tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

16 October 2012

Soal Semifinal Lomba Matematika Unnes Tahun 2012 Jenjang SMP

Ditulis Oleh pada 16 October 2012


Dari penyelenggaraan Lomba Matematika di Unnes pada tanggal 14 Oktober kemarin, untuk soal babak semifinal saya menemukan beberapa soal yang menarik dan lumayan tidak rutin. Dari 12 soal yang diujikan - 10 soal isian singkat dan 2 soal uraian - saya mendapat 4 soal yang lumayan tidak rutin. Sedangkan sisanya, menurut saya bentuk - bentuk soalnya sudah lumayan rutin. Keempat soal tersebut adalah sebagai berikut (formulasi soal tidak sama persis dengan soal yang asli karena saya tidak pegang soal aslinya).

No. 1 Misalkan $a,b$ dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=16$. Tentukan nilai minimum dari $a^2+4ab+4b^2+2c^2$.


Jawaban :
Dengan menggunakan AM-GM kita peroleh,
$$\begin{align*}
a^2+4ab+4b^2+2c^2&\geq 2\sqrt{a^2\cdot4b^2}+4ab+2c^2\\
&=4ab+4ab+2c^2\\
&\geq 3\sqrt[3]{4ab\cdot 4ab\cdot 2c^2}\\
&=3\sqrt[3]{32a^2b^2c^2}\\
&=3\sqrt[3]{32\cdot 16^2}\\
&=48\sqrt[3]{2}
\end{align*}$$
Jadi, nilai minimum dari $a^2+4ab+4b^2+2c^2$ adalah $48\sqrt[3]{2}$ yang dicapai ketika $a=c=2\sqrt[3]{4}$ dan $b=\sqrt[3]{4}$.


No. 2 Tentukan nilai perkalian takhingga dari
$$\begin{equation*}
S=\frac{7}{9}\cdot\frac{26}{28}\cdot\frac{63}{65}\cdot\cdots\frac{k^3-1}{k^3+1}
\end{equation*}$$


Jawaban :
Dari identtas
$$\begin{align*}
a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)
\end{align*}$$
kita peroleh
$$\begin{align*}
\frac{7}{9}&=\frac{1\cdot 7}{3\cdot 3}\\
\frac{26}{28}&=\frac{2\cdot 13}{4\cdot 7}\\
\frac{63}{65}&=\frac{3\cdot 21}{5\cdot 13}\\
\vdots&=\vdots\\
\vdots&=\vdots\\
\vdots&=\vdots\\
\frac{(k-1)^3-1}{(k-1)^3+1}&=\frac{(k-2)(k^2-k+1)}{k(k^2-3k+3)}\\
\frac{k^3-1}{k^3+1}&=\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}
\end{align*}$$
Sehingga
$$\begin{align*}
S&=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (k-2)(k-1)\cdot 7\cdot 13\cdot 21\cdot\cdots\cdot(k^2-k+1)(k^2+k+1)}{3\cdot 4\cdot 5\cdot \cdots \cdot k(k+1)\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot\cdots\cdot(k^2-3k+3)(k^2-k+1)}\\
&=\frac{1\cdot 2\cdot(k^2+k+1)}{k(k+1)\cdot 3}\\
&=\frac{2(k^2+k+1)}{3(k^2+k)}
\end{align*}$$

No. 3 Diketahui trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $CD$ ,$AB=2CD$ dan panjang diagonal $BD=72$. Titik $E$ adalah titik tengah $AB$, $P$ merupakan titik potong $CE$ dan $BD$. Titik $M$ merupakan perpotongan diagonal $AC$ dan $BD$. Tentukan panjang $MP$.


Jawaban :
Perhatikan sketsa berikut!

Jelas bahwa $AECD$ adalah jajar genjang. Dari sini diperoleh $AD$ sejajar $CE$ yang berakibat $\triangle ABD\sim\triangle EBP$ dan karena $AE=EB$ maka $BP=PD=36$. Selain itu perhatikan pula, $\triangle ABM\sim\triangle CDM$ sehingga $BM=2MD\Leftrightarrow 72-MD=2MD\Leftrightarrow MD=24$. Oleh karena itu, $MP=PD-MD=36-24=12$.

No. 4 Diketahui trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $AD$. Titik $E$ adalah perpotongan diagonal $AC$ dan $BD$. Jika luas $\triangle ABE=\alpha$ dan luas $\triangle CDE=\beta$. Tentukan luas trapesium $ABCD$ dalam $\alpha$ dan $\beta$.


Jawaban :
Perhatikan sketsa berikut!

Misal $AB=a, CD=b$ dan misalkan pula $h_1, h_2$ dan $h$ berturut - turut adalah tinggi $\triangle ABE$, $\triangle CDE$ dan tinggi trapesium $ABCD$. Jelas bahwa $h=h_1+h_2$. Selain itu
$$\begin{equation*}
ah_1=2\alpha\quad\text{ dan }\quad bh_2=2\beta
\end{equation*}$$
Selanjutnya kita peroleh pula
$$\begin{align*}
\text{Luas trapesium }ABCD&=\frac{1}{2}h(a+b)\\
&=\frac{1}{2}(h_1+h_2)(a+b)\\
&=\frac{1}{2}\left(ah_1+bh_2+ah_2+bh_1\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+ah_2+bh_1\right)
\end{align*}$$
Padahal kita tahu $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ sehingga
$$\begin{align*}
\frac{h_1}{h_2}&=\frac{a}{b}\\
ah_2&=bh_1
\end{align*}$$
Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
(ah_2)^2&=ah_2\cdot bh_1\\
&=ah_1\cdot bh_2\\
&=4\alpha\beta\\
ah_2&=2\sqrt{\alpha\beta}
\end{align*}$$
Jadi,
$$\begin{align*}
\text{Luas trapesium }ABCD&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+ah_2+bh_1\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(2\alpha+2\beta+4\sqrt{\alpha\beta}\right)\\
&=(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2
\end{align*}$$

Oh ya, yang punya soal babak final share donk!





0 comments :

Post a Comment