osk-matematika-sma-no8
Karena $D$ adalah titik tengah $BC$ dan $ABC$ siku - siku di $A$ maka diperoleh $AD=BD=CD=\dfrac{5}{2}$. Selain itu, $\text{Luas }\triangle ABD=\text{Luas }\triangle ADC=\frac{1}{2}\text{Luas }\triangle ABC=3$. Ingat pula bahwa, $$\begin{equation*} r=\frac{\text{Luas }\triangle ABD}{\frac{1}{2}\text{Keliling }\triangle ABD} \end{equation*}$$ dan $$\begin{equation*} s=\frac{\text{Luas }\triangle ADC}{\frac{1}{2}\text{Keliling }\triangle ADC} \end{equation*}$$ maka $$\begin{equation*} \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{\frac{1}{2}(3+4+5+5)}{3}=\frac{17}{6} \end{equation*}$$

10. Banyaknya angka $0$ sebagai angka - angka terakhir dari $2012!$ adalah ...

Angka $0$ diperoleh dari perkalian dengan $10=2\times 5$. Akan tetapi karena dalam bentuk faktorisasi prima dari $2012!$ pangkat dari $2$ lebih besar dari pangkat dari $5$ maka kita cukup memperhatikan nilai pangkat dari $5$ yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan fungsi legendre yaitu $$\begin{align*} &\left\lfloor\frac{2012}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2012}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2012}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2012}{625}\right\rfloor\\ &=402+80+16+3\\ &=501 \end{align*}$$ Jadi, banyaknya angka $0$ sebagai angka - angka terakhir dari $2012!$ adalah $501$.

11. Bilangan bulat positif terkecil $a$ sehingga $4a+8a+12a+\cdots+2012a$ merupakan kuadrat sempurna adalah ...

Karena $$\begin{align*} 4a+8a+12a+\cdots+2012a&=4a(1+2+3+\cdots+503)\\ &=4a\cdot2^2\cdot3^2\cdot7\cdot503\\ &=a\cdot2^4\cdot3^2\cdot7\cdot503 \end{align*}$$ Jadi, agar terbentuk bilangan kuadrat sempurna maka nilai $a$ terkecil yang mungkin adalah $a=7\times503=3521$.

Soal - soal OSK Matematika SMA 2012 Tipe 3

1. Banyaknya bilangan bulat $n$ sehingga $$\begin{equation*} \frac{10n^2-55}{2n^2+3} \end{equation*}$$ merupakan bilangan bulat adalah ...

Perhatikan bahwa, $$\begin{equation*} \frac{10n^2-55}{2n^2+3}=5-\frac{70}{2n^2+3} \end{equation*}$$ Oleh karena itu, agar diperoleh bilangan bulat haruslah $(2n^2+3)$ membagi 70. Dengan kata lain $2n^2+3$ adalah faktor ganjil positif $\geq 5$ dari 70. Oleh karena itu hanya ada tiga kemungkinan yaitu
  • $2n^2+3=5$ yang diperoleh nilai $n=\pm 1$.
  • $2n^2+3=7$, tidak ada bilangan bulat $n$ yang memenuhi.
  • $2n^2+3=35$ yang diperoleh nilai $n=\pm 4$.
Jadi, ada 4 nilai bilangan bulat $n$ yang memenuhi.

2. Ada berapa cara menyusun semua huruf $DUARIBUDUABELAS$ dengan syarat huruf $I$ dan $E$ berdekatan?

Untuk memudahkan kelompokkan $I$ dan $E$ menjadi satu dan anggap sebagai satu huruf. Maka akan disusun 14 huruf dengan $A$ berulang 3 kali, $B$ berulang 2 kali, $D$ berulang 2 kali, dan $U$ berulang 3 kali. Jadi banyak cara menyusun keempat belas huruf itu adalah $\dfrac{14!}{3!\times 2!\times2!\times 3!}$. Karena huruf $I$ dan $E$ dapat disusun dalam 2 cara maka total ada $\dfrac{2\times 14!}{3!\times 2!\times2!\times 3!}=\dfrac{14!}{3!\times 2!\times 3!}$ cara.

3. Dalam suatu pertemuan, setiap pria berjabat tangan dengan setiap orang kecuali dengan istrinya, dan tidak ada jabat tangan diantara sesama wanita. Jika yang menghadiri pertemuan tersebut ada sebanyak 13 pasang suami - istri, ada berapa banyak jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut?

Perhatikan dua kasus berikut :
  • Banyak jabat tangan di antara pria adalah $C_2^{13}=78$.
  • Banyak jabat tangan antara pria dan wanita adalah $13\times 12=156$.
Jadi, total ada $78+156=234$ jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut.

