tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

19 May 2012

Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua

Ditulis Oleh pada 19 May 2012


Ternyata sudah sebulan lebih sejak postingan terakhir Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Pertama. Baru kali ini saya dapat melanjutkan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua. Terlebih dahulu saya mohon maaf kepada pembaca blog ini yang harus menunggu lama untuk bisa membaca Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua. (Curhat sedikit nich!) Beberapa minggu yang lalu Ibu saya harus di rawat di RS. Oleh karena itu, saya berkewajiban menunggui beliau sehinga saya belum bisa melakukan update pada blog saya ini. Habis itu, setelah Ibu saya alhamdulillah sembuh, giliran saya yang kena sakit. Alhasil baru setelah satu bulan lebih ini, saya bisa melanjutkan kembali Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua.

Tanpa panjang lebar lagi, berikut sepuluh soal di Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua

11. Pada gambar di bawah ini, panjang $AE=x, EC=y$ dan $DC=2BD$. Perbandingan panjang $BF$ dan $FE$ dinyatakan dalam $x$ dan $y$ adalah ...






Jawaban : $\dfrac{x+y}{2x}$
Definisikan $[ABC]$ sebagai luas segitiga $ABC$. Perlu diingat bahwa dua segitiga yang memiliki tinggi sama maka perbandingan luas kedua segitiga tersebut sama dengan perbandingan alasnya.
Selanjutnya perhatikan gambar berikut !

Dengan demikian karena $DC=2BD$ diperoleh $[ACD]=2[ABD]$ dan $[CDF]=2[BDF]$. Perhatikan juga bahwa
$$\begin{equation*}
[ACF]=[ACD]-[CDF]=2[ABD]-2[BDF]=2[ABF]
\end{equation*}$$
Selain itu, karena $AE=x$ dan $CE=y$ berakibat $\dfrac{[AEF]}{[CEF]}=\dfrac{x}{y}$ yang equivalen dengan
$$\begin{align*}
[AEF]&=\frac{x}{x+y}[ACF]\\
&=\frac{2x}{x+y}[ABF]
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
\frac{[AEF]}{[ABF]}=\frac{2x}{x+y}
\end{equation*}$$
Oleh karena itu,
$$\begin{equation*}
\frac{BF}{FE}=\frac{[ABF]}{[AEF]}=\frac{x+y}{2x}
\end{equation*}$$

12. Banyak bilangan tiga digit yang semua digit - digitnya berbeda dan digit terakhir merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah ...







Jawaban : 32
Kita bagi kasus,
  • Jika digit terakhir 3
    Karena $3=1+2$ maka banyaknya bilangan ada 2.
  • Jika digit terakhir 4
    Karena $4=1+3$ maka banyaknya bilangan ada 2.
  • Jika digit terakhir 5
    Karena $5=1+4=2+3$ maka banyaknya bilangan ada 4.
  • Jika digit terakhir 6
    Karena $6=1+5=2+4$ maka banyaknya bilangan ada 4.
  • Jika digit terakhir 7
    Karena $7=1+6=2+5=3+4$ maka banyaknya bilangan ada 6.
  • Jika digit terakhir 8
    Karena $8=1+7=2+6=3+5$ maka banyaknya bilangan ada 6.
  • Jika digit terakhir 9
    Karena $9=1+8=2+7=3+6=4+5$ maka banyaknya bilangan ada 8.

Jadi, total ada $2+2+4+4+6+6+8=32$ bilangan.

13. Diberikan barisan bilangan rasional $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ yang didefinisikan dengan $a_1=2$ dan
$$\begin{equation*}
a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}, n\in\mathbb{N}
\end{equation*}$$
Nilai $a_{2011}$ adalah ...







