Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA tahun 2011 Bagian Pertama

Olimpiade Sains Provinsi (OSP) untuk bidang matematika akan dilaksanakan sekitar bulan Juni mendatang. Tentunya butuh persiapan yang lebih matang dan lebih serius jika dibandingkan dengan ketika menghadapi OSK. Di samping soalnya yang lebih sulit tentu saja kompetitor kita juga lebih mumpuni. Ingat, hasilnya akan di grade secara nasional. Bersaing dengan siswa - siswa seluruh Indonesia bukanlah hal yang mudah. Perlu kerja keras untuk bisa lolos ke OSN di Jakarta.

Untuk bahan tambahan materi dan latihan soal, saya berikan soal OSP Matematika tahun 2011 yang lalu. Saya sertakan pula pembahasan menurut pemahaman dan kemampuan saya sendiri. Sebenarnya saya juga agak ragu ketika mau memposting tulisan ini sebab menurut saya pembahasan OSP Matematika 2011 tentunya sudah banyak yang membuat sebelumnya. Akan tetapi karena ada permintaan dari salah seorang pengunjung blog ini yang meminta soal dan pembahasan OSP tahun 2011, maka saya beranikan untuk memposting pembahasan OSP tahun 2011 tersebut. Mohon maaf juga pembahasan yang saya berikan tidak langsung lengkap 25 nomor. Namun akan saya bagi menjadi tiga bagian. Untuk bagian pertama, saya posting 10 soal dari nomor 1 sampai nomor 10 dulu. Berikut kesepuluh soal tersebut :

1. Diberikan segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AB=AC$. Misalkan garis bagi sudut $ABC$ memotong $AC$ di titik $D$ sehingga $BC=BD+AD$. Besar sudut $CAB$ adalah ...

Jawaban : $100^\circ$
Perhatikan gambar di bawah ini!

Karena $AD$ garis bagi $\angle ABC$ diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\Leftrightarrow \frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}
\end{equation*}$$
Selain itu karena $BC=BD+AD$ dan $BD=BE$ maka $AD=CE$. Ingat juga bahwa $AB=AC$ sehingga diperoleh $AB\cdot CE=AC\cdot AD$ yang equivalen dengan
$$\begin{equation*}
\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{CE}
\end{equation*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}
\end{equation*}$$
dengan kata lain $\triangle CED$ sebangun dengan $\triangle ABC$. Jadi, $\triangle CED$ sama kaki dengan $CE=DE$. Karena $\angle CDE=\angle DCE=2\alpha$ maka $\angle CED=180^\circ-4\alpha$. Perhatikan pula pada $\triangle BDE$, besar $\angle BED=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$. Karena $\angle BED+\angle CED=180^\circ$ maka diperoleh
$$\begin{align*}
\frac{180^\circ-\alpha}{2}+180^\circ-4\alpha&=180^\circ\\
\frac{180^\circ-\alpha}{2}&=4\alpha\\
8\alpha &=180-\alpha\\
\alpha&=20^\circ
\end{align*}$$
Jadi, $\angle CAB=\angle CED=180^\circ-4\alpha=100^\circ$

2. Jika $n$ bilangan asli dan $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n}$ merupakan bilangan bulat, maka pembagi positif dari $n$ sebanyak ...

Jawaban : 8
Misalkan $N=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{n}$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
N=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{n}=\frac{31}{30}-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{30}-\frac{1}{n}
\end{equation*}$$
karena $0<\dfrac{1}{n}\leq 1$ maka $-\frac{29}{30}\leq \frac{1}{30}-\frac{1}{n}<\frac{1}{30}$ sehingga agar $N$ bulat haruslah $\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{n}=0$. Dengan kata lain, $n=30=2\cdot3\cdot5$. Sehingga banyak pembagi positif dari $n$ adalah (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8.

