tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

10 March 2013

Cara Mudah Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Fungsi Trigonometri

Ditulis Oleh pada 10 March 2013


rumus jumlah selisih dua sudut

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Pada Trigonometri. Bagi siswa - siswa SMA kelas XI IPA semester gasal tentu masih ingat dengan rumus untuk mencari jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen. Tidak susah untuk dihafal memang. Asalkan sering dipakai tentu bisa hafal dengan sendirinya. Berikut ringkasan dari rumus jumlah dua sudut pada perbandingan trigonometri tersebut,

$$\begin{align*} \sin (\alpha+\beta)&=\sin \alpha\cdot\cos \beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta\\ \cos (\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\\ \tan (\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta} \end{align*}$$

Pada kesempatan kali ini saya tidak akan menjelaskan bagaimana cara menghafal atau mengingat - ingat ketiga rumus di atas. Akan tetapi saya mau mencoba memberikan alternatif pembuktian untuk rumus - rumus di atas.

Bukti dari ketiga rumus diatas tentu sudah banyak. Bukan hal baru lagi. Anda bisa dengan mudah mendapatkannya di buku - buku yang beredar di pasaran. Salah satu yang pernah dan sering saya temui adalah bukti secara analitik dengan memanfaatkan koordinar polar. Bagi saya sendiri tidak ada yang salah dengan bukti tersebut. Namun kali ini saya mencoba untuk membuktikan rumus diatas dengan pendekatan berbeda. Pendekatan yang lebih sederhana dengan hanya memanfaatkan pengertian dasar dari fungsi trigonometri itu sendiri. Tidaka ada rumus atau pengetahuan tingkat dewa yang dipakai untuk pembuktian kali ini.

Anggap jumlah kedua sudut ada di kuadran pertama.

Oke, mari kita mulai saja. Untuk kasus ini kita misalkan $0^\circ<\alpha,\beta,\alpha+\beta\leq 90^\circ$. Selanjutnya lukislah segitiga siku - siku $ABC$ dengan $\angle ABC=90^\circ$, $\angle BAC=\alpha$ dan $AC=1$ satuan. Kemuadian lukis garis $k_1$ melalui $A$ dan membentuk sudut $\beta$ terhadap sisi $AB$. Demikian pula lukis garis $m_1$ melalui $B$ dan tegak lurus garis $k_1$. Dari titik $A$ lukis garis $k_2$ tegak lurus garis $k_1$. Terakhir, lukis garis $m_2$ melalui $C$ dan tegak lurus garis $k_2$. Dari proses ini diperoleh gambar kurang lebih sebagai berikut :

segitiga  siku-siku  rumus  jumlah  trigonometri

Perhatikan bahwa segiempat $AFED$ adalah sebuah persegi panjang. Oleh karena itu diperoleh, $AF=DE$ dan $EF=AD$. Lebih lanjut didapat pula $\angle ACD=\alpha+\beta$ dan $\angle CBE=\beta$. Berdasarkan definisi fungsi sinus dan cosinus pada diperoleh :

Pada $\triangle ABC$ berlaku, $$\begin{align*} AB&=\cos\alpha\\ BC&=\sin\alpha \end{align*}$$ Pada $\triangle ACD$ berlaku, $$\begin{align*} AD&=\sin (\alpha+\beta)\\ CD&=\cos (\alpha+\beta) \end{align*}$$ Pada $\triangle ABF$ berlaku, $$\begin{align*} BF&=AB\cdot\sin\beta\\ &=\cos\alpha\cdot\sin\beta\\ AF&=AB\cdot\cos\beta\\ &=\cos\alpha\cdot\cos\beta \end{align*}$$ Pada $\triangle BCE$ berlaku, $$\begin{align*} BE&=BC\cdot\cos\beta\\ &=\sin\alpha\cdot\cos\beta\\ CE&=BC\cdot\sin\beta\\ &=\sin\alpha\cdot\sin\beta\\ \end{align*}$$

Dari apa yang kita ketahui di atas diperoleh, $$\begin{align*} \sin(\alpha+\beta)&=AD\\ &=EB+BF\\ &=\sin \alpha\cdot\cos \beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta \end{align*}$$ dan $$\begin{align*} \cos(\alpha+\beta)&=CD\\ &=AF-CE\\ &=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta \end{align*}$$