Jawaban : $-\frac{1}{2}$
Cek untuk beberapa nilai $n$ yang pertama, kita peroleh barisan
$$\begin{equation*}
2,\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-3,2,\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-3,\cdots
\end{equation*}$$
Jadi, barisan di atas berulang setiap 4 suku. Karena $2011=4\cdot502+3$ maka $a_{2011}=a_3=-\frac{1}{2}$

14. Misalkan $\Gamma$ lingkaran luar segitiga $ABC$. Talibusur $AD$ adalah garis bagi $\angle BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Talibusur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotongnya di titik $M$. Jika $\frac{BL}{BC}=\frac{1}{2}$, maka perbandingan $\frac{AM}{MC}=$ ...







Jawaban : 3
Perhatikan gambar berikut!

Karena $AD$ adalah garis bagi $\angle BAC$ maka $\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$. Misalkan panjang $AB=x$ maka $AC=2x$. Perhatikan bahwa $\triangle CDL \sim \triangle ACD$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{DC}{AD}=\frac{DL}{DC}\Leftrightarrow DC^2=AD\cdot DL
\end{equation*}$$
Selain itu, $\triangle ABL \sim \triangle ACD$ sehingga diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{AD}=\frac{AL}{AC}\Leftrightarrow AD\cdot AL=AB\cdot AC=2x^2
\end{equation*}$$
Karena $\triangle AMD$ dan $\triangle CMD$ keduanya adalah segitiga siku - siku, dengan dalil phytagoras kita peroleh
$$\begin{align*}
AD^2&-AM^2=DC^2-MC^2\\
&\Leftrightarrow AD^2-DC^2=AM^2-MC^2\\
&\Leftrightarrow AD^2- AD\cdot AL=(AM+MC)(AM-MC)\\
&\Leftrightarrow AD(AD-AL)=2x(AM-MC)\\
&\Leftrightarrow AD\cdot DL=2x(AM-MC)\\
&\Leftrightarrow 2x^2=2x(AM-MC)\\
&\Leftrightarrow AM-MC=x
\end{align*}$$
Karena $AM-MC=x$ dan $AM+MC=2x$ maka didapat $2AM=3x$ dan $2MC=x$ sehingga
$$\begin{equation*}
\frac{AM}{MC}=\frac{2AM}{2MC}=\frac{3x}{x}=3
\end{equation*}$$

15. Dua dadu memiliki angka 1 sampai 6 yang dapat dilepas dari dadu. Kedua belas angka tersebut dilepas dari dadu dan dimasukkan ke dalam suatu kantong. Secara acak diambil satu angka dan dipasangkan ke salah satu dari kedua dadu tersebut. Setelah semua angka terpasangkan, kedua dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang munculnya angka tujuh sebagai jumlah dari angka pada bagian atas kedua dadu tersebut adalah ...







Jawaban : $\frac{54}{297}$
Misalkan angka - angka pada dadu I adalah $1,2,3,4,5,6$ dan angka - angka pada dadu II adalah $\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}$. Pada proses ini bisa kita anggap kita memasangkan angka pada dadu I terlebih dahulu setelah itu dadu II dipasangkan dengan 6 angka sisanya. Oleh karena itu banyaknya pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah $C_6^{12}=924$. Sedangkan jumlah 7 bisa diperoleh jika angka yang ada di bagian atas adalah $(1,\overline{6}),(2,\overline{5}),(3,\overline{4}),(4,\overline{3}),(5,\overline{2}),(6,\overline{1})$. Kita selidiki untuk kasus $(1,\overline{6})$ atau $(6,\overline{1})$. Sedangkan untuk dua kasus lainnya identik dengan kasus ini.
Perhatikan kemungkinan distribusi angka - angka $1,6,\overline{1},\overline{6}$ yang bisa menghasilkan jumlah 7 adalah sebagai berikut :
  1. Dadu I memiliki salah satu dari angka - angka $1,6,\overline{1},\overline{6}$
    Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah $C_1^4\cdot C_5^8=224$. Sedangkan untuk masing - masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah $\frac{2}{36}$. Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu $\frac{224}{924}\cdot \frac{2}{36}=\frac{4}{297}$.
  2. Dadu I memiliki dua angka dari angka - angka $1,6,\overline{1},\overline{6}$
    • Jika dua angka tersebut adalah $(1,6),(1,\overline{6}),(\overline{1},6)$ atau $(\overline{1},\overline{6})$ maka banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah $4\cdot C_4^8=280$. Sedangkan untuk masing - masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah $\frac{2}{36}$. Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu $\frac{280}{924}\cdot \frac{2}{36}=\frac{5}{297}$.
    • Jika dua angka tersebut adalah $(1,\overline{1})$ atau $(6,\overline{6})$ maka banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah $2\cdot C_4^8=140$. Sedangkan untuk masing - masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah $\frac{4}{36}$. Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu $\frac{140}{924}\cdot \frac{4}{36}=\frac{5}{297}$.
  3. Dadu I memiliki tiga angka dari angka - angka $1,6,\overline{1},\overline{6}$
    Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah $C_3^4\cdot C_3^8=224$. Sedangkan untuk masing - masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah $\frac{2}{36}$. Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu $\frac{224}{924}\cdot \frac{2}{36}=\frac{4}{297}$.

