tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

25 May 2012

Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Ketiga

Ditulis Oleh pada 25 May 2012


Alhamdulillah, akhirnya selesai juga Pembahasan OSP Matematika SMA 2011 Bagian Ketiga. Seri ini merupakan lanjutan dari dua seri sebelumnya, sekaligus sebagai seri yang terakhir. Harapannya semoga pembahasan yang saya berikan ini bermanfaat bagi pembaca. Jangan lupa juga, silakan kasih masukan. Mari bersama - sama sharing ilmu di sini. Seperti halnya saya yang tidak tahu apa - apa dan hanya asal nulis, maka siapapun boleh memberi masukan. Makanya saya selalu tunggu kritik dan sarannya

Oke, untuk bagian ketiga ini terdiri dari lima soal uraian. Buat aku soalnya tergolong susah. Beberapa solusi masih agak mentah dan tidak sempurna (jauh dari kata sempurna malahan). Tapi yah, apa yang aku bisa dan tahu, aku bagikan di sini. So, check this out!

  1. Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$\begin{align*} x^2-y^2&=0\\ (x-k)^2+y^2&=1 \end{align*}$$

    Jawaban :Dari persamaan pertama diperoleh $y=\pm x$. Hal ini berarti pasangan $(x,y)$ keduanya real atau keduanya imajiner. Substitusikan $y^2=x^2$ ke persamaan kedua sehingga diperoleh $$\begin{align*} (x-k)^2+x^2=1\Leftrightarrow 2x^2-2kx+k^2-1=0 \end{align*}$$ Agar persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian real maka haruslah nilai diskriminannya yaitu $D=4k^2-4\cdot2\cdot(k^2-1)$ kurang dari $0$. Sehingga didapat, $$\begin{align*} 4k^2-4\cdot2\cdot(k^2-1) < 0\Leftrightarrow 8-4k^2 < 0\Leftrightarrow 2-k^2 < 0\end{align*}$$ sehingga $k < -\sqrt{2}$ atau $k > \sqrt{2}$.
    Jadi, nilai $k$ yang memenuhi agar sistem persamaan pada soal tidak memiliki penyelesaian real adalah $\{k\in\mathbb{R}|k < -\sqrt{2}\text{ atau }k > \sqrt{2}\}$.

  2. Suatu bilangan dikatakan cantik jika memenuhi sekaligus dua kondisi berikut :
    a. Merupakan kuadrat sempurna, yaitu kuadrat dari suatu bilangan asli.
    b. Jika digit paling kanan pada penulisan desimalnya dipindah posisinya menjadi digit paling kiri, maka bilangan yang terbentuk masih merupakan kuadrat sempurna.
    Sebagai contoh, $441$ merupakan bilangan $cantik$ terdiri dari $3$ digit, karena $441=21^2$ dan $144=12^2$. Sedangkan $144$ bukan bilangan $cantik$ karena $144=12^2$ tetapi $414$ bukan bilangan kuadrat sempurna.
    Buktikan bahwa terdapat bilangan cantik yang penulisan desimalnya terdiri dari tepat $2011$ digit!

