tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

07 November 2012

Lomba Matematika Vektor SMP 2012

Ditulis Oleh pada 07 November 2012


Beberapa hari yang lalu saya surfing ke blognya Pak Saiful Arif, S.Pd, olimatik.blogspot.com. Eh, saya nemu soal penyisihan Olimpiade Matematika Vektor tahun 2012 yang jenjang SMP. Trus udah dibuatin pembahasannya pula oleh Pak Saiful. Kayak mendapat durian runtuh aja ini.

Setelah baca - baca soal dan pembahasan yang dibuat oleh Pak Saiful, ada beberapa soal dimana saya mempunyai cara penyelesaian yang sedikit berbeda. Untuk itulah pada postingan kali ini saya akan share beberapa solusi alternatif dari saya tersebut. Sedangkan bagi para pembaca yang ingin mengunduh soal lengkap berikut pembahasan yang dibuat oleh Pak Saiful, silakan langsung mengunjungi blog beliau, olimatik.blogspot.com.

No1. Bentuk paling sederhana dari
$$\begin{equation*}
\frac{\sqrt{2}x^2+(x-1)\sqrt{10}+(x-10)\sqrt{2}}{(x-\sqrt{5})(\sqrt{15}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}
\end{equation*}$$ adalah . . .

Jawaban :
$$\begin{align*}
&\frac{\sqrt{2}x^2+(x-1)\sqrt{10}+(x-10)\sqrt{2}}{(x-\sqrt{5})(\sqrt{15}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\
&=\frac{\sqrt{2}x^2+(\sqrt{2}+\sqrt{10})x-\sqrt{10}(1+\sqrt{20})}{(x-\sqrt{5})\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}\\
&=\frac{\sqrt{2}x^2-\sqrt{10}x+(\sqrt{2}+2\sqrt{10})x-\sqrt{10}(1+\sqrt{20})}{(x-\sqrt{5})2\sqrt{10}}\\
&=\frac{x(\sqrt{2}x-\sqrt{10})+(1+\sqrt{20})(\sqrt{2}x-\sqrt{10})}{(x-\sqrt{5})2\sqrt{10}}\\
&=\frac{(\sqrt{2}x-\sqrt{10})(x+1+\sqrt{20})}{(x-\sqrt{5})2\sqrt{10}}\\
&=\frac{\sqrt{2}(x-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{20})}{(x-\sqrt{5})2\sqrt{10}}\\
&=\frac{x+1+2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\
&=\frac{\sqrt{5}}{10}(x+1)+1
\end{align*}$$


No2. Suatu bilangan puluhan nilainya sama dengan tiga kali hasil kali digit - digitnya. Hasil kali semua bilangan puluhan yang memenuhi sifat tersebut adalah . . .

Jawaban :
Misalkan bilangan tersebut adalah $N=10a+b$ dengan $1\leq a\leq 9$ dan $0\leq b\leq 9$, $a,b$ bilangan asli.
Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh
$$\begin{equation*}
10a+b=3ab
\end{equation*}$$ atau equivalen dengan
$$\begin{align*}
3ab-10a-b=0&\Leftrightarrow 9ab-30a-3b=0\\
&\Leftrightarrow (3a-1)(3b-10)=10
\end{align*}$$ karena $3a-1>0$ maka kita memiliki 4 kasus yaitu

  • $3a-1=1$ dan $3b-10=10$, untuk kasus ini tidak ada bilangan asli $a,b$ yang memenuhi.
  • $3a-1=10$ dan $3b-10=1$, untuk kasus ini tidak ada bilangan asli $a,b$ yang memenuhi.
  • $3a-1=2$ dan $3b-10=5$, untuk kasus ini diperoleh $a=1$ dan $b=5$. Jadi diperoleh $N=15$.
  • $3a-1=5$ dan $3b-10=2$, untuk kasus ini diperoleh $a=2$ dan $b=4$. Jadi diperoleh $N=24$.
Oleh karena itu, hanya ada dua bilangan yang memenuhi kondisi pada soal yaitu 15 dan 24, sehingga hasil kalinya yaitu 15 x 24 = 360.

No3. Untuk bilangan real positif $x$, jika $x-12=\dfrac{1}{x}$ maka nilai dari
$$\begin{equation*}
x^4-10x^3-15x^2-122x+2012
\end{equation*}$$ adalah . . .

Jawaban :
Kita ketahui bahwa $x-12=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x^2-12x-1=0$. Jika persamaan yang terakhir ini kita kalikan dengan 10, $2x$ dan $x^2$ berturut - turut diperoleh
$$\begin{align*}
10x^2-120x-10&=0\\
2x^3-24x^2-2x&=0\\
x^4-12x^3-x^2&=0
\end{align*}$$Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan di atas diperoleh $x^4-10x^3-15x^2-122x-10=0$. Sehingga
$$\begin{equation*}
x^4-10x^3-15x^2-122x+2012=2022
\end{equation*}$$

No4. Banyak bilangan bulat $x$ yang memenuhi $(x-1)^2(x-2)^3(x+500)=2012$ adalah . . .

Jawaban :
Karena $x$ bilangan bulat maka $x-1$ juga merupakan bilangan bulat sehingga $(x-1)^2$ adalah faktor positif dari 2012. Akan tetapi karena faktor positif dari 2012 yang berupa kuadrat sempurna hanya ada dua yaitu 1 dan 4 maka kita punya dua kasus,

  • Jika $(x-1)^2=1$ maka $x=0$ atau $x=2$, akan tetapi keduanya tidak memenuhi persamaan pada soal.
  • Jika $(x-1)^2=4$ maka $x=-1$ atau $x=3$. Setelah dicek ke persamaan awal hanya $x=3$ yang memenuhi persamaan pada soal.
Jadi, hanya ada satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan $(x-1)^2(x-2)^3(x+500)=2012$.

