tko

tko

tko

tko

28 July 2012

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tahun 2012 Hari Kedua

Ditulis Oleh pada 28 July 2012


Akhirnya selesai. Sudah lebih dari 20 hari sejak postingan saya sebelumnya yaitu Soal dan Pembahasan OSN SMP tahun 2012 hari pertama, maka pada kesempatan kali ini saya posting pembahasan untuk hari kedua.

Dengan datangnya Bulan Ramadhan, tentunya banyak agenda atau kegiatan tambahan disamping rutinitas sehari - hari. Oleh karena itu, pembahasan OSN SMP hari kedua ini datangnya terlambat. Di samping juga karena soalnya ada beberapa yang idenya datang agak telat. Tapi akhirnya selesai juga.

Bagi yang ingin mengunduh Soal dan Pembahasan OSN SMP hari kedua, silakan klik link download di bawah ini :

Download Soal dan Pembahasan OSN SMP Hari Kedua
(update 17 Agustus 2012)

Seperti biasa jangan lupa koreksi, saran, kritik dan masukannya. Sangat diharapkan ada pembaca yang memiliki ide lain dalam penyelesaian soal untuk berkenan berbagi baik melalui kolom komentar ataupun via email.
Ok, terima kasih and salam hangat.






16 comments :

  1. Anonymous28 July, 2012

    pak, osp sma nya belum ada juga ya ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. belom sempat ngerjain saya

      Delete
    2. oke pak, ditunggu nih hehe

      Delete
  2. Trims mas atas pembahasan hari keduanya.

    ReplyDelete
    Replies
    1. yups sama2, tolong dikoreksi juga ya

      Delete
  3. Mas, numpang tanya. utk soal no.5 nya kok bisa dapat : 0≤Xi≤i. Saya bingung. Trims

    ReplyDelete
    Replies
    1. Itu karena masing-masing orang dari kelompok merah tidak boleh geser ke kiri, bolehnya cuma geser ke kanan, maka dapat batasan

      $0\leq x_i\leq i$ untuk $i=1,2,3,4$

      dan

      $1\leq x_5\leq 5$

      Delete
  4. Oo.. Begitu. Trims Mas.

    ReplyDelete
    Replies
    1. walau begitu juga aku merasa solusiku yang no.5 masih ada cacatnya. Perlu koreksi lagi, cuma untuk sekarang belum ada ide

      Delete
  5. Ide saya begini. Silakan dikoreksi. Saya juga cobamengoreksi solusi Mas Tutur.
    Banyaknya kemungkinan seluruhnya = 12!.
    Pasangkan setiap orang dalam kelompok B dengan A. Banyaknya pasangan ada 5.
    Secara umum nomor antrian dari kelompok A harus lebih kecil dari kelompok B agar tersedia kembalian. Karena penjual tiket awalnya memiliki uang Rp. 5.000,- maka diperbolehkan satu pasang antrian dengan nomor antrian kelompok A lebih besar dari kelompok B.

    Kasus 1 : Semua nomor antrian dari kelompok A lebih kecil dari kelompok B
    Dari 12 tempat dipilih 2 di antaranya. Banyaknya cara ada 12C2. Dari 10 tempat tersisa dipilih 2 di antaranya. Banyaknya cara ada 10C2. Demikian seterusnya. Dua orang tersisa dari kelompok A akan ditaruh pada 2 tempat tersisa. Banyaknya cara 2 x 1 = 2.
    Banyaknya cara keseluruhan = 12C2 x 10C2 x 8C2 x 6C2 x 4C2 x 2 x 1.

    Kasus 2 : Terdapat sepasang nomor antrian dari kelompok A lebih besar dari kelompok B
    Dalam setiap susunan diperbolehkan satu pasang antrian dengan nomor antrian kelompok A lebih besar dari kelompok B. Banyaknya pasangan ada 5.
    Banyaknya cara keseluruhan = 12C2 x 10C2 x 8C2 x 6C2 x 4C2 x 2 x 1 x 5.
    Peluang kejadian = (1+5)/2x2x2x2x2 = 3/16

    Silakan dikoreksi. Jadi, kalau penjaga tiketnya punya duit Rp. 25.000,- maka peluang = (C(5,0)+C(5,1)+...+C(5,5))/32 = 1.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih atas sharingnya Pak Eddy,

      Saya sudah lumayan menangkap ide dari Bpk. Akan tetapi hasilnya mengapa kecil sekali. Penasaran dengan hal ini, untuk mencoba ide Bpk saya coba persempit kasus yaitu antriannya terdiri dari 2 orang dengan uang 10.000 dan 3 orang dengan uang 5.000 sedangkan syarat yang lain sama dengan soal.

      Dari contoh ini jelas ruang samplenya adalah 120 dan antrian bagus yang dapat dibentuk masih bisa dikuli yaitu ada 108 cara.

      Akan tetapi bila saya menghitungnya dengan cara seperti yang Bpk utarakan, antrian bagus yang didapat hanya 90. Jadi masih kurang 18 lagi.