    Jawaban :Kita definisikan $T_n=\left(\underbrace{2222\cdots2}_{n \text{ angka }2}1\right)^2$ dan $S_n=\left(1\underbrace{2222\cdots2}_{n \text{ angka }2}\right)^2$.
    Karena $2\cdot10^n<\underbrace{2222\cdots2}_{n \text{ angka }2}1<3\cdot10^n$ maka $4\cdot10^{2n}< T_n < 9\cdot10^{2n}$.
    Dari sini diperoleh bahwa $T_n$ terdiri dari $2n+1$ digit. Selanjutnya perhatikan bahwa, $$\begin{align*}S_n&=\left(1\underbrace{2222\cdots2}_{n \text{ angka }2}\right)^2\\ &=\left(10^n+2\left(\frac{10^n-1}{9}\right)\right)^2\\ &=10^{2n}+4\cdot10^n\left(\frac{10^n-1}{9}\right)+4\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2\end{align*}$$dan$$\begin{align*}T_n&=\left(\underbrace{2222\cdots2}_{n \text{ angka }2}1\right)^2\\&=\left(20\left(\frac{10^n-1}{9}\right)+1\right)^2\\ &=400\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2+40\left(\frac{10^n-1}{9}\right)+1 \end{align*}$$ Jelas terlihat bahwa digit terakhir dari $T_n$ adalah $1$. Agar $T_n$ merupakan bilangan cantik haruslah $$\begin{equation*} 10^{2n}+40\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2+4\left(\frac{10^n-1}{9}\right) \end{equation*}$$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
    Untuk itu perhatikan bahwa, $$\begin{align*} &10^{2n}+40\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2+4\left(\frac{10^n-1}{9}\right)\\ &=10^{2n}+\frac{40\cdot10^{2n}-80\cdot10^n+40}{9^2}+\frac{4\cdot10^n-4}{9}\\ &=10^{2n}+\frac{4\cdot10^{2n}-8\cdot10^n+4}{9^2}+\frac{36\cdot10^{2n}-72\cdot10^n+36}{9^2}+\frac{4\cdot10^n-4}{9}\\ &=10^{2n}+4\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2+\frac{4\cdot10^{2n}-4\cdot10^n}{9}\\ &=10^{2n}+4\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2+4\cdot10^n\left(\frac{10^{n}-1}{9}\right)\\ &=S_n \end{align*}$$ Jadi, terbukti untuk setiap bilangan asli $n$, $T_n$ merupakan bilangan cantik yang terdiri dari $2n+1$ digit. Oleh karena itu, jika $n=1005$ maka diperoleh $T_{1005}$ merupakan bilangan cantik yang terdiri dari $2011$ digit.Jadi, terbukti terdapat bilangan cantik yang penulisan desimalnya terdiri dari tepat $2011$ digit.

  3. Misalkan $A$ adalah himpunan semua pembagi positif dari $10^9$. Jika dipilih dua bilangan sebarang $x$ dan $y$ di $A$ (boleh sama), tentukan peluang dari kejadian $x$ membagi $y$

    Jawaban :Karena $10^9=2^9\cdot 5^9$ maka banyaknya pembagi positif dari $10^9$ adalah $100$. Dengan kata lain $n(A)=100$. Banyak cara memilih dua bilangan sebarang $x$ dan $y$ di $A$ yaitu
    a. Jika $x=y$ maka banyaknya memilih $x$ dan $y$ ada $100$ cara.
    b. Jika $x\neq y$ maka banyaknya memilih $x$ dan $y$ ada $C_2^{100}=4950$ cara.
    Jadi, banyak cara memilih dua bilangan sebarang $x$ dan $y$ di $A$ ada $100+4950=5050$ cara.
    Selanjutnya misalkan $x=2^a\cdot 5^b$ dan $y=2^p\cdot 5^q$ dimana $0\leq a,b,p,q\leq 9$.
    Agar $x$ membagi $y$ haruslah $a\leq p$ dan $b\leq q$. Banyaknya cara memilih pasangan $(a,p)$ yang demikian ada $C_2^{10}+10=55$ cara. Demikian juga banyaknya cara memilih pasangan $(b,q)$ juga ada $55$ cara. Oleh karena itu banyaknya cara memilih pasangan $(x,y)$ sehingga $x$ membagi $y$ ada $55\cdot 55=3025$. Oleh karena itu peluangnya terambil $x$ dan $y$ sehingga $x$ membagi $y$ adalah $\dfrac{3025}{5050}$.

  4. Diberikan persegi panjang (siku empat) $ABCD$ dengan $AB=a$ dan $BC=b$. Titik $O$ adalah perpotongan antara kedua diagonalnya. Perpanjang sisi $BA$ sehingga $AE=AO$, juga perpanjang diagonal $BD$ sehingga $BZ=BO$. Asumsikan segitiga $EZC$ sama sisi. Buktikan bahwa
    a. $b=a\sqrt{3}$
    b. $EO$ tegak lurus $ZD$

    Jawaban : Perhatikan sketsa di bawah ini !

