tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

28 October 2012

Teorema Faktor dan Aplikasinya Dalam Soal

Ditulis Oleh pada 28 October 2012


Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut,

Misalkan $P(x)$ suatu polinom, $(x-k)$ merupakan faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(k)=0$

Selanjutnya jika $P(k)=0$, $k$ disebut juga sebagai akar dari polinom $P(x)$. Oleh karena itu, jika diketahui $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ adalah akar -akar dari polinom $P(x)$ berderajat $n$ maka diperoleh,
\begin{equation*}
P(x)=A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n)
\end{equation*}Berikut beberapa soal yang berkaitan dengan teorema faktor di atas.

No. 1 Polinom $P(x)$ dibagi oleh $x^2+x+1$ menghasilkan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $x-7$. Jika $H(x)$ dibagi $(x-1)$ menghasilkan sisa 2, tunjukkan bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

Jawaban :
Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh $P(x)=(x^2+x+1)H(x)+x-7$ dan $H(1)=2$. Untuk menunjukkan $(x-1)$ adalah faktor dari $P(x)$ cukup ditunjukkan bahwa $P(1)=0$. Untuk keperluan itu, perhatikan bahwa
$$\begin{align*}
P(1)&=3H(1)+1-7\\
&=3\cdot2-6\\
&=0
\end{align*}$$Jadi, terbukti bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $P(x)$.

No. 2 Tentukan nilai $m$ dan $n$ agar polinom $P(x)=x^3+mx^2-nx-3m$ dan $Q(x)=x^3+(m-2)x^2-nx-3n$ mempunyai faktor persekutuan derajat dua.

Jawaban :
Dari bentuk polinom $P(x)$ dan $Q(x)$ maka misalkan faktor persekutuan derajat dua yang dimaksud adalah $(x^2+px-3)$. Dengan demikian kita peroleh,
$$\begin{align*}
P(x)&=(x^2+px-3)(x+m)\\
&=x^3+(p+m)x^2+(pm-3)x-3m
\end{align*}$$sehingga didapat $p+m=m\Leftrightarrow p=0$. Karena $p=0$ maka $n=3$. Dari sini diperoleh faktor persekutuan yang dimaksud adalah $(x^2-3)$ dan diperoleh pula $Q(x)=x^3+(m-2)x^2-3x-9$. Yang selanjutnya didapat
$$\begin{align*}
Q(x)&=(x^3-3)(x+3)\\
&=x^3+3x^2-3x-9
\end{align*}$$sehingga, $m-2=3\Leftrightarrow m=5$.
Jadi, $m=5$ dan $n=3$.

No. 3 Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $(x^4-7x^3+ax^2+bx-16)$ mempunyai faktor $(x-2)^2$.

Jawaban :
Karena $(x-2)^2$ adalah faktor dari $(x^4-7x^3+ax^2+bx-16)$ maka diperoleh
$$\begin{align*}
x^4-7x^3+ax^2+bx-16&=(x-2)^2(x^2+px-4)\\
&=(x^2-4x+4)(x^2+px-4)\\
&=x^4+(p-4)x^3-4px^2+(4p-16)x-16
\end{align*}$$Sehingga diperoleh,
$$\begin{align*}
p-4&=-7\Leftrightarrow p=-3\\
a&=-4p=12\\
b&=4p-16=-12-16=-28
\end{align*}$$

No. 4 Jika $f(x)=x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ dan $f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1$. Berapakah nila $f(6)$? (Penyisihan Brilliant Competition II)

Jawaban :
Misalkan $P(x)=f(x)-1$, maka $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=0$. Oleh karena itu, $1,2,3,4,5$ adalah akar - akar dari $P(x)$ sehingga
$$\begin{equation*}
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
\end{equation*}$$Jadi,
$$\begin{align*}
f(6)&=P(6)+1\\
&=(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)+1\\
&=121
\end{align*}$$

No. 5 Misalkan $f(x)$ adalah polinom derajat empat. Jika $f(1)=f(2)=f(3)=0, f(4)=6$ dan $f(5)=72$. Tentukanlah digit terakhir dari nilai $f(2010)$. (IWYMIC 2010)

Jawaban :
Karena $f(1)=f(2)=f(3)=0$ maka $f(x)=(ax-b)(x-1)(x-2)(x-3)$. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai $f(4)=6$ dan $f(5)=72$ berturut - turut didapat persamaan $4a-b=1$ dan $5a-b=3$. Kedua persamaan linier ini memiliki penyelesaian yaitu $a=2$ dan $b=7$. Oleh karena itu diperoleh polinom $f(x)$ yaitu
$$\begin{equation*}
f(x)=(2x-7)(x-1)(x-2)(x-3)
\end{equation*}$$sehingga
$$\begin{align*}
f(2010)&=(4020-7)(2010-1)(2010-2)(2010-3)\\
&=4013\cdot 2009\cdot 2008\cdot 2007\\
&\equiv 3\cdot 9\cdot 8\cdot 7 \quad\text{mod }10\\
&\equiv 2 \quad\text{mod }10
\end{align*}$$Jadi, digit terakhir dari nilai $f(2010)$ adalah 2.

