tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

13 March 2013

Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Kedua

Ditulis Oleh pada 13 March 2013


Kembali lagi pada seri pembahasan soal OSK matematika SMP tahun 2013. Setelah sebelumnya bagian pertama telah saya rampungkan, maka untuk saat ini saya kembali memposting pembahasan soal OSK matematika SMP bagian kedua. Untuk pembahasan OSK bagian dua saya ambilkan dari soal nomor 11 sampai nomor 20 pilihan ganda.

Jangan lupa baca juga : Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Pertama

11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positif berurutan yang dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ... maka suku ke-67 barisan tersebut adalah ...

Dari barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... untuk mendapatkan barisan baru 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ... cukup dengan menghilangkan bilangan kelipatan tiga yang ada. Itu artinya bilangan $n$, bukan kelipatan tiga, dari barisan bilangan asli akan menjadi suku ke-$(n-\lfloor\frac{n}{3}\rfloor)$ pada barisan yang baru. Sebagai contoh bilangan 50 akan menjadi suku ke-$(50-\lfloor\frac{50}{3}\rfloor)=34$ pada barisan yang baru. Selanjutnya masalah yang ditanyakan adalah kita harus mencari bilangan $n$ sehingga $(n-\lfloor\frac{n}{3}\rfloor)=67$. Karena $n$ bukan kelipatan 3 maka ada dua kemungkinan

  • Untuk $n=3k+1$ diperoleh, $$\begin{align*} 3k+1-\left\lfloor\frac{3k+1}{3}\right\rfloor=67&\Leftrightarrow 3k+1-k=67\\ &\Leftrightarrow k=33 \end{align*}$$ sehingga diperoleh $n=3\times33+1=100$.
  • Untuk $n=3k+2$ diperoleh, $$\begin{align*} 3k+2-\left\lfloor\frac{3k+2}{3}\right\rfloor=67&\Leftrightarrow 3k+2-k=67\\ &\Leftrightarrow 2k=65 \end{align*}$$ yang jelas tak mungkin karena $k$ bulat.

Jadi, suku ke-67 dari barisan bilangan yang baru adalah 100.

12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah ...

Misalkan ke-51 bilangan tersebut adalah, $a,a+1,a+2,a+3,\cdots,a+50$ maka diperoleh $$\begin{align*} a+a+1+a+2+a+3+\cdots+a+50&=51\times10\\ 51a+(1+2+3+\cdots+50)&=510\\ 51a+51\times25&=510\\ a+25&=10\\ a&=-15 \end{align*}$$ Jadi, bilangan terkecil adalah $-15$.

13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah ...

Peluang terambil bola pertama merah adalah $\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}$. Sedangkan peluang terambil bola kedua hijau adalah $\dfrac{3}{29}$. Oleh karena itu, peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{29}=\dfrac{3}{58}$.

14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah ...

Misalkan orang pertama dan orang kedua yang bisa mengemudikan mobil. Andai orang pertama menjadi sopir maka empat teman yang lain bebas untuk duduk dimana saja dengan masih ada 5 kursi tersisa, sehingga kemungkinan duduk ada $5\times4\times3\times2=120$ cara. Andai orang kedua yang menjadi sopir juga akan ada 120 kemungkinan cara duduk. Jadi, total ada 240 cara mengatur tempat duduk mereka berlima.

15. Jika diketahui panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah 1 satuan, maka jarak titik $E$ ke bidang datar $AFH$ adalah ... satuan.

Perhatikan sketsa berikut!
gambar soal osk matematika smp nomor 15
Misalkan jarak titik $E$ ke bidang datar $AFH$ adalah $t$. Perhatikan bahwa $\triangle AFH$ adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi $\sqrt{2}$. Selain itu kita peroleh bahwa, $$\begin{align*} \text{Volume Limas }E.AFH&=\text{Volume Limas }A.EFH\\ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot t&=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\\ \sqrt{3}t&=1\\ t&=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}$$

16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut :
a. Terdiri dari 5 data bilangan bulat positif dengan rataan = 7
b. Median = modus = 9
Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah ...

