Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Ketiga

Sampai juga akhirnya pada bagian terakhir seri Pembahasan Soal OSK Matematika SMP tahun 2013. Pada bagian ketiga ini, saya berikan pembahasan untuk soal OSK matematika SMP 2013 bagian isian singkat. Jumlah soal ada 10 nomor. Namun sebelum melanjutkan membaca bagian tiga ini, ada baiknya bagi anda untuk kembali melihat dua postingan saya sebelumnya tentang Pembahasan Soal OSK Matematika SMP tahun 2013 yaitu

Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Pertama

Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Kedua

1. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga. Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah ...

   Jawaban :Untuk mencapai puncak tangga Tino harus naik lagi sebanyak $3-5+10=8$ anak tangga. Berarti di atas Tino masih ada 8 anak tangga. Karena saat ini dia berada tepat di tengah tangga maka di bawah Tino juga ada 8 anak tangga lagi. Sehingga total ada $8+1+8=17$ anak tangga.

2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah ...

   Jawaban :Misalkan $x,y,z$ berturut - turut menyatakan banyaknya pensil, buku dan kotak pensil yang dibeli Ani dengan $x,y,z$ adalah bilangan bulat positif. Selanjutnya diperoleh sistem pertidaksamaan, $$\begin{align*} x+y+z=6&\Leftrightarrow 4x+4y+4z=24\\ 2000x+2500y+4000z=16500&\Leftrightarrow 4x+5y+8z=33 \end{align*}$$ dari kedua persamaan tersebut diperoleh $y+4z=9$. Sehingga hanya ada dua kasus,
   a. Jika $z=1$ maka $y=5$ dan $x=0$ yang jelas tak mungkin sebab $x$ bilangan bulat positif.
   b. Jika $z=2$ maka $y=1$ dan $x=3$. Mudah dicek bahwa penyelesaian ini memenuhi sistem persamaan di atas.
   Jadi, banyak buku yang dibeli Ani adalah satu buku.

3. Banyak bilangan positif $n$ sehingga $\dfrac{2013}{n^2-3}$ berupa bilangan bulat positif adalah ...

   Jawaban :Agar $\dfrac{2013}{n^2-3}$ berupa bilangan bulat positif maka $n^2-3$ adalah faktor positif dari $2013$. Padahal $2013$ memiliki delapan faktor positif yaitu $1,3,11,33,61,183,671,2013$. Setelah dicek satu persatu diperoleh $n=2,6,8$. Jadi, ada tiga nilai bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi.

4. Diberikan tabel bilangan berikut:
   
   Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah sama, maka nilai $x + y$ adalah ...

   Jawaban :Dari baris kedua dan kolom ketiga diperoleh $2y-9=y-12$ sehingga $y=-3$. Selain itu, dari kolom kedua dan kolom ketiga didapat $x-15=y-12=-15$ sehingga $x=0$. Oleh karena itu, $x+y=-3$.

5. Jika himpunan $A$ mempunyai anggota sebanyak $x$ dan himpunan $B$ mempunyai anggota sebanyak $y$, $x\leq y$, maka himpunan $A\cup B$ mempunyai anggota (maksimum) sebanyak ...

   Jawaban :$n(A\cup B)$ mencapai maksimum ketika $A$ dan $B$ saling lepas yaitu maksimum $n(A\cup B)=x+y\leq 2y$. Jadi, nilai maksimum dari $n(A\cup B)$ adalah $2y$.

6. Semua bilangan asli $n$ yang memenuhi sifat bahwa $6n^2+5n-4$ adalah bilangan prima adalah ...

   Jawaban :Agar $6n^2+5n-4=(3n+4)(2n-1)$ menjadi bilangan prima maka salah satu dari $(3n+4)$ atau $(2n-1)$ harus sama dengan 1. Akan tetapi karena $n$ bilangan asli maka $3n+4>1$. Sehingga haruslah $2n-1=1\Leftrightarrow n=1$. Jadi, jawablah adalah $n=1$.

7. Jika $S_1=1,S_2=S_1-3,S_3=S_2+5,S_4=S_3-7,S_5=S_4+9,\cdots$ adalah suku - suku suatu barisan bilangan, maka $S_{2013}$ adalah ...

   Jawaban :Barisan bilangan pada soal berbentuk : $1,-2,3,-4,5,\cdots$ sehingga $S_{2013}=2013$.

8. Pada $\triangle ABC$ terdapat titik $D$ pada $BC$ sehingga $BD:DC=1:3$. Titik $L$ pada $AD$ sehingga $AL:LD=1:4$. Perbandingan luas $\triangle ACL$ dan $\triangle BDL$ adalah ...
   

   Jawaban :Misalkan luas $\triangle ABC=x$, maka diperoleh $$\begin{align*} \text{luas }\triangle ACL&=\frac{1}{5}\cdot\text{luas }\triangle ACD\\ &=\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\text{luas }\triangle ABC\\ &=\frac{3}{20}x \end{align*}$$ dan $$\begin{align*} \text{luas }\triangle BDL&=\frac{4}{5}\cdot\text{luas }\triangle ABD\\ &=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\text{luas }\triangle ABC\\ &=\frac{1}{5}x \end{align*}$$ Oleh karena itu, $\dfrac{\text{luas }\triangle ACL}{\text{luas }\triangle BDL}=\dfrac{\frac{3}{20}x}{\frac{1}{5}x}=\dfrac{3}{4}$

9. Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai jumlah angka-angka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001 mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah ...

   Jawaban :Untuk menghitung jawab soal ini bisa dihitung secara langsung dan tidak terlalu susah. Namun, alih - alih menghitung secara langsung saya akan memberi solusi sedikit berbeda. Untuk menghitung banyak string dengan bobot 4 sama saja mencari penyelesaian persamaan $x_1+x_2+\cdots+x_{10}=4$ lalu dikurang dengan penyelesaian yang ada angka 3 dan 4. Kita ketahui bahwa banyaknya penyelesaian persamaan $x_1+x_2+\cdots+x_{10}=4$ adalah $C_4^{13}=715$. Sedangkan penyelesaian yang mengandung angka 4 ada 10, serta penyelesaian yang mengandung angka 3 ada $2\cdot C_2^{10}=90$. Jadi, banyak string dengan bobot 4 adalah $715-10-90=615$.

10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah laki-laki adalah ...

    Jawaban :uang sampel dari kasus ini ada tiga yaitu (perempuan, perempuan),(perempuan, laki- laki) dan (laki- laki, perempuan). Oleh karena itu besar peluang anak yang lain laki-laki adalah $\dfrac{2}{3}$.

Demikian akhir dari Pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013. Semoga bermanfaat. Apabila ada pertanyaan atau masukan jangan sungkan - sungkan. Langsung saja melalui kotak komentar di bawah.
Bye,

Update 29 Maret 2013 : Bagi pembaca yang menginginkan versi PDF dari Pembahasan Soal OSK Matematika SMP tahun 2013 secara lengkap, per 29 Maret 2013 sudah tersedia. Silakan klik link berikut untuk mengunduhnya,
Download Pembahasan Soal OSK Matematika SMP tahun 2013