tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

14 December 2012

Pembahasan Nomor 7 OSN Matematika SMA Tahun 2012

Ditulis Oleh pada 14 December 2012


Misalkan $n$ bilangan asli. Buktikan bahwa persamaan
$$\begin{equation*}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}
\end{equation*}$$memiliki solusi pasangan bilangan asli $(x,y)$ jika dan hanya jika $n$ habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1.

Penyelesaian :

Jika $n$ habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1 maka persamaan $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}$ memiliki solusi pasangan bilangan asli $(x,y)$.

Bukti. Diketahui $n=mt^2$ dengan $m,t$ bilangan asli dan $t >1$. Oleh karena diperoleh,
$$\begin{equation*}
\sqrt{n}=t\sqrt{m}=(t-1)\sqrt{m}+\sqrt{m}=\sqrt{(t-1)^2m}+\sqrt{m}
\end{equation*}$$Jadi, $x_0=(t-1)^2m$ dan $y_0=m$ adalah salah satu solusi dari persamaan $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}$. Terbukti.

Jika persamaan $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}$ memiliki solusi pasangan bilangan asli $(x,y)$ maka $n$ habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1.

Bukti. Misalkan $(x_0,y_0)$ adalah salah satu solusi dari persamaan $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}$. Misalkan pula $FPB(x_0,y_0)=d$ maka $x_0=da$ dan $y_0=db$ dengan $FPB(a,b)=1$. Selanjutnya diperoleh,
$$\begin{align*}
\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}=\sqrt{n}&\Leftrightarrow x_0+2\sqrt{x_0y_0}+y_0=n\\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{x_0y_0}=n-x_0-y_0\\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{d^2ab}=n-da-db\\
&\Leftrightarrow 2d\sqrt{ab}=n-da-db
\end{align*}$$Perhatikan bahwa ruas kanan berupa bilangan bulat, oleh karena itu $ab$ haruslah bilangan kuadrat sempurna. Akan tetapi karena $FPB(a,b)=1$ berakibat $a$ dan $b$ keduanya kuadrat sempurna. Selanjutnya misalkan $a=p^2$ dan $b=q^2$ untuk suatu bilangan asli $p,q$. Akan diperoleh,
$$\begin{align*}
n&=da+db+2d\sqrt{ab}\\
&=dp^2+dq^2+2dpq\\
&=d(p+q)^2
\end{align*}$$Jadi, $n$ habis dibagi oleh $(p+q)^2$ dan jelas $(p+q)^2$ lebih besar dari 1. Terbukti.





1 comments :

  1. assalamu Alaikum...pak tutur, saya Adi Candra guru matematika SMAN 1 Sukamara kalteng, saya banyak berterima kasih karena telah mendapat banyak ilmu matematika dari Bp, semoga kebaikkan bp ini mendapatkan pahala yang berlipat ganda, amiin. salam kenal...wassalamu 'alaikum..

    ReplyDelete