tko

tko

tko

tko

04 December 2012

Dari Teorema Vieta, Kembali Sadar Kalau Matematika Memang Keren

Ditulis Oleh pada 04 December 2012


Saya sudah sering mendengar dan bahkan mengalami sendiri bahwa satu soal matematika bisa dikerjakan dengan berbagai macam cara. Peribahasa "banyak jalan menuju Roma" benar - benar applicable di matematika. Mungkin itu juga yang membedakan matematika dari ilmu eksak lainnya. Di dalam matematika kita tidak harus banyak tahu. Akan tetapi harus selalu kreatif. Dengan bermodalkan kreatifitas banyak soal yang bisa diselesaikan bahkan ketika kita belum tahu beberapa materi pendukungnya. Alias kita bisa menyelesaikan soal itu secara elementer.

Salah satu pengalaman saya kemarin ketika mengajar les anak SMP membangkit semangat saya untuk belajar kembali. Entah karena apa, yang jelas sensasinya berbeda. Ada semangat luar biasa di dalamnya.

Kemarin saya memberikan materi tentang Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Di sekolah sering disebut rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat. Nah, di salah satu soal latihan yang saya berikan ada soal seperti ini :

Diketahui $a,b,c$ menyatakan panjang sisi - sisi $\triangle ABC$ dengan $a >b >c$ , $2b=a+c$ dan $b$ bilangan bulat positif. Apabila $a^2+b^2+c^2=84$, maka tentukan nilai $b$.

Soal ini jelas bisa diselesaikan dengan memanfaatkan Inverse Teorema Vieta dan sifat - sifat persamaan kuadrat. Ide yang muncul ketika melihat soal ini, karena sudah ada nilai $a+c$ maka kita berpikir bisa tidak mencari nilai $ac$ dalam bentuk $b$. Selanjutnya membentuk persamaan kuadrat yang akar - akarnya $a$ dan $c$, lalu memanfaatkan sifat - sifat persamaan kuadrat untuk memberi batasan terhadap nilai $b$. Kira - kira ide tersebut bila dijalankan sebagai berikut :

$$\begin{align*}
ac&=\frac{1}{2}\Bigl((a+c)^2-(a^2+c^2)\Bigr)\\
&=\frac{1}{2}\Bigl(4b^2-(84-b^2)\Bigr)\\
&=\frac{1}{2}\Bigl(5b^2-84\Bigr)
\end{align*}$$dan karena $a$ dan $c$ sisi - sisi segitiga, jelas $ac >0$ sehingga $\frac{1}{2}\bigl(5b^2-84\bigr) >0\Leftrightarrow b^2 >\frac{84}{5} >16$. Batas bawah dari $b^2$ sudah kita dapat, tinggal mencari batas atasnya. Ingat karena $a+c=2b$ dan $ac=\frac{1}{2}\bigl(5b^2-84\bigr)$ maka $a$ dan $c$ adalah akar - akar dari persamaan kuadrat
$$\begin{equation*}
x^2-2bx+\frac{1}{2}\bigl(5b^2-84\bigr)=0
\end{equation*}$$karena $a$ dan $c$ riil maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat di atas harus nonnegatif. Oleh karena itu diperoleh,
$$\begin{equation*}
0\leq 4b^2-4\cdot\frac{1}{2}\bigl(5b^2-84\bigr)=-6b^2+168
\end{equation*}$$sehingga $b^2\leq \frac{168}{6}=28$. Jadi, diperoleh batasan $16< b^2\leq 28$ dan karena $b$ bulat positif maka $b=5$.

Contoh di atas adalah salah satu solusi dengan memanfaatkan Inverse Teorema Vieta. Akan tetapi karena murid saya tadi baru SMP dan belum terlalu familiar dengan Vieta maka tentu untuk melihat ide di atas ketika menghadapi soal tersebut tidak akan instan. Alih - alih memakai Vieta, dia justru mempunyai ide berbeda. Berikut solusi yang dia tulis :

$$\begin{equation*}
a+c=2b=b+b \Leftrightarrow a-b=b-c
\end{equation*}$$Misalkan $a-b=b-c=x$ maka diperoleh $a=b+x$ dan $c=b-x$. Substitusikan nilai ini ke persamaan $a^2+b^2+c^2=84$ diperoleh,
$$\begin{equation*}
(b+x)^2+b^2+(b-x)^2=84\Leftrightarrow 3b^2+2x^2=84
\end{equation*}$$Sampai di sini dia stuck, tidak punya ide untuk finishingnya. Saya melihat dia sudah berada pada jalur yang benar, yaitu mengeliminasi $a$ dan $c$ serta menyatakan persamaan dalam $b$. Saya sendiri sebelumnya juga tidak terpikir untuk menggunakan manipulasi $a+c=2b=b+b \Leftrightarrow a-b=b-c$ karena terlalu terfokus pada Vieta. Tapi, menarik dan saya benar - benar tertarik idenya. Setelah dipikir - pikir, berikut salah satu penyelesaian akhir berdasarkan ide murid saya tersebut.
Dari kesamaan $3b^2+2x^2=84$ jelas bahwa $3b^2\leq 84\Leftrightarrow b^2\leq 28$. Selain itu, kita juga punya $a=b+x$ dan $c=b-x$ sehingga $2x=a-c< a+c=2b\Leftrightarrow x< b$. Hal ini berakibat $3b^2=84-2x^2 >84-2b^2\Leftrightarrow 5b^2 >84\Leftrightarrow b^2 >\frac{84}{5} >16$. Jadi, diperoleh $16< b^2\leq 28$ dan karena $b$ bulat positif maka $b=5$ seperti pada solusi sebelumnya.

Pengalamanku ini menurut saya menarik. Walaupun mungkin banyak contoh lain yang lebih ekstrem yang menunjukkan bahwa dengan kreatifitas yang tinggi banyak soal - soal tingkat lanjut yang bisa diselesaikan dengan cara - cara elementer. Namun, contoh saya kali ini tetap bermakna buat saya pribadi sebab saya mengalaminya langsung. Dari apa yang saya ceritakan kali ini, saya hanya ingin berkata bahwa matematika adalah ilmu yang penuh dan mutlak memerlukan kreatifitas. Bukan semata - mata hafalan seperti kebanyakan anggapan selama ini. Hafalan terkadang memang perlu akan tetapi tidak mutlak harus. Kunci sebenarnya adalah kita paham dan kreatif. Jadi, matematika bukan ilmu yang membosankan dengan segudang hafalan melainkan ilmu yang bisa jadi sangat menyenangkan karena pada dasarnya kita tidak harus menghafalkan apapun.

Cukup sekian dulu cerita dariku. Semoga bermanfaat. Keep enjoy and have fun with mathematic.






1 comments :