    Tanpa mengurangi keumuman, misalkan koordinat $A(0,0), B(a,0), C(a,b)$ dan $D(0,b)$. Sehingga diperoleh koordinat $E(-\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2},0)$ dan $Z(\frac{3}{2}a,-\frac{1}{2}b)$. Oleh karena itu diperoleh vektor $\overrightarrow{CE}=(-\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}-a, -b)$ dan $\overrightarrow{CZ}=(\frac{1}{2}a,-\frac{3}{2}b)$. Karena $EZC$ segitiga sama sisi diperoleh, $$\begin{align*} |\overrightarrow{CE}|^2&=|\overrightarrow{CZ}|^2\\ \left(-\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^2+ b^2&=\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{4}b^2\\ \frac{1}{4}(a^2+b^2)+a\sqrt{a^2+b^2}+b^2&=\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{4}b^2\\ a\sqrt{a^2+b^2}+a^2&=b^2\\ a\sqrt{a^2+b^2}&=b^2-a^2 \end{align*}$$ Selain itu dengan aturan dot product diperoleh, $$\begin{align*} \overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{CZ}&=|\overrightarrow{CE}||\overrightarrow{CZ}|\cos 60^\circ\\ -\frac{1}{4}a\sqrt{a^2+b^2}-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2&=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CZ}|^2\\ -\frac{1}{4}(b^2-a^2)-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2&=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{4}b^2)\\ \frac{5}{4}b^2-\frac{1}{4}a^2&=\frac{1}{8}a^2-\frac{9}{8}b^2\\ \frac{1}{8}b^2&=\frac{3}{8}a^2\\ b&=a\sqrt{3} \end{align*}$$ Selanjutnya karena $b=a\sqrt{3}$ maka koordinat $E(-a,0)$. Jadi, $\overrightarrow{EO}=(\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}b)$ dan $\overrightarrow{ZO}=(-a,b)$. Oleh karena itu, $$\begin{align*} \overrightarrow{EO}\cdot\overrightarrow{ZO}&=-\frac{3}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2\\ &=-\frac{3}{2}a^2+\frac{3}{2}a^2\\ &=0 \end{align*}$$ sehingga dapat disimpulkan $EO\bot ZO$ yang berarti $EO\bot ZD$.
    < Alternatif Jawaban :
    Misalkan $\angle ABD=\alpha$ dan $\angle CBD=\beta$. Karena $\triangle CEZ$ sama sisi maka $CE=EZ=CZ$. Selanjutnya dengan aturan cosinus pada $\triangle BEZ$ diperoleh, $$\begin{align*} EZ^2&=BE^2+BZ^2-2\cdot BE\cdot BZ \cos (180^\circ-\alpha)\\ CE^2&=BE^2+BZ^2+2\cdot BE\cdot BZ \cos \alpha\\ BE^2+BC^2&=BE^2+BZ^2+2\cdot BE\cdot BZ \cos \alpha\\ b^2&=\frac{1}{4}(a^2+b^2)+2(a+\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2})\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ b^2&=\frac{1}{4}(a^2+b^2)+a^2+\frac{1}{2}a\sqrt{a^2+b^2}\\ a\sqrt{a^2+b^2}&=\frac{3}{2}b^2-\frac{5}{2}a^2 \end{align*}$$ Demikian pula dengan aturan cosinus pada $\triangle BCZ$ didapat, $$\begin{align*} CZ^2&=BC^2+BZ^2-2\cdot BC\cdot BZ \cos (180^\circ-\beta)\\ CE^2&=BC^2+BZ^2+2\cdot BC\cdot BZ \cos \beta\\ BE^2+BC^2&=BC^2+BZ^2+2\cdot BC\cdot BZ \cos \beta\\ (a+\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2})^2&=\frac{1}{4}(a^2+b^2)+2b\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\b^2-a^2&=a\sqrt{a^2+b^2}\\ b^2-a^2&=\frac{3}{2}b^2-\frac{5}{2}a^2\\ b&=a\sqrt{3} \end{align*}$$ Oleh karena itu terbukti, $b=a\sqrt{3}$. Hal ini berakibat $AO=a$ sehingga $\triangle ABO$ adalah segitiga sama sisi. Karena itu didapat $\angle EAO=120^\circ$ sehingga $\angle AOE=30^\circ$. Jadi, $\angle BOE=\angle BOA+\angle AOE=60^\circ+30^\circ=90^\circ$. Terbukti bahwa $EO\bot ZD$.

  5. Misalkan $M$ adalah himpunan bagian dari $\{1,2,3,\cdots, 12,13\}$ dan tidak ada tiga anggota $M$ yang hasil kalinya berbentuk kuadrat sempurna. Tentukan banyak maksimum anggota $M$ yang mungkin.