3. Jika $a\geq b>1$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)$ adalah ...

Jawaban : 0
Dengan memanfaatkan sifat - sifat fungsi logaritma diperoleh,
$$\begin{align*}
^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)&=^a\log a - ^a\log b+^b\log b - ^b\log a\\
&=2-\left(^a\log b+^b\log a\right)\\
&=2-\left(^a\log b+\frac{1}{^a\log b}\right)
\end{align*}$$
karena $\forall x\in\mathbb{R}^+$ berlaku $x+\dfrac{1}{x}\geq 2$ maka berakibat
$$\begin{equation*}
^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)=2-\left(^a\log b+\frac{1}{^a\log b}\right)\leq 2-2=0
\end{equation*}$$
Jadi, nilai maksimum dari $^a\log \left(\frac{a}{b}\right)+^b\log \left(\frac{b}{a}\right)$ adalah 0 yaitu diperoleh saat $a=b$.

4. Diketahui segi empat $ABCD$. Semua titik $A,B,C$ dan $D$ akan diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sehingga setiap dua titik yang terletak dalam satu sisi empat nomornya berbeda. Banyaknya cara pemberian nomor dengan cara tersebut ada sebanyak ...

Jawaban : -
Saya masih belum paham dengan kalimat "setiap dua titik yang terletak dalam satu sisi empat nomornya berbeda".

5. Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x)=\sqrt{ax^2+x}$. Semua nilai $a$ yang mungkin sehingga domain dan daerah hasil $f$ sama adalah ...

Jawaban : $a=0$
Misalkan domain dari $f$ adalah $D_f$ dan daerah hasil dari $f$ adalah $R_f$. Kita tahu bahwa $R_f=\{x\in \mathbb{R}|x\geq 0\}$. Perhatikan bahwa $D_f=\{x\in\mathbb{R}|ax^2+x\geq 0\}$. Selanjutnya cek untuk beberapa kasus :

• Jika $a>0$ diperoleh
  $$\begin{align*}
  ax^2+x\geq 0&\Leftrightarrow x(ax+1)\geq 0\\
  &\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{a}\quad \text{atau}\quad x\geq 0
  \end{align*}$$
  Untuk kasus ini, $D_f\neq R_f$ sebab terdapat $t<0$ dan $t\in D_f$ tetapi $t$ bukan anggota $R_f$.







• Jika $a< 0$ diperoleh $$\begin{align*} ax^2+x\geq 0&\Leftrightarrow x(ax+1)\geq 0\\ &\Leftrightarrow 0\leq x\leq -\frac{1}{a} \end{align*}$$ Nilai maksimum dari $ax^2+x$ adalah saat $x=-\frac{1}{2a}$ sehingga nilai maksimum dari $f$ adalah $f(-\frac{1}{2a})=-\frac{1}{2a}$. Tetapi karena $-\frac{1}{2a}<-\frac{1}{a}$ berakibat $D_f\neq R_f$.

Jadi kasus yang mungkin tinggal $a=0$ yang berarti diperoleh $f(x)=\sqrt{x}$. Untuk kasus ini mudah dilihat bahwa $D_f=R_f$

6. Banyaknya kemungkinan bilangan asli berbeda $a,b,c$ dan $d$ yang kurang dari 10 dan memenuhi persamaan $a+b=c+d$ ada sebanyak ...

Jawaban : 272 Dalam soal ini saya menganggap susunan $1+4=2+3,1+4=3+2,4+1=2+3,4+1=3+2,$ $2+3=1+4,2+3=4+1,3+2=1+4,3+2=4+1$ sebagai 8 susunan yang berbeda. Misalkan $a+b=k$ dengan $a< b$ maka diperoleh $3\leq k\leq 17$. Kita cek semua kemungkinan untuk nilai $k$ (Nguli Mode ON).

• $k=3$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,2)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
• $k=4$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,3)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
• $k=5$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,4),(2,3)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  2 \\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=8
  $
• $k=6$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(2,4),(1,5)$.\\
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  2 \\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=8
  $
• $k=7$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,6),(2,5),(3,4)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  3\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=24
  $
• $k=8$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,7),(2,6),(3,5)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  3\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=24
  $
• $k=9$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  4\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=48
  $
• $k=10$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  4\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=48
  $
• $k=11$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  4\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=48
  $
• $k=12$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(3,9),(4,8),(5,7)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  3\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=24
  $
• $k=13$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(4,9),(5,8),(6,7)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  3\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=24
  $
• $k=14$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(5,9),(6,8)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  2\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=8
  $
• $k=15$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(6,9),(7,8)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu $\begin{pmatrix}
  2\\
  2
  \end{pmatrix}\cdot 8=8
  $
• $k=16$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(7,9)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)
• $k=17$, diperoleh solusi $(a,b)$ yaitu $(8,9)$.
  Banyaknya penyelesaian dari $a+b=c+d$ yaitu 0 (sebab keempat bilangan harus berbeda)

Jadi, total ada 8 + 8 + 24 + 24 + 48 + 48 + 48 + 24 + 24 + 8 + 8 = 272 penyelesaian.

