tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

01 April 2012

Soal OSK Matematika SMA Tahun 2009

Ditulis Oleh pada 01 April 2012


Kalau tidak salah ini soal OSK Matematika SMA tahun 2009. Soal ini kembali ditanyakan oleh Putra Ranchhodhas. Berikut soalnya :

Jika diketahui $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4$, tentukan nilai dari $f(2009)$

Solusi

Substitusikan nilai $x=2009$ dan $x=-2008$ sehingga diperoleh
$$\begin{align*}
2009^2f(2009)+f(-2008)&=2\cdot 2009-2009^4\\
2008^2f(-2008)+f(2009)&=-2\cdot 2008-2008^4
\end{align*}$$
Jika $f(2009)$ dan $f(-2008)$ keduanya dipandang sebagai variable yang mau dicari, maka untuk menghitung nilai dari $f(2009)$ kita bisa menggunakan teknik eliminasi yang sudah dipelajari sejak SMP. Sehingga diperoleh
$$\begin{align*}
f(2009)\cdot(2008^2\cdot 2009^2-1)=&2008^2(2\cdot2009-2009^4)+2\cdot 2008\\
&+2008^4
\end{align*}$$
Agar lebih simple misalin saja $2009=a$ sehingga $2008=a-1$. Oleh karena itu, didapat
$$\begin{align*}
f(a)\cdot(a^2(a-1)^2-1)&=(a-1)^2(2a-a^4)+2(a-1)+(a-1)^4\\
&=(a-1)\left((a-1)(2a-a^4)+2+(a-1)^3\right)\\
&=(a-1)\left(-a^5+a^4+a^3-a^2+a+1\right)\\
&=(a-1)(-a^3+2a+1)(a^2-a+1)\\
&=(a-1)(a+1)(-a^2+a+1)(a^2-a+1)
\end{align*}$$
Karena $a^2(a-1)^2-1=(a^2-a)^2-1=(a^2-a+1)(a^2-a-1)$, maka diperoleh $f(a)=1-a^2$
Jadi, nilai $f(2009)=1-2009^2$.





0 comments :

Post a Comment