Pembahasan Nomor 8 OSN Matematika SMA Tahun 2012

Diberikan sebarang segitiga $ABC$ dan garis bagi $\angle BAC$ memotong sisi $BC$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Misalkan $M$ dan $N$ berturut - turut titik tengah $BD$ dan $CE$. Lingkaran luar segitiga $ABD$ memotong $AN$ di titik $Q$. Lingkaran yang melalui $A$ dan menyinggung $BC$ di $D$ memotong garis $AM$ dan sisi $AC$ berturut-turut di titik $P$ dan $R$. Tunjukkan bahwa empat titik $B, P, Q, R$ terletak pada satu garis.

Penyelesaian :

Perhatikan sketsa di bawah ini!

Perhatikan bahwa $\angle ABC=\angle AEC$ dan $\angle BAD=\angle EAC$. Oleh karena itu, $\triangle ABD\sim\triangle AEC$ yang berakibat
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{EC}=\frac{2BM}{2EN}=\frac{BM}{EN}
\end{equation*}$$sehingga $\triangle ABM\sim\triangle AEN$. Dengan cara serupa diperoleh pula $\triangle AMD\sim\triangle ANC$. Dari dua kesebangunan ini diperoleh $\angle BAM=\angle EAN$ dan $\angle MAD=\angle NAC$.

Lemma 1. $B, P, Q$ segaris.
Bukti. Diketahui bahwa $MD$ adalah garis singgung lingkaran $\Gamma_3$ sehingga berlaku $MD^2=MP\cdot MA$. Karena $BM=MD$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
BM^2=MP\cdot MA\Leftrightarrow \frac{BM}{MA}=\frac{MP}{BM}
\end{equation*}$$yang berakibat $\triangle BMP\sim\triangle BAM$. Sehingga berlaku
$$\begin{align*}
\angle DBP=\angle MBP=\angle BAM&=\angle EAN\\
&=\angle DAQ\\
&=\angle DBQ
\end{align*}$$Jadi, terbuti $B, P, Q$ segaris.

Lemma 2. $P, Q, R$ segaris.
Bukti. Dari $MD^2=MA\cdot MP$ diperoleh $\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MP}{MD}$ yang berakibat $\triangle MPD\sim\triangle MAD$. Oleh karena itu, $\angle MDP=\angle MAD$. Selanjutnya didapat,
$$\begin{align*}
\angle DPQ&=\angle DBP+\angle BDP\\
&=\angle DBQ+\angle MDP\\
&=\angle DAQ+\angle MAD\\
&=\angle DAQ+\angle NAC\\
&=\angle DAC\\
&=\angle DAR\\
&=\angle DPR
\end{align*}$$Jadi, terbuti $P, Q, R$ segaris.

Berdasarkan Lemma 1 dan Lemma 2 dapat disimpulkan bahwa $B, P, Q, R$ segaris.