      Saya sendiri juga masih belum jelas salahnya dimana atau mungkin saya salah dalam menafsirkan ide dari Bpk. Mohon koreksinya kembali

      Terimakasih,

      Delete
  6. Ide saya keliru.
    Saya ada ide lain. Yaitu mencari komplemen. Ada 7 kasus (Apa iya caranya harus kayak gini ?) :
    * kasus 1, kelompok B mengisi kursi nomor 1 dan 2 serta 3 kursi lain dari nomor 3 sampai 12.
    * kasus 2, kelompok B mengisi kursi nomor 2,3 dan 5,6 serta 1 kursi lain dari nomor 7 sampai 12.
    * kasus 3, kelompok B mengisi kursi nomor 2,3 dan 6,7,8
    * Kasus 4 kelompok B mengisi kursi nomor 2,3,4 dan 2 kursi dari nomor 5 s.d. 12.
    * Kasus 5 kelompok B mengisi kursi nomor 3,4,5 dan 7,8.
    * Kasus 6 kelompok B mengisi kursi nomor 3,4,5,6 dan 1 kursi dari nomor 7 s.d. 12.
    * Kasus 7 kelompok B mengisi kursi nomor 4,5,6,7,8
    Misalkan 7!=a. Maka nilai secara berturut-turut tiap kasus adalah 14400a, 720a, 120a, 3360a, 120a, 720a, 120a dengan total = 19560a.
    Peluang = 1-(19560x7!/12!)= 629/729. (Kalau tidak salah hitung).

    ReplyDelete
    Replies
    1. Beda tipis pak, jawab saya $\dfrac{628}{792}$ sedangkan jawaban jenengan $\dfrac{629}{729}$.

      Pada dasarnya saya juga menggunakan komplemen seperti Pak Eddy cuma mungkin sedikit beda ide penyampaiannya saja.

      Saya juga masih mencari solusi yang lebih elegan, karena solusi saya juga masih ribet, kurang jelas dan panjang.

      BTW, Terima kasih lho Pak Eddy sudah berkenan berdiskusi disini

      Delete
  7. Maaf,Setelah membaca jawaban Mas Tutur, pada jawaban Mas Tutur ketika x1=1 dan x2=2 juga termasuk dalam himpunan dimaksud ? Dan apakah hal tersebut memenuhi ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Oh ya, saya tidak nyadar. Terima kasih atas koreksi.

      Setelah dipikir kembali itu yang salah adalah batasannya. Harusnya adalah
      $$\begin{align*}
      x_1&\leq 1\\
      x_1+x_2&\leq 2\\
      x_1+x_2+x_3&\leq 3\\
      x_1+x_2+x_3+x_4&\leq 4
      \end{align*}$$
      Berdasarkan hal ini saya sudah merevisi solusi yang saya buat.
      Editan ketiga ini semoga saja sudah benar sebab saya sudah menggunakan jurus pamungkas yaitu counting straight forward alias NGULI.
      Akan tetapi mohon untuk tetap dikoreksi.
      Jawaban saya yang sekarang yaitu $\dfrac{13}{18}$, agak lebih cantik sih.

      Delete
    2. Karena Mas Tutur sudah memperbaiki punya Mas Tutur saya juga akan memperbaiki hitungannya.

      Misalkan kelompok M adalah kelompok orang yang hanya mempunyai uang kertas Rp. 10.000.
      Persoalan setara hanya membandingkan banyaknya kemungkinan posisi kelompok M yang memenuhi dengan kemungkinan posisi kelompok M keseluruhan.
      Banyaknya kemungkinan posisi kelompok M keseluruhan = 12C5 = 792.
      Akan dicari komplemen dari maksud dalam soal.
      Misalkan bagian I adalah nomor antrian 1 s.d 6 dan bagian II adalah nomor antrian 7 s.d.12. Ada 3 kasus :
      * Jika tepat 2 orang dari kelompok X masuk pada bagian I
      Maka 2 orang tersebut harus menempati nomor 1 dan 2. Tiga orang lainnya masuk pada bagian II. Banyaknya cara = 1 x 6C3 = 20.
      * Jika tepat 3 orang dari kelompok X masuk pada bagian I
      Ada 3 sub kasus :
      ** Jika 3 orang menempati nomor 1 s.d. 4.
      Berapapun nomor yang ditempati mengakibatkan uang kembalian tidak mencukupi.
      Banyaknya cara = 4C3 x 2C0 x 6C2 = 60.
      ** Jika 2 orang menempati nomor 1 s.d. 4 dan 1 orang menempati nomor 5 atau 6.
      Ada 2 sub sub kasus :
      *** Jika 2 orang tersebut menempati nomor 1 dan 2.
      Berapapun nomor yang ditempati mengakibatkan uang kembalian tidak mencukupi.
      Banyaknya cara = 2C2 x 2C1 x 6C2 = 30.
      *** Jika 2 orang tersebut tidak menempati nomor 1 dan 2.
      Maka 2 orang yang masuk bagian II harus menempati nomor antrian 7 dan 8.
      Banyaknya cara = (4C2  1) x 2C1 x 2C2 = 10.
      ** Jika 1 orang menempati nomor 1 s.d. 4 dan 2 orang menempati nomor 5 dan 6.
      Maka 2 orang yang masuk bagian II harus menempati nomor antrian 7 dan 8.
      Banyaknya cara = 4C1 x 2C2 x 2C2 = 4.
      * Jika tepat 4 orang dari kelompok X masuk pada bagian I
      Berapapun nomor yang ditempati mengakibatkan uang kembalian tidak mencukupi.
      Banyaknya cara = 6C4 x 6C1 = 90.
      * Jika tepat 5 orang dari kelompok X masuk pada bagian I
      Berapapun nomor yang ditempati mengakibatkan uang kembalian tidak mencukupi.
      Banyaknya cara = 6C5 = 6.
      Banyaknya cara keseluruhan = 20 + 60 + (30 + 10) + 4 + 90 + 6 = 220.
      Peluang kejadian = 1-220/792=572/792=13/18.

      Delete