tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

05 February 2013

Modular Sistem : Soal SASMO 2011 Tingkat SMP

Ditulis Oleh pada 05 February 2013


Sudah lama ternyata saya tidak menulis di blog ini. Maklum, ada beberapa alasan yang membuat saya belum bisa mengupdate postingan di blog ini. Janji saya untuk memberikan pembahasan soal Matematika SIMAK UI 2012 juga belum bisa saya realisasikan. Mohon maaf.

Kali ini mumpung ada waktu nganggur dan keinget dengan materi modular sistem di bilangan bulat, saya akan memberikan pembahasan soal SASMO (Singapore and ASEAN Schools Maths Olympiads) tahun 2011 untuk tingkat SMP yang masih ada kaitannya dengan materi tersebut. Berikut soalnya :

Hitunglah dua digit terakhir dari $2011^{2010^{2009}}$.

Untuk mencari dua digit terakhir dari $2011^{2010^{2009}}$ berarti kita akan bermain - main dengan modulo 100. Perhatikan bahwa, \begin{equation*} 2011^{2010^{2009}}\equiv 11^{2010^{2009}}\quad \text{ ( mod 100 )} \end{equation*}selain itu dengan sedikit observasi diperoleh, \begin{align*} 11^2&\equiv 21 \quad \text{ ( mod 100 )}\\ 11^4&\equiv 21^2\equiv 41 \quad \text{ ( mod 100 )}\\ 11^8&\equiv 41^2\equiv 81 \quad \text{ ( mod 100 )}\\ 11^{10}&\equiv 11^8\cdot11^2\equiv 81\cdot 21\equiv 1 \quad \text{ ( mod 100 )} \end{align*}Jadi, diperoleh $11^{10}\equiv 1\quad \text{ ( mod 100 )}$. Padahal kita juga tahu bahwa $2010^{2009}$ jelas habis dibagi 10. Oleh karena itu, dapat kita tulis $2010^{2009}=10k$ untuk suatu bilangan asli $k$. Sehingga diperoleh \begin{align*} 2011^{2010^{2009}}&\equiv 11^{2010^{2009}}\quad \text{ ( mod 100 )}\\ &\equiv 11^{10k} \quad \text{ ( mod 100 )}\\ &\equiv (11^{10})^k \quad \text{ ( mod 100 )}\\ &\equiv 1^k \quad \text{ ( mod 100 )}\\ &\equiv 1 \quad \text{ ( mod 100 )} \end{align*}Jadi, dua digit terakhir dari $2011^{2010^{2009}}$ adalah 01.

Oke, pembahasan selesai. Mungkin nulisnya terlalu panjang ya, agak bertele - tele. Tetapi niat saya sih supaya lebih jelas. Namun, jika justru sebaliknya yang terjadi, semakin sulit dipahami dan ribet, apa mau dikata. Mohon maklum yang nulis masih amatiran. Terakhir, kata dari saya : Semoga Bermanfaat.





2 comments :

  1. Where are Youuuuuuuuuuuuuuuuuuu T-T

    ReplyDelete
  2. pak saya mau tanya apakah ada bilangan bulat positif 6 digit yang memenuhi kesamaan
    7 x MANDOR = 6 x DORMAN ?????

    ReplyDelete