Oleh karena itu peluang muncul jumlah 7 yang diperoleh dari pasangan $(1,\overline{6})$ atau $(6,\overline{1})$ adalah $\frac{4}{297}+\frac{5}{297}+\frac{5}{297}+\frac{4}{297}=\frac{18}{297}$. Jadi, total peluang muncul angka 7 adalah $3\cdot\frac{18}{297}=\frac{54}{297}$

16. Banyaknya bilangan asli $n$ sehingga setiap titik dengan koordinat bilangan asli yang terletak pada garis $x+y=n$ mempunyai jarak suatu bilangan prima terhadap titik pusat $(0,0)$ adalah ...







Jawaban : 0
Jika $n=1$ maka diperoleh persamaan garis $x+y=1$ yang jelas tidak memiliki koordinat berupa bilangan asli. Oleh karena itu haruslah $n\geq 2$. Perhatikan bahwa titik $(1,n-1)$ merupakan koordinat bilangan asli yang terletak pada garis $x+y=n$ sehingga diperoleh
$$\begin{equation*}
1^2+(n-1)^2=p^2
\end{equation*}$$
dengan $p$ adalah bilangan prima.
Lebih jauh diperoleh $1=p^2-(n-1)^2$. Padahal kita ketahui bahwa dua bilangan kuadrat yang berselisih 1 hanya $0^2$ dan $1^2$ yang keduanya, baik $0$ ataupun $1$ bukan bilangan prima. Jadi, tidak ada bilangan asli $n$ yang memenuhi kondisi pada soal.

17. Bilangan asli $n$ yang memenuhi $(-2004)^n-1900^n+25^n-121^n$ habis dibagi $2000$ adalah ...







Jawaban : semua bilangan asli
Ingat kembali bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku
$$\begin{equation*}
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})
\end{equation*}$$
dan jika $a,b$ adalah bilangan bulat, dapat kita katakan $a^n-b^n$ habis dibagi $(a-b)$. Selanjutnya perhatikan, $-2004-1900=-3904$ sehingga $(-2004)^n-1900^n$ habis dibagi $-3904$ tetapi karena $-3904=-244\cdot 16$ berakibat $(-2004)^n-1900^n$ habis dibagi $16$. Demikian dengan cara yang sama diperoleh $25^n-121^n$ habis dibagi $16$ karena $25-121=-96=-6\cdot16$. Oleh karena itu, $(-2004)^n-1900^n+25^n-121^n$ habis dibagi $16$. Selain itu, $(-2004)^n-121^n$ habis dibagi $125$ karena $-2004-121=-2125=-17\cdot125$ serta $25^n-1900^n$ juga habis dibagi $125$ sebab $25-1900=-1875=-15\cdot125$. Jadi, sekali lagi diperoleh $(-2004)^n-1900^n+25^n-121^n$ habis dibagi $125$. Akan tetapi, karena $16$ dan $125$ keduanya saling prima berakibat $(-2004)^n-1900^n+25^n-121^n$ habis dibagi $16\cdot125=2000$ untuk setiap bilangan asli $n$.