No. 6 Diberikan polinom $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ dengan $a,b,c,d$ konstanta. Jika $P(1)=10, P(2)=20$ dan $P(3)=30$ maka nilai dari
$$\begin{equation*}
\frac{P(12)+P(-8)}{10}
\end{equation*}$$adalah ... (OSP SMA 2010)

Jawaban :
Misalkan $Q(x)=P(x)-10x$ maka $Q(1)=Q(2)=Q(3)=0$ sehingga
$$\begin{equation*}
Q(x)=(x-k)(x-1)(x-2)(x-3)
\end{equation*}$$oleh karena itu,
$$\begin{equation*}
P(x)=(x-k)(x-1)(x-2)(x-3)+10x
\end{equation*}$$Selanjutnya perhatikan bahwa
$$\begin{align*}
P(12)&=(12-k)(12-1)(12-2)(12-3)+120\\
&=990(12-k)+120
\end{align*}$$dan
$$\begin{align*}
P(-8)&=(-8-k)(-8-1)(-8-2)(-8-3)-80\\
&=990(8+k)-80
\end{align*}$$Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
\frac{P(12)+P(-8)}{10}&=\frac{990(12-k)+120+990(8+k)-80}{10}\\
&=\frac{19840}{10}\\
&=1984
\end{align*}$$

No. 7 Misalkan $f(x)$ adalah polinomial berderajat 2010 sedemikian sehingga $f(k)=-\dfrac{2}{k}$ untuk setiap $k=1,2,3,\cdots, 2010, 2011$. Tentukan nilai dari $f(2012)$. (IWYMIC 2011)

Jawaban :
Misal $P(x)=xf(x)+2$, jelas bahwa $P(x)$ adalah polinom derajat 2011 dan $P(1)=P(2)=P(3)=\cdots=P(2011)=0$, sehingga
$$\begin{equation*}
P(x)=A(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2011)
\end{equation*}$$Substitusikan nilai $x=0$ diperoleh
$$\begin{align*}
2=P(0)&=A(-1)(-2)(-3)\cdots(-2011)\\
2&=-2011!A\\
A&=-\frac{2}{2011!}
\end{align*}$$Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
2012f(2012)+2&=-\frac{2}{2011!}(2012-1)(2012-2)(2012-3)\cdots(2012-2011)\\
&=-\frac{2}{2011!}\cdot 2011!\\
&=-2
\end{align*}$$Jadi, $f(2012)=-\dfrac{4}{2012}=-\dfrac{1}{503}$

No. 8 Diketahui polinom $P(x)$ berderajat $n$ sedemikian sehingga $P(k)=\dfrac{k}{k+1}$ untuk $k=0,1,2,3\cdots, n$. Tentukanlah nilai dari $P(n+1)$. (USAMO 1975)

Jawaban :
Misal $Q(x)=(x+1)P(x)-x$, maka $Q(x)$ adalah polinom derajat $n+1$ dengan $Q(0)=Q(1)=Q(2)=\cdots=Q(n)=0$ sehingga
$$\begin{equation*}
Q(x)=Ax(x-1)(x-2)\cdots(x-n)
\end{equation*}$$dengan mensubstitusikan nilai $x=-1$ diperoleh
$$\begin{align*}
1=Q(-1)=-A(-2)(-3)\cdots(-1-n)=A\cdot(-1)^{n+1}(n+1)!
\end{align*}$$sehingga diperoleh $A=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$.
Oleh karena itu untuk $x=n+1$ dipeoleh
$$\begin{align*}
(n+2)P(n+1)-(n+1)&=Q(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(n+1)n(n-1)(n-2)\cdots \cdot 2\cdot 1\\
&=(-1)^{n+1}
\end{align*}$$Dari sini didapat,

  • Jika $n$ genap diperoleh $P(n+1)=\dfrac{n}{n+2}$
  • Jika $n$ ganjil diperoleh $P(n+1)=1$

No. 9 Misal $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan
$$\begin{equation*}
\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac{1}{k^2}
\end{equation*}$$untuk $k=1,2,3,4,5$. Tentukanlah nilai dari $\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}$. (APMO 2009)

Jawaban :
Misalkan $P(x)=\dfrac{a_1}{x^2+1}+\dfrac{a_2}{x^2+2}+\dfrac{a_3}{x^2+3}+\dfrac{a_4}{x^2+4}+\dfrac{a_5}{x^2+5}$ maka dapat kita nyatakan $P(x)=\dfrac{Q(x)}{R(x)}$ dengan $R(x)=(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)(x^2+5)$ dan $Q(x)$ adalah polinom berderajat delapan. Sehingga untuk $k=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ diperoleh $Q(k)=P(k)R(k)=\dfrac{R(k)}{k^2}$, dengan kata lain $k=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ adalah akar - akar dari polinom $x^2Q(x)-R(x)$. Oleh karena itu,
$$\begin{equation*}
x^2Q(x)-R(x)=A(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16)(x^2-25)
\end{equation*}$$untuk $x=0$ diperoleh
$$\begin{align*}
-R(0)&=-14400A\\
-120&=-14400A\\
A&=\frac{1}{120}
\end{align*}$$sehingga
$$\begin{equation*}
x^2Q(x)-R(x)=\frac{1}{120}(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16)(x^2-25)
\end{equation*}$$ dengan membagi kedua ruas dengan $R(x)$ diperoleh
$$\begin{align*}
x^2P(x)-1&=\frac{(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16)(x^2-25)}{120R(x)}\\
36\cdot P(6)-1&=\frac{35\cdot 32\cdot 27\cdot 20\cdot 11}{120\cdot 37\cdot 38\cdot 39\cdot 40\cdot 41}\\
&=\frac{3\cdot 7\cdot 11}{13\cdot 19\cdot 37\cdot 41}\\
&=\frac{231}{374699}
\end{align*}$$Jadi, $36P(6)=\dfrac{374930}{374699}\Leftrightarrow P(6)=\dfrac{187465}{6744582}$.
Oleh karena itu, $\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}=\dfrac{187465}{6744582}$

Bagi yang berkeinginan mengunduh materi di atas dalam bentuk format PDF, silakan klik di sini





0 comments :

Post a Comment