7. Jika kedua akar persamaan $x^2-2013x+k=0$ adalah bilangan prima, maka nilai $k$ yang mungkin adalah ...

Jawaban : 4022
Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah $a$ dan $b$ dan $a< b$. Kita peroleh $$\begin{equation*} a+b=2013\quad\text{dan}\quad ab=k \end{equation*}$$ karena $a+b$ ganjil maka salah satu dari $a$ atau $b$ adalah ganjil dan satunya genap. Tetapi karena $a,b$ prima berakibat $a=2$ sehingga $b=2011$. Oleh karena itu, $k=ab=2\cdot 2011=4022$.

8. Jika
$$\begin{equation*}
\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2011}}\right)\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2010}}\right)\cdots\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}
\end{equation*}$$
maka $\sin 2x$ adalah ...

Jawaban : $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Dari identitas
$$\begin{equation*}
\tan 2x= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\end{equation*}$$
diperoleh
$$\begin{equation*}
1-\tan^2 x= \frac{2\tan x}{\tan 2x}
\end{equation*}$$
sehingga
$$\begin{align*}
\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2011}}\right)\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{2010}}\right)\cdots\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2^{2011}}}{\tan \frac{x}{2^{2010}}}\cdot\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2^{2010}}}{\tan \frac{x}{2^{2009}}}\cdot\cdots\frac{2\cdot\tan \frac{x}{2}}{\tan x}&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\frac{2^{2011}\cdot\tan \frac{x}{2^{2011}}}{\tan x}&=2^{2011}\sqrt{3}\tan \frac{x}{2^{2011}}\\
\tan x&=\frac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align*}$$
oleh karena itu, $\sin x=\frac{1}{2}$ dan $\cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3}$. Sehingga $\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

9. Pada ruang Cartesius kita ingin bergerak dari titik $(2,0,11)$ ke titik $(20,1,1)$ selalu pada koordinat $(x,y,z)$ dengan paling sedikit dua dari $x,y$ dan $z$ adalah bilangan bulat, dan lintasan terpendek. Cara bergerak yang dimaksud sebanyak ...

Jawaban : -
Saya masih agak bingung dengan kalimat "paling sedikit dua dari $x,y$ dan $z$ adalah bilangan bulat" apakah itu berarti lintasan seperti $(2,0,\frac{1}{2})--> (3,0,\frac{1}{2})--> (4,0,\frac{1}{2})$ dan seterusnya diperbolehkan. Jika iya, makanya cara bergerak yang demikian jumlahnya ada tak hingga.
Sedangkan jika yang dimaksud soal, kita hanya boleh berbelok pada titik - titik dimana $(x,y,z)$ ketiganya bulat maka cara yang demikian ada sebanyak
$$\begin{equation*}
\frac{29!}{1!\cdot 18!\cdot 10!}
\end{equation*}$$

10. Misalkan $x,y$ dan $z$ adalah bilangan real positif dengan sifat $xyz=1$. Nilai terkecil dari
$$\begin{equation*}
(x+2y)(y+2z)(xz+1)
\end{equation*}$$
tercapai saat $x+y+z$ bernilai ...

Jawaban : $3\frac{1}{2}$
Dengan AM - GM diperoleh
$$\begin{align*}
x+2y&\geq 2\sqrt{2xy}\\
y+2z&\geq 2\sqrt{2yz}\\
xz+1&\geq 2\sqrt{xz}
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
(x+2y)(y+2z)(xz+1)\geq 16\sqrt{x^2y^2z^2}=16xyz=16
\end{equation*}$$
oleh karena itu nilai terkecil dari $(x+2y)(y+2z)(xz+1)$ adalah 16 yaitu saat $x=2,y=1$ dan $z=\frac{1}{2}$ sehingga diperoleh $x+y+z=3\frac{1}{2}$

Sekian dulu untuk bagian pertama,
and tetap belajar