18. Sepuluh orang siswa duduk dalam suatu baris. Semua siswa bangkit dan duduk kembali pada baris tersebut dengan aturan setiap siswa dapat duduk kembali pada kursi yang sama atau pada kursi yang berada di sebelah kursi lamanya. Banyaknya cara semua siswa tersebut duduk kembali pada baris tadi ada sebanyak ...







Jawaban : 89
Misalkan susunan duduk semula adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$. Selanjutnya kita bagi menjadi dua kelompok yaitu kelompok I = $1,2,3,4,5$ dan kelompok II = $6,7,8,9,10$. Banyaknya cara kelompok I duduk kembali pada kursinya ada 8 cara yaitu $12345, 21345, 12435, 21435, 12354, 21354, 13245, 13254$. Demikian pula banyaknya cara kelompok II duduk kembali pada kursi ada 8 cara (kedua kelompok pada dasarnya sama hanya beda nomor saja tetapi karakteristiknya sama). Jadi, jika kelompok I dan kelompok II saling lepas maka banyaknya cara kedua kelompok tersebut duduk kembali pada kursinya ada $8$ x $8=64$ cara.
Perhatikan jika kelompok I dan kelompok II tidak saling lepas. Dalam hal ini satu - satunya terjadi overlaping jika dan hanya jika siswa yang duduk pada posisi 5 dan 6 saling bergantian. Oleh karena itu diperoleh kelompok I yang baru yaitu $1,2,3,4,6$ dan kelompok II yang baru yaitu $5,7,8,9,10$. Selanjutnya mudah dilihat bahwa banyaknya cara kelompok I yang baru duduk kembali pada kursinya ada 5 cara yaitu $12346, 21346, 12436, 21436, 13246$. Demikian pula banyaknya cara kelompok II yang baru duduk kembali pada kursinya juga ada 5 cara. Sehingga jika kelompok I dan kelompok II tidak saling lepas maka banyaknya cara kedua kelompok tersebut duduk kembali pada kursinya ada $5$ x $5=25$ cara.
Jadi, total banyaknya cara semua siswa tersebut duduk kembali pada baris tadi ada sebanyak $64+25=89$ cara.

19. Bilangan asli terbesar $n\leq 123456$ sehingga terdapat bilangan asli $x$ dengan sifat jumlah semua digit dari $x^2$ sama dengan $n$ adalah ...







Jawaban : $123454$
Sebelumnya terima kasih buat Cahya yang telah memberi saya ide untuk menyelesaikan soal ini.
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan asli $N$ kita peroleh $S(N)\equiv N \quad \text{mod }9$, dimana $S(N)$ adalah jumlah semua digit dari $N$. Selain itu juga berlaku $N^2\equiv 0,1,4,7 \quad \text{mod }9$.
Berdasarkan dua fakta ini, kita peroleh
$$\begin{align*}
n&\equiv x^2 \quad\text{mod }9\\
&\equiv 0,1,4,7 \quad\text{mod }9
\end{align*}$$
Karena $123456\equiv 3 \quad\text{mod }9$, $123455\equiv 2 \quad\text{mod }9$ dan $123454\equiv 1 \quad\text{mod }9$ maka $n\leq 123454$.
Tetapi kita juga punya,
$$\begin{align*}
\left(\underbrace{9999999\cdots 9}_{\text{$9$ sebanyak $13716$}}8\right)^2&=\left(10^{13717}-2\right)^2\\
&=10^{27434}-4\cdot10^{13717}+4\\
&=\underbrace{9999999\cdots 9}_{\text{$9$ sebanyak $13716$}}6\underbrace{0000000\cdots0}_{\text{$0$ sebanyak $13716$}}4
\end{align*}$$
dan jumlah digit dari $\underbrace{9999999\cdots 9}_{\text{$9$ sebanyak $13716$}}6\underbrace{0000000\cdots0}_{\text{$0$ sebanyak $13717$}}4$ adalah $9\cdot 13716+6+4=123454$. Jadi, nilai $n$ terbesar adalah $n=123454$ dengan nilai $x$ yang bersesuaian adalah $x=\underbrace{9999999\cdots 9}_{\text{$9$ sebanyak $13716$}}8$