4. Banyaknya pasangan solusi bilangan bulat positif yang memenuhi $\dfrac{4}{m}+\dfrac{2}{n}=1$ adalah ...

Perhatikan bahwa, $$\begin{align*} \frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1&\Leftrightarrow mn=4n+2m\\ &\Leftrightarrow mn-2m-4n=0\\ &\Leftrightarrow (m-4)(n-2)=8 \end{align*}$$ hanya terdapat empat kasus yaitu
  • $m-4=1$ dan $n-2=8$ sehingga diperoleh pasangan $(m,n)=(5,10)$.
  • $m-4=2$ dan $n-2=4$ sehingga diperoleh pasangan $(m,n)=(6,6)$.
  • $m-4=8$ dan $n-2=1$ sehingga diperoleh pasangan $(m,n)=(12,3)$.
  • $m-4=4$ dan $n-2=2$ sehingga diperoleh pasangan $(m,n)=(8,4)$.
Jadi, terdapat empat pasangan bilangan bulat positif $(m,n)$ yang memenuhi.

5. Diberikan suatu persegi panjang $ABCD$ dan titik $H$ berada pada diagonal $AC$ sehingga $DH\bot AC$. Jika panjang $AD=15$ cm, $DC=20$ cm, maka panjang $HB$ adalah ...

Perhatikan gambar di bawah ini,
soal osk matematika sma 2012 stewart
Jelas bahwa $AC=25$ cm. Dan karena $\triangle CDH\sim \triangle ACD$, diperoleh $$\begin{equation*} \frac{CD}{AC}=\frac{CH}{CD}\Leftrightarrow\frac{20}{25}=\frac{CH}{20}\Leftrightarrow CH=16 \end{equation*}$$ sehingga $AH=9$ cm. Dan berdasarkan teorema Stewart diperoleh $$\begin{align*} BH^2+CH\cdot AH&=\frac{BC^2\cdot AH+AB^2\cdot CH}{AC}\\ BH^2+16\cdot 9&=\frac{15^2\cdot 9+20^2\cdot 16}{25}\\ BH^2+144&=81+256\\ BH^2&=193 \end{align*}$$ Sehingga panjang $HB$ adalah $\sqrt{193}$.

6. Diberikan suatu lingkaran dengan titik pusat $O$ dan diameter $AB$. Titik - titik $D$ dan $C$ adalah titik pada lingkaran sehingga $AD$ sejajar $OC$. Jika besar $\angle OAD=42^\circ$ maka besar $\angle OCD$ adalah ...

Perhatikan gambar berikut,
soal osk matematika sma 2012 circle
Kita ketahui bahwa, $$\begin{equation*} \angle COD=\angle ODA=\angle OAD=42^\circ \end{equation*}$$ Akan tetapi karena $\triangle COD$ adalah segitiga samakaki maka diperoleh $\angle OCD=\dfrac{138^\circ}{2}=69^\circ$.

7. Di suatu papan tulis tertera bilangan dari 1 sampai dengan 100. Andi diminta untuk menghapus bilangan kelipatan dua. Upik diminta menghapus bilangan kelipatan tiga. $N$ adalah banyaknya bilangan yang masih tertera di papan tulis. Jumlah digit dari $N$ adalah ...

Banyaknya bilangan yang dihapus Andi adalah $\left\lfloor\frac{100}{2}\right\rfloor=50$ bilangan. Sedangkan banyaknya bilangan yang dihapus Upik adalah $\left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor=33$ bilangan. Akan tetapi untuk bilangan kelipatan 6 dihitung dua kali yaitu pada Andi maupun Upik, dimana bilangan kelipatan 6 tersebut ada sebanyak $\left\lfloor\frac{100}{6}\right\rfloor=16$. Jadi, $N=100-50-33+16=33$. Sehingga jumlah digit dari $N$ adalah 6.

8. Tentukan bilangan $n$ terbesar sehingga $6^n$ membagi $30!$

Karena $6=2\times 3$ maka bilangan terbesar $n$ sehingga $6^n$ membagi $30!$ bersesuai dengan bilangan terbesar $n$ sehingga $3^n$ membagi $30!$ yaitu $$\begin{equation*} \left\lfloor\frac{30}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{27}\right\rfloor=10+3+1=14. \end{equation*}$$ Jadi, bilangann $n$ terbesar yang mungkin adalah $n=14$.

Ok Selesai!!!! Mudah - mudahan bermanfaat untuk rekan - rekan yang sedang mencari - cari Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2012 semua tipe. And sukses buat OSK tahun 2013 ini.

Eits, lupa. Jika berkeinginan mengunduh soal dan pembahasan OSK matematika SMA tahun 2012 tipe 2 dan tipe 3 di atas, dalam versi PDF tentunya, bisa klik di sini.





3 comments :

  1. wah, makasih banyak ya kak..
    bermanfaat sekali pembahasannya ^^

    ReplyDelete
  2. Bingung kenapa jawabannya bisa begitu..

    ReplyDelete