tko

tko

tko

tko

27 April 2012

Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Pertama

Ditulis Oleh pada 27 April 2012


Olimpiade Sains Provinsi (OSP) untuk bidang matematika akan dilaksanakan sekitar bulan Juni mendatang. Tentunya butuh persiapan yang lebih matang dan lebih serius jika dibandingkan dengan ketika menghadapi OSK. Di samping soalnya yang lebih sulit tentu saja kompetitor kita juga lebih mumpuni. Ingat, hasilnya akan di grade secara nasional. Bersaing dengan siswa - siswa seluruh Indonesia bukanlah hal yang mudah. Perlu kerja keras untuk bisa lolos ke OSN di Jakarta.

Untuk bahan tambahan materi dan latihan soal, saya berikan soal OSP Matematika tahun 2011 yang lalu. Saya sertakan pula pembahasan menurut pemahaman dan kemampuan saya sendiri. Sebenarnya saya juga agak ragu ketika mau memposting tulisan ini sebab menurut saya pembahasan OSP Matematika 2011 tentunya sudah banyak yang membuat sebelumnya. Akan tetapi karena ada permintaan dari salah seorang pengunjung blog ini yang meminta soal dan pembahasan OSP tahun 2011, maka saya beranikan untuk memposting pembahasan OSP tahun 2011 tersebut. Mohon maaf juga pembahasan yang saya berikan tidak langsung lengkap 25 nomor. Namun akan saya bagi menjadi tiga bagian. Untuk bagian pertama, saya posting 10 soal dari nomor 1 sampai nomor 10 dulu. Berikut kesepuluh soal tersebut :

1. Diberikan segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AB=AC$. Misalkan garis bagi sudut $ABC$ memotong $AC$ di titik $D$ sehingga $BC=BD+AD$. Besar sudut $CAB$ adalah ...






Jawaban : $100^\circ$
Perhatikan gambar di bawah ini!

Karena $AD$ garis bagi $\angle ABC$ diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\Leftrightarrow \frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}
\end{equation*}$$
Selain itu karena $BC=BD+AD$ dan $BD=BE$ maka $AD=CE$. Ingat juga bahwa $AB=AC$ sehingga diperoleh $AB\cdot CE=AC\cdot AD$ yang equivalen dengan
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{CE}
\end{equation*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}
\end{equation*}$$
dengan kata lain $\triangle CED$ sebangun dengan $\triangle ABC$. Jadi, $\triangle CED$ sama kaki dengan $CE=DE$. Karena $\angle CDE=\angle DCE=2\alpha$ maka $\angle CED=180^\circ-4\alpha$. Perhatikan pula pada $\triangle BDE$, besar $\angle BED=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$. Karena $\angle BED+\angle CED=180^\circ$ maka diperoleh
$$\begin{align*}
\frac{180^\circ-\alpha}{2}+180^\circ-4\alpha&=180^\circ\\
\frac{180^\circ-\alpha}{2}&=4\alpha\\
8\alpha &=180-\alpha\\
\alpha&=20^\circ
\end{align*}$$
Jadi, $\angle CAB=\angle CED=180^\circ-4\alpha=100^\circ$

2. Jika $n$ bilangan asli dan $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n}$ merupakan bilangan bulat, maka pembagi positif dari $n$ sebanyak ...






Jawaban : 8
Misalkan $N=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n}$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
N=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{n}=\frac{31}{30}-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{30}-\frac{1}{n}
\end{equation*}$$
karena $0<\dfrac{1}{n}\leq 1$ maka $-\frac{29}{30}\leq \frac{1}{30}-\frac{1}{n}<\frac{1}{30}$ sehingga agar $N$ bulat haruslah $\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{n}=0$. Dengan kata lain, $n=30=2\cdot3\cdot5$. Sehingga banyak pembagi positif dari $n$ adalah (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8.