20. Misalkan $ABC$ suatu seitiga dan $P$ titik di dalam segitiga. Misalkan $D,E,F$ berturut - turut titik di sisi - sisi $BC,CA,AB$ sedemikian sehingga $PD$ tegak lurus $BC$, $PE$ tegak lurus $CA$, dan $PF$ tegak lurus $AB$. Jika segitiga $DEF$ sama sisi dan $\angle APB=70^\circ$, maka $\angle ACB = ...$







Jawaban : $10^\circ$
Perhatikan gambar berikut !

Pada $\triangle ABP$ berlaku
$$\begin{align*}
\angle FAP+\angle FBP&=180^\circ-\angle APB\\
&=180^\circ-70^\circ\\
&=110^\circ
\end{align*}$$
Perhatikan pula, $\angle AEP=\angle AFP=\angle BFP=\angle BDP=90^\circ$. Dengan demikian segiempat $AEPF$ dan segiempat $BDPF$ keduanya adalah segiempat talibusur. Sehingga diperoleh
$$\begin{equation*}
\angle DBP=\angle DFP \quad \text{ dan }\quad \angle EAP=\angle EFP
\end{equation*}$$
Ingat pula, $\angle DFP+\angle EFP=60^\circ$. Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{align*}
\angle ACB&=180^\circ-(\angle CAB+\angle CBA)\\
&=180^\circ-(\angle EAP+\angle FAP+\angle DBP+\angle FBP)\\
&=180^\circ-(\angle EFP+\angle DFP+110^\circ)\\
&=180^\circ-(60^\circ+110^\circ)\\
&=10^\circ
\end{align*}$$

Demikian Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Kedua. Sampai bertemu lagi di Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Ketiga





6 comments :

  1. Anonymous20 May, 2012

    asikkk,, thanks Pak Tutur moga makin famouss

    eheheh.
    makasih buanyakk Pak

    ReplyDelete
  2. yang nomor 19 itu di observasi kuadrat dari 99..99 , 99..98, 99..97 dst,
    mungkin kayak gitu,

    ReplyDelete
    Replies
    1. Mungkin sih, cuma kalo kayak gitu aku ndak sanggup. Bisa bantuin?

      Delete
    2. kalo 99.99 dengn 9 sbanyak n kali, kita kuadratkan, kan jadinya
      99..99^2 = 99..99800..001, ada n angka 9 dan 0,
      trus jumlahnya kan 9n+8+1 = 9(n+1)
      skrng cari dah 9(n+1) <= 123456
      jadi dapet n = 13716, maka jumlah semua digit dari 99.99 dngn 13716 angka 9 adalah 123453..(1)

      itu pas kita ambil 999..999
      skrng coba 999..998
      99..998 dngn n-1 angka 9 dikuadrat kan, jadi
      99..99600..004, dengan n-1 angka 9 dan 0, kemudian jumlah digit2 nya adalah
      9(n-1) + 10 <= 123456
      9(n-1) <= 123446
      n = 13717
      maka jumlah semua digit-digit dari 99.998 sbanyak 13716 digit angka 9, adalah 9.13716 + 10 = 123454

      dngn cara yg sama,
      kita coba cari 999...997, jumlah digit-digit kuadratnya adalah 123448, trjadi penurunan,,

      maka nilai tertingginya dicapai saat x = 999..9998 dengan 13716 angka 9, dan kita dapat n = 123454

      maaf kalo salah :p

      Delete
    3. Yup, makasih idenya. Jawaban sudah saya tulis untuk no.19 dengan tambahan sedikit, sehingga nilai maksimal $n$ adalah 123454 lebih valid.

      Delete
    4. mas tutur, ditunggu secepatnya untuk bagian 3, osp sudah dkat, rasanya kalo tdak tgl 5, tgl 6 bulan depan

      Delete