Karena angka 9 merupakan modus maka 9 muncul lebih dari satu kali. Di lain pihak, jika 9 muncul tiga kali maka susunan yang mungkin adalah $a,b,9,9,9$ akan tetapi konfigurasi yang seperti ini tidak akan memaksimalkan jangkauan. Selain kemungkinan ini jika 9 muncul lebih dari tiga kali maka jumlah kelima bilangan tersebut lebih dari 35. Oleh karena itu 9 muncul tepat dua kali. Selanjutnya misalkan data tersebut adalah $a,b,9,9,c$. Karena $a+b+9+9+c=35$, untuk memperoleh nilai $c-a$ terbesar pilih $a=1,b=2$ dan $c=14$. Maka diperoleh $c-a=14-1=13$.

17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di antaranya busuk adalah ...

Peluang terambil tepat satu apel busuk yaitu $$\begin{equation*} \frac{C_1^2\cdot C_2^{10}}{C_3^{12}}=\frac{2\cdot 45}{2\cdot11\cdot10}=\frac{9}{22} \end{equation*}$$

18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang sisi kubus 2 m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui titik $A, B$, dan $T$ dimana $T$ adalah titik perpotongan diagonal bidang $CDHG$. Volume terbesar silinder terpancung ini adalah ... $m^3$.

Jelas bahwa diameter alas dan tinggi silinder adalah 2 m. Bidang yang melalui titik $A, B$, dan $T$ memancung silinder menjadi dua bagian dengan perbandingan $3:1$. Sehingga volume terbesar silinder terpancung adalah $$\begin{equation*} \frac{3}{4}\times\pi\times1^2\times2=\frac{3\pi}{2} \end{equation*}$$

gambar soal osk matematika smp nomor 19

19. Jika gambar di bawah adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah ...

perhatikan gambar di bawah ini!
gambar soal osk matematika smp nomor 19
Perhatikan bahwa $$\begin{equation*} \text{luas segi delapan } ABCDEFGH = 8\times \text{ luas } \triangle PGF \end{equation*}$$ sedangkan $$\begin{equation*} \text{luas segiempat } DEFG = 3\times \text{ luas } \triangle PGF-\text{ luas } \triangle PDG \end{equation*}$$ akan tetapi karena $CP=PG$ maka $\text{ luas } \triangle PDG=\text{ luas } \triangle PCD=\text{ luas } \triangle PGF$. Oleh karena itu diperoleh, $$\begin{align*} \text{luas segiempat } DEFG &= 3\times \text{ luas } \triangle PGF-\text{ luas } \triangle PDG\\ &=3\times \text{ luas } \triangle PGF-\text{ luas } \triangle PGF\\ &=2\times \text{ luas } \triangle PGF\\ &=2\times\frac{1}{8}\times\text{luas segi delapan } ABCDEFGH\\ &=\frac{1}{4}\times\text{luas segi delapan } ABCDEFGH \end{align*}$$

20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah ...

Himpunan bilangan empat angka berbeda yang jumlahnya 10 adalah $\{1,2,3,4\}$. Oleh karena itu banyaknya bilangan empat angka yang bisa disusun sesuai kriteria soal adalah $4!=24$.

Ok, bagian kedua dari seri pembahasan OSK matematika SMP tahun 2013 telah selesai. Sampai bertemu lagi pada seri terakhir atau seri ketiga. Jika memungkinkan pada pembahasan OSK matematika SMP bagian tiga nanti akan saya sertakan pula versi PDF-nya secara komplit. Jadi, update dan ikuti terus blog Mathematic's Room ini. Terima kasih





2 comments :

  1. nice post :-)
    rajinnya dirimu nek bwt blogging,
    ajarin aq ya biar ketularan,,

    ReplyDelete
  2. Maaf nomor 16 itu tlong jelaskan lebih lanjut lagi

    ReplyDelete