Dari penyelenggaraan Lomba Matematika di Unnes pada tanggal 14 Oktober kemarin, untuk soal babak semifinal saya menemukan beberapa soal yang menarik dan lumayan tidak rutin. Dari 12 soal yang diujikan - 10 soal isian singkat dan 2 soal uraian - saya mendapat 4 soal yang lumayan tidak rutin. Sedangkan sisanya, menurut saya bentuk - bentuk soalnya sudah lumayan rutin. Keempat soal tersebut adalah sebagai berikut (formulasi soal tidak sama persis dengan soal yang asli karena saya tidak pegang soal aslinya).
No. 1 Misalkan $a,b$ dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=16$. Tentukan nilai minimum dari $a^2+4ab+4b^2+2c^2$.
Dengan menggunakan AM-GM kita peroleh,
$$\begin{align*}
a^2+4ab+4b^2+2c^2&\geq 2\sqrt{a^2\cdot4b^2}+4ab+2c^2\\
&=4ab+4ab+2c^2\\
&\geq 3\sqrt[3]{4ab\cdot 4ab\cdot 2c^2}\\
&=3\sqrt[3]{32a^2b^2c^2}\\
&=3\sqrt[3]{32\cdot 16^2}\\
&=48\sqrt[3]{2}
\end{align*}$$
Jadi, nilai minimum dari $a^2+4ab+4b^2+2c^2$ adalah $48\sqrt[3]{2}$ yang dicapai ketika $a=c=2\sqrt[3]{4}$ dan $b=\sqrt[3]{4}$.
No. 2 Tentukan nilai perkalian takhingga dari
$$\begin{equation*}
S=\frac{7}{9}\cdot\frac{26}{28}\cdot\frac{63}{65}\cdot\cdots\frac{k^3-1}{k^3+1}
\end{equation*}$$
Dari identtas
$$\begin{align*}
a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)
\end{align*}$$
kita peroleh
$$\begin{align*}
\frac{7}{9}&=\frac{1\cdot 7}{3\cdot 3}\\
\frac{26}{28}&=\frac{2\cdot 13}{4\cdot 7}\\
\frac{63}{65}&=\frac{3\cdot 21}{5\cdot 13}\\
\vdots&=\vdots\\
\vdots&=\vdots\\
\vdots&=\vdots\\
\frac{(k-1)^3-1}{(k-1)^3+1}&=\frac{(k-2)(k^2-k+1)}{k(k^2-3k+3)}\\
\frac{k^3-1}{k^3+1}&=\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}
\end{align*}$$
Sehingga
$$\begin{align*}
S&=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (k-2)(k-1)\cdot 7\cdot 13\cdot 21\cdot\cdots\cdot(k^2-k+1)(k^2+k+1)}{3\cdot 4\cdot 5\cdot \cdots \cdot k(k+1)\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot\cdots\cdot(k^2-3k+3)(k^2-k+1)}\\
&=\frac{1\cdot 2\cdot(k^2+k+1)}{k(k+1)\cdot 3}\\
&=\frac{2(k^2+k+1)}{3(k^2+k)}
\end{align*}$$
No. 3 Diketahui trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $CD$ ,$AB=2CD$ dan panjang diagonal $BD=72$. Titik $E$ adalah titik tengah $AB$, $P$ merupakan titik potong $CE$ dan $BD$. Titik $M$ merupakan perpotongan diagonal $AC$ dan $BD$. Tentukan panjang $MP$.
Perhatikan sketsa berikut!
Jelas bahwa $AECD$ adalah jajar genjang. Dari sini diperoleh $AD$ sejajar $CE$ yang berakibat $\triangle ABD\sim\triangle EBP$ dan karena $AE=EB$ maka $BP=PD=36$. Selain itu perhatikan pula, $\triangle ABM\sim\triangle CDM$ sehingga $BM=2MD\Leftrightarrow 72-MD=2MD\Leftrightarrow MD=24$. Oleh karena itu, $MP=PD-MD=36-24=12$.
No. 4 Diketahui trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $AD$. Titik $E$ adalah perpotongan diagonal $AC$ dan $BD$. Jika luas $\triangle ABE=\alpha$ dan luas $\triangle CDE=\beta$. Tentukan luas trapesium $ABCD$ dalam $\alpha$ dan $\beta$.
Perhatikan sketsa berikut!
Misal $AB=a, CD=b$ dan misalkan pula $h_1, h_2$ dan $h$ berturut - turut adalah tinggi $\triangle ABE$, $\triangle CDE$ dan tinggi trapesium $ABCD$. Jelas bahwa $h=h_1+h_2$. Selain itu
$$\begin{equation*}
ah_1=2\alpha\quad\text{ dan }\quad bh_2=2\beta
\end{equation*}$$
Selanjutnya kita peroleh pula
$$\begin{align*}
\text{Luas trapesium }ABCD&=\frac{1}{2}h(a+b)\\
&=\frac{1}{2}(h_1+h_2)(a+b)\\
&=\frac{1}{2}\left(ah_1+bh_2+ah_2+bh_1\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+ah_2+bh_1\right)
\end{align*}$$
Padahal kita tahu $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ sehingga
$$\begin{align*}
\frac{h_1}{h_2}&=\frac{a}{b}\\
ah_2&=bh_1
\end{align*}$$
Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
(ah_2)^2&=ah_2\cdot bh_1\\
&=ah_1\cdot bh_2\\
&=4\alpha\beta\\
ah_2&=2\sqrt{\alpha\beta}
\end{align*}$$
Jadi,
$$\begin{align*}
\text{Luas trapesium }ABCD&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+ah_2+bh_1\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+4\sqrt{\alpha\beta}\right)\\
&=(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2
\end{align*}$$
Oh ya, yang punya soal babak final share donk!
0 comments :
Post a Comment