3. Jika $a\geq b>1$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)$ adalah ...






Jawaban : 0
Dengan memanfaatkan sifat - sifat fungsi logaritma diperoleh,
$$\begin{align*}
^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)&=^a\log a - ^a\log b+^b\log b - ^b\log a\\
&=2-\left(^a\log b+^b\log a\right)\\
&=2-\left(^a\log b+\frac{1}{^a\log b}\right)
\end{align*}$$
karena $\forall x\in\mathbb{R}^+$ berlaku $x+\dfrac{1}{x}\geq 2$ maka berakibat
$$\begin{equation*}
^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)=2-\left(^a\log b+\frac{1}{^a\log b}\right)\leq 2-2=0
\end{equation*}$$
Jadi, nilai maksimum dari $^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)$ adalah 0 yaitu diperoleh saat $a=b$.

4. Diketahui segi empat $ABCD$. Semua titik $A,B,C$ dan $D$ akan diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sehingga setiap dua titik yang terletak dalam satu sisi empat nomornya berbeda. Banyaknya cara pemberian nomor dengan cara tersebut ada sebanyak ...






Jawaban : -
Saya masih belum paham dengan kalimat "setiap dua titik yang terletak dalam satu sisi empat nomornya berbeda".

5. Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x)=\sqrt{ax^2+x}$. Semua nilai $a$ yang mungkin sehingga domain dan daerah hasil $f$ sama adalah ...






Jawaban : $a=0$
Misalkan domain dari $f$ adalah $D_f$ dan daerah hasil dari $f$ adalah $R_f$. Kita tahu bahwa $R_f=\{x\in \mathbb{R}|x\geq 0\}$. Perhatikan bahwa $D_f=\{x\in\mathbb{R}|ax^2+x\geq 0\}$. Selanjutnya cek untuk beberapa kasus :
  • Jika $a>0$ diperoleh
    $$\begin{align*}
    ax^2+x\geq 0&\Leftrightarrow x(ax+1)\geq 0\\
    &\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{a}\quad \text{atau}\quad x\geq 0
    \end{align*}$$
    Untuk kasus ini, $D_f\neq R_f$ sebab terdapat $t<0$ dan $t\in D_f$ tetapi $t$ bukan anggota $R_f$.






  • Jika $a< 0$ diperoleh $$\begin{align*} ax^2+x\geq 0&\Leftrightarrow x(ax+1)\geq 0\\ &\Leftrightarrow 0\leq x\leq -\frac{1}{a} \end{align*}$$ Nilai maksimum dari $ax^2+x$ adalah saat $x=-\frac{1}{2a}$ sehingga nilai maksimum dari $f$ adalah $f(-\frac{1}{2a})=-\frac{1}{2a}$. Tetapi karena $-\frac{1}{2a}<-\frac{1}{a}$ berakibat $D_f\neq R_f$.

Jadi kasus yang mungkin tinggal $a=0$ yang berarti diperoleh $f(x)=\sqrt{x}$. Untuk kasus ini mudah dilihat bahwa $D_f=R_f$

6. Banyaknya kemungkinan bilangan asli berbeda $a,b,c$ dan $d$ yang kurang dari 10 dan memenuhi persamaan $a+b=c+d$ ada sebanyak ...

Jawaban : 272 Dalam soal ini saya menganggap susunan $1+4=2+3,1+4=3+2,4+1=2+3,4+1=3+2,$ $2+3=1+4,2+3=4+1,3+2=1+4,3+2=4+1$ sebagai 8 susunan yang berbeda. Misalkan $a+b=k$ dengan $a< b$ maka diperoleh $3\leq k\leq 17$. Kita cek semua kemungkinan untuk nilai $k$ (Nguli Mode ON).
  • $k=3$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,2)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
  • $k=4$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,3)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
  • $k=5$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,4),(2,3)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    2 \\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=8
    $
  • $k=6$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(2,4),(1,5)$.\\
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    2 \\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=8
    $
  • $k=7$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,6),(2,5),(3,4)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    3\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=24
    $
  • $k=8$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,7),(2,6),(3,5)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    3\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=24
    $
  • $k=9$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    4\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=48
    $
  • $k=10$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    4\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=48
    $
  • $k=11$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    4\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=48
    $
  • $k=12$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(3,9),(4,8),(5,7)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    3\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=24
    $
  • $k=13$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(4,9),(5,8),(6,7)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    3\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=24
    $
  • $k=14$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(5,9),(6,8)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    2\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=8
    $
  • $k=15$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(6,9),(7,8)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
    2\\
    2
    \end{pmatrix}\cdot 8=8
    $
  • $k=16$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(7,9)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
  • $k=17$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(8,9)$.
    Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)

Jadi, total ada 8 + 8 + 24 + 24 + 48 + 48 + 48 + 24 + 24 + 8 + 8 = 272 penyelesaian.