No5. Indra menggambar suatu ruas garis $AB$ dengan panjang 15 cm. Dengan pusat $A$ dan $B$ dibuat busur lingkaran dengan jari-jari berturut-turut 8 cm, dan 17 cm sedemikian sehingga kedua busur tersebut berpotongan di titik $C$. Jika Indra ingin membuat suatu lingkaran yang melalui titik $A, B,$ dan $C$, berapa luas lingkaran terbesar yang terbentuk? (Nyatakan dalam $\pi$)

Jawaban :
Kita ketahui $AB=15$ cm, $BC=17$ cm dan $AC=8$ cm. Oleh karena itu, $\triangle ABC$ adalah segitiga siku - siku dengan $\angle A=90^\circ$. Hal ini berakibat lingkaran yang melalui titik $A, B$ dan $C$ mempunyai $BC$ sebagai diameternya. Karena $BC=17$ cm maka jari - jari lingkaran tersebut adalah $\dfrac{17}{2}$ sehingga luasnya adalah $\dfrac{289}{4}\pi$ cm$^2$.

No6. Untuk $n>8$, berapa banyak bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $n^2-15n+57$ merupakan bilangan kuadrat sempurna?

Jawaban :
Misalkan $n^2-15n+57=k^2$ untuk suatu bilangan asli $k$. Perhatikan bahwa
$$\begin{align*}
n^2-15n+57=k^2&\Leftrightarrow 4n^2-60n+228=4k^2\\
&\Leftrightarrow (2n-15)^2+3=(2k)^2\\
&\Leftrightarrow (2n-15)^2-(2k)^2=-3\\
&\Leftrightarrow (2n+2k-15)(2n-2k-15)=-3
\end{align*}$$ dan karena $(2n+2k-15)>(2n-2k-15)$, maka ada dua kasus yang mungkin yaitu :

  • $2n+2k-15=3$ dan $2n-2k-15=-1$ maka diperoleh $n=8$ dan $k=1$.
  • $2n+2k-15=1$ dan $2n-2k-15=-3$ maka diperoleh $n=7$ dan $k=1$.
Oleh karena itu untuk $n>8$, tidak ada bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $n^2-15n+57$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.

No7. Misalkan dua bilangan dinyatakan sebagai $S=2012(1+10^4+10^8+10^{12}+\cdots +10^m)$ dan $T=1+10+10^3+10^6+10^{10}+\cdots + 10^n$. Banyak pasangan $(m,n)$ sedemikian sehingga banyak digit pada $S$ sama dengan banyak digit pada $T$ dan $m+n < 555$ adalah . . .

Jawaban :
Misalkan $S_m$ menyatakan banyak digit dari $S$ untuk sebarang $m$ dan $S_n$ menyatakan banyak digit dari $T$ untuk sebarang $n$. Maka kita peroleh
$$\begin{equation*}
S_m=m+4 \text{ dengan } m=4(x-1)\text{ untuk } x=1,2,3,\cdots
\end{equation*}$$ dan
$$\begin{equation*}
S_n=n+1 \text{ dengan } n=\frac{y^2-y}{2} \text{ untuk } y=1,2,3,\cdots
\end{equation*}$$ Selanjutnya akan dicari pasangan $(m,n)$ yang equivalen dengan mencari pasangan $(x,y)$ sehingga $S_m=S_n$ dan $m+n<555$. Perhatikan bahwa $$\begin{align*} S_m=S_n&\Leftrightarrow m+4=n+1\\ &\Leftrightarrow 4x-4+4=\frac{y^2-y}{2}+1\\ &\Leftrightarrow 8x=y^2-y+2 \end{align*}$$ karena $x,y$ bilangan asli maka $y\geq 3$. Selain itu dari batasan $m+n<555$ diperoleh pula $$\begin{align*} &4x-4+\frac{y^2-y}{2}<555\\ &\Leftrightarrow \frac{8x-8}{2}+\frac{y^2-y}{2}< 555\\ &\Leftrightarrow \frac{y^2-y-6}{2}+\frac{y^2-y}{2}< 555\\ &\Leftrightarrow y^2-y-3 < 555 \end{align*}$$ sehingga $y\leq 24$. Oleh karena itu kita peroleh batasan $3\leq y\leq 24$. Dan perlu diperhatikan karena $8x=y^2-y+2=y(y-1)+2$ maka $y$ atau $y-1$ tidak boleh kelipatan 4. Dengan kata lain $y\equiv 2,3$ mod 4. Jadi nilai $y$ yang mungkin yaitu 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, dan 23. Dan setelah dicek kita peroleh nilai $y$ yang memenuhi yaitu 3, 6, 11, 14, 19, 22. Sehingga diperoleh pasangan $(x,y)$ yang memenuhi yaitu $(1,3), (4,6), (14,11), (23,14), (43, 19), (58,22)$. Yang bersesuaian dengan pasangan $(m,n)$ yaitu $(0,3), (12,15), (52, 55), (88, 91), (168, 171), (228, 231)$. Jadi, ada 6 pasangan $(m,n)$ yang memenuhi.







1 comments :