Untuk mencari rumus jumlah dua sudut pada fungsi tangen relatif mudah. Tinggal manfaatkan identitas $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Lebih jelasnya sebagai berikut,

$$\begin{align*} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\ &=\frac{\sin \alpha\cdot\cos \beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}\\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta} \end{align*}$$

Dari ketiga rumus jumlah dua sudut tersebut, apabila dipilih $\beta=-\gamma$ atau $\beta=\alpha$ berturut - turut diperoleh rumus selisih dua sudut dan rumus sudut rangkap yaitu

$$\begin{align*} \sin (\alpha-\gamma)&=\sin \alpha\cdot\cos \gamma-\cos\alpha\cdot\sin\gamma\\ \cos (\alpha-\gamma)&=\cos\alpha\cdot\cos\gamma+\sin\alpha\cdot\sin\gamma\\ \tan (\alpha-\gamma)&=\frac{\tan\alpha-\tan\gamma}{1+\tan\alpha\cdot\tan\gamma} \end{align*}$$
dan
$$\begin{align*} \sin (2\alpha)&=2\sin \alpha\cdot\cos \alpha\\ \cos (2\alpha)&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ \tan (2\alpha)&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}$$

Demikian sedikit uraian saya tentang rumus jumlah sudut fungsi trigonometri. Sebagai alternatif pembuktian saja tentunya. Semoga dapat memperluas wawasan dan memberi warna berbeda dari pengetahuan yang sudah kita punya selama ini. Apabila ada yang ingin ditanyakan silakan melalui kotak komentar di blog ini. Terimakasih.





17 comments :

  1. I am always proud of you when I'm reading your post. =)

    ReplyDelete
  2. berdasarkan definisi sin dan cos maka diperoleh AB = cos a? bisa minta penjelasan?

    ReplyDelete
    Replies
    1. $\triangle ABC$ siku - siku di $B$ dengan panjang $AC=1$.

      $\cos \alpha=\dfrac{AB}{AC}=AB$

      Delete
  3. mau tanya pak. apa benar ada identitas trigonometri dengan persamaan
    sin a = [2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] ? trus mbuktikannya gimana?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Mungkin begini,

      $$\begin{align*}
      \frac{1+\tan^2 x}{2\tan x}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan x}+\tan x\right)\\
      &=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\
      &=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x\cdot\cos x}\right)\\
      &=\frac{1}{2\sin x\cdot\cos x}\\
      &=\frac{1}{\sin 2x}
      \end{align*}$$
      Jadi, $\sin 2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$.

      Tinggal ganti $x=\frac{a}{2}$

      Delete
  4. tolong di bahas juga olimpiade sd pak!

    ReplyDelete
    Replies
    1. Boleh juga, saya selalu terbuka jika ada pembaca yang memberi soal ke saya untuk saya bahas (jika saya bisa tentunya + waktu memungkinkan).

      Untuk soal - soal SD sendiri saya tidak terlalu mengikuti, mungkin Anda memiliki soanya?

      Delete
  5. mau tanya pak. adakah rumus untuk meencari jumlah suku ke n deret fibonacci?

    ReplyDelete
  6. pak, boleh bantu minta solusinya soal berikut nggak...

    banyaknya persegi termasuk persegi panjang yg dapat dibentuk dari 30 persegi berukuran 6 X 5 adalah...






    ReplyDelete
  7. Anonymous06 June, 2013

    artikelnya sangat menarik pak, namun ada yang sy kurang paham, bisa dijlaskn kenapa bisa ∠CBE=β ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. $\angle CBE+\angle ABF=90^\circ$. Sedang $\angle ABF+\angle BAF=90^\circ$. Jadi, $\angle CBE=\angle BAF=\beta$. Semoga bisa dimengerti

      Delete
  8. Anonymous06 June, 2013

    rumus selisihnya mana pak ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kan dari rumus jumlah yang satu dibuat negatif sudah jadi rumus selisih

      Delete
  9. pk, saya mau tanya
    klo materi probabilitas itu apa sj?
    krn sy lihat di osn mtk tk kab/kota itu ada soal yg menanyakan probabilitas.
    trus 'probabilitas' itu mnurut sy sdkt ribet drpd peluang..
    smoga ada pmbhsannya u/ probabilitas ini.

    ReplyDelete
  10. Apa alasannya memilih panjang AC = 1 Satuan, bisa dijelaskan? terima kasih

    ReplyDelete
  11. bagaimana membuktikan
    sec t - sin t tan t = cos t

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalikan kedua ruas dengan $\cos t$

      Delete