7. Jika kedua akar persamaan $x^2-2013x+k=0$ adalah bilangan prima, maka nilai $k$ yang mungkin adalah ...



Jawaban : 4022
Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah $a$ dan $b$ dan $a< b$. Kita peroleh $$\begin{equation*} a+b=2013\quad\text{dan}\quad ab=k \end{equation*}$$ karena $a+b$ ganjil maka salah satu dari $a$ atau $b$ adalah ganjil dan satunya genap. Tetapi karena $a,b$ prima berakibat $a=2$ sehingga $b=2011$. Oleh karena itu, $k=ab=2\cdot 2011=4022$.

8. Jika
$$\begin{equation*}
\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2011}}\right)\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2010}}\right)\cdots\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}
\end{equation*}$$
maka $\sin 2x$ adalah ...






Jawaban : $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Dari identitas
$$\begin{equation*}
\tan 2x= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\end{equation*}$$
diperoleh
$$\begin{equation*}
1-\tan^2 x= \frac{2\tan x}{\tan 2x}
\end{equation*}$$
sehingga
$$\begin{align*}
\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2011}}\right)\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2010}}\right)\cdots\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2^{2011}}}{\tan \frac{x}{2^{2010}}}\cdot\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2^{2010}}}{\tan \frac{x}{2^{2009}}}\cdot\cdots\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2}}{\tan x}&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\frac{2^{2011}\cdot\tan \frac{x}{2^{2011}}}{\tan x}&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\tan x&=\frac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align*}$$
oleh karena itu, $\sin x=\frac{1}{2}$ dan $\cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3}$. Sehingga $\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

9. Pada ruang Cartesius kita ingin bergerak dari titik $(2,0,11)$ ke titik $(20,1,1)$ selalu pada koordinat $(x,y,z)$ dengan paling sedikit dua dari $x,y$ dan $z$ adalah bilangan bulat, dan lintasan terpendek. Cara bergerak yang dimaksud sebanyak ...






Jawaban : -
Saya masih agak bingung dengan kalimat "paling sedikit dua dari $x,y$ dan $z$ adalah bilangan bulat" apakah itu berarti lintasan seperti $(2,0,\frac{1}{2})--> (3,0,\frac{1}{2})--> (4,0,\frac{1}{2})$ dan seterusnya diperbolehkan. Jika iya, makanya cara bergerak yang demikian jumlahnya ada tak hingga.
Sedangkan jika yang dimaksud soal, kita hanya boleh berbelok pada titik - titik dimana $(x,y,z)$ ketiganya bulat maka cara yang demikian ada sebanyak
$$\begin{equation*}
\frac{29!}{1!\cdot 18!\cdot 10!}
\end{equation*}$$


10. Misalkan $x,y$ dan $z$ adalah bilangan real positif dengan sifat $xyz=1$. Nilai terkecil dari
$$\begin{equation*}
(x+2y)(y+2z)(xz+1)
\end{equation*}$$
tercapai saat $x+y+z$ bernilai ...






Jawaban : $3\frac{1}{2}$
Dengan AM - GM diperoleh
$$\begin{align*}
x+2y&\geq 2\sqrt{2xy}\\
y+2z&\geq 2\sqrt{2yz}\\
xz+1&\geq 2\sqrt{xz}
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
(x+2y)(y+2z)(xz+1)\geq 16\sqrt{x^2y^2z^2}=16xyz=16
\end{equation*}$$
oleh karena itu nilai terkecil dari $(x+2y)(y+2z)(xz+1)$ adalah 16 yaitu saat $x=2,y=1$ dan $z=\frac{1}{2}$ sehingga diperoleh $x+y+z=3\frac{1}{2}$