    Jawaban :Pasangan triple yang hasil kalinya berupa kuadrat sempurna yaitu
    $(1,2,8), (1,3,12), (1,4,9), (2,5,10), (2,3,6), (2,4,8), (2,6,12), (2,8,9),(3,4,12), (3,6,8) (3,9,12)$ dan $(6,8,12)$.
    Misalkan $k$ menyatakan banyak anggota himpunan $M$.
    Perhatikan dari triple $(1,4,9), (2,5,10)$ dan $(6,8,12)$ diperoleh minimal satu bilangan dari masing - masing triple tersebut bukan anggota $M$. Dengan demikian $k\leq 10$.
    Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $k\neq 10$.
    Kita gunakan bukti tak langsung, andaikan $k=10$. Hal ini berakibat $2$ bukan anggota $M$. Sebab andaikan $2\in M$ maka minimal satu bilangan dari masing - masing pasangan $(3,6), (4,8), (6,12)$ dan $(8,9)$ bukan anggota $M$. Kontradiksi dengan $k=10$. Jadi terbukti $2$ bukan anggota $M$.
    Selanjutnya jika $3\in M$ dan $12\in M$ maka minimal tiga bilangan dari himpunan $\{4,6,8,9\}$ bukan anggota $M$, sehingga $k<10$. Kontradiksi. Jadi jika $k=10$ maka minimal salah satu dari $3$ atau $12$ bukan angota $M$.
    I. Jika $3\in M$ dan $12$ bukan anggota $M$
    maka dari himpunan $\{6,8\}$ dan $\{4,9\}$ masing - masing minimal satu anggotanya bukan anggota $M$. Jadi $k<10$, yang jelas tidak mungkin.
    II. Jika $12\in M$ dan $3$ bukan anggota $M$
    maka dari triple $(1,4,9)$ dan $(6,8,12)$ masing - masing minimal satu anggotanya bukan anggota $M$. Jadi, $k<10$ yang tidak mungkin juga.
    Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa $k\neq 10$. Dengan kata lain $k\leq 9$. Untuk $k=9$, kita dapat memilih $M=\{4,5,6,7,9,10,11,12,13\}$. Jadi, terbukti banyak anggota maksimum dari $M$ adalah $9$.

Demikian akhir dari seri Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011. Tak lupa di bagian akhir ini saya upload Soal OSP Matematika 2011 versi PDF-nya (agar lebih mudah dibuat latihan) sekalian juga memenuhi permintaan teman yang menginginkan khusus soalnya saja.

Download Soal OSP Matematika SMA 2011

Habis ini mungkin saya coba upload Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA 2010. Sebenarnya saya juga sudah posting sebelumnya di sini. Hanya saja masih kurang lengkap karena dulu belum dapat soal komplitnya. Akhirnya beberapa hari yang lalu, teman saya Aisha dari Aceh minta saya memberi pembahasannya. Oleh karena itu, mungkin untuk selanjutnya saya akan memberikan pembahasan lengkap OSP 2010. Tentu saja itu terkait waktu juga. Makanya tunggu saja ya and sampai ketemu lagi

Mohon Maaf Halaman Ini mengalami sedikit error pada tag htmlnya karena beberapa equation yang rumit dan belum dapat saya perbaikai. Terima kasih





12 comments :

  1. Makasih ya, sangat membantu.

    Yang 2010 aku juga mau. Aku tunggu lho

    ReplyDelete
  2. Makasih pak.. sangt membantu...

    ReplyDelete
  3. mas, kalo pembahasan geometrinya ndk pake vektor bisa ndk ya?
    kalo misalkan bisa, tolng dikirim jawabannya ke cahya.viiib.7@gmail.com
    trimakasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. Yang no.4 aku beri alternatif pake geometri walo ndak murni geo. Masih pake trigonometri (aturan cosinus). Jadinya tetap harus komputasi juga.

      Btw, enakan pake vektor klo n0.4

      Delete
    2. oke deh, kalo di essay ada perbedaan nilai ndk menyelesaikan soal geometri dengan geometri murni sama dngn vektor?

      Delete
    3. Aku ndak tahu pasti, blom pernah jadi juri OSN soalnya.
      Cuma prinsipnya adalah semakin elementer semakin baik.

      Delete
  4. Anonymous29 May, 2012

    Fiqri Muhammad
    Assalamu'alaikum pa tutur ada OSP yang tahun 2010 ga? kalau ada kirim ke email fiqrimuhammadkoto@gmail.com. thanks..

    ReplyDelete
    Replies
    1. Rencana aku mau buat, ntar aku posting di blog ini juga ko'

      Delete
  5. manteb tutorialnya mas

    ReplyDelete
  6. Anonymous03 June, 2012

    butuh yang bentuk pdf

    ReplyDelete
  7. bagus sekali pembahasannya pak....
    terus berkaya bagi bangsa...

    ReplyDelete