Sekian dulu untuk bagian pertama,
and tetap belajar





20 comments :

  1. Wah, keren Pak!udah lama saya cari pembahasan osk 2011 tapi nggak ada. makasih banyak Pak.
    Oiya Pak, boleh saya minta email bapak untuk konsultasi olimpiade?
    email saya ini Pak : gaarakazekage14@ymail.com
    kirim email bapak ke email saya bisa kan pak?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Salam kenal Aisha. Terimakasih apresiasinya. Kalo mau tanya - tanya soal olim, boleh ko lewat blog ini juga. Ntar yang aku bisa, insyaallah aku jawab.

      Delete
  2. Makasih :)

    ReplyDelete
  3. trima kasih banyak pak..
    ^_^
    tidak sabar menunggu bagian II dan III

    ReplyDelete
    Replies
    1. Ok, ntar kalo udah ada kesempatan saya posting yang bagian II

      Delete
  4. Anonymous03 May, 2012

    Pak, posting yg part II n III dunk, udah endak sabar
    ehehehhe... >.<


    Makasih sebelumnya Pak.

    ReplyDelete
  5. Anonymous09 May, 2012

    makasih banget ya pak..

    ReplyDelete
  6. Anonymous10 May, 2012

    Maaf Pak Tutur, saya mau tanya bapak bisa kasih file soalnya aja dluan ndak??
    atau kasih tau web yg nyedia'in soalnya aj,
    soalnya mau dijadikan bahan latihan disekolah, ditambah lagi susah dicari sekarang soalnya lewat browsing.


    Trims. . ya Pak.
    Gbu

    ReplyDelete
    Replies
    1. Nanti kalo sudah selesai saya tulis, akan saya share di blog ini

      Delete
  7. Anonymous14 May, 2012

    pak, bagian II sama III nya kok belum ada ?

    ReplyDelete
  8. Anonymous17 May, 2012

    pak tutur tolong dong posting pembahasan osn sma maematika 2011 tk nasional. trus jg pak tutur posting emailnya pak tutur biar bisa barter. saya jga punya banyak soal olimpiade. email sya rafiq_metal@yahoo.co.id

    ReplyDelete
    Replies
    1. Untuk pembahasan osn tingkat nasional akan saya usahakan yang saya bisa. Tapi itu semua juga terkait waktu buat nulisnya. Untuk saat ini saya coba selesaikan dulu pembahasan yang tingkat provinsi terlebih dahulu.
      Untuk berhubungan dengan saya bisa melalui halaman contact yang sudah saya sediakan. Sedangkan untuk email saya : tutur.w87@gmail.com

      Delete
  9. pak, saya mau minta soal osp 2011 bisa ga? soalnya saya cari kemana-mana belum dapet juga. kalau cuma soalnya tanpa pembahasan juga gapapa ko pak, nanti soalnya mau dipake buat bahan belajar.. kirim ke email saya --> habibah_ulfah@yahoo.com.
    terima kasih pak sebelumnya....

    ReplyDelete
    Replies
    1. ok, kalo sudah selesai saya ketik ulang nanti saya share di blog ini

      Delete
  10. pak, saya juga ya soal osp sma 2011, bisa dikirim ke email
    --> cahya.viiib.7@gmail.com

    omong2 di pembahasan no 8, kenapa tan x/(2^2011) bisa habis sama tan^2(x/2) ???

    ReplyDelete
    Replies
    1. itu yang ruas kanan seharusnya$2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}$. Maaf pas nulis salah ketik. Terimakasih koreksinya

      Delete
    2. oh, fasilitas komentarnya udh bisa pake latex ya?

      Delete
    3. Udah bisa, cuma karena ukuran font buat comentar aku set kecil, jadinya hasil dari $\LaTeX$ tidak bisa sejelas kayak di postingan

      Delete
    4. cara makai nya sama kan? yg isi $ (dolar) iya?

      Delete
  11. Caranya sama persis seperti pas bikin document dengan $\LaTeX$. Nulis equationnya diapit tanda dolar($)

    ReplyDelete