tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

09 April 2012

Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 Bagian Pertama

Ditulis Oleh pada 09 April 2012


Olimpiade Sains Kabupaten alias OSK sudah seminggu berlalu. Beberapa daerah bahkan sudah mengumumkan hasilnya dan siapa saja yang akan lolos mewakili kabupaten/kotanya ke OSP. Oleh karena itu, rasanya sudah etis dan bolehlah kita membahas soal - soal OSK tersebut.

Untuk kesempatan kali ini saya berikan pembahasan nomor 1 sampai 10 dulu. Untuk yang nomor 11 -- 20, insyaALLAH segera menyusul. Bagi rekan - rekan yang memiliki ide penyelesaian lain jika berkenan silakan share di blog ini. Begitu juga bila ada pertanyaan atau koreksi silakan masukkan saja memalui kolom komentar. Berikut soal - soalnya :

1. Banyaknya bilangan bulat $n$ yang memenuhi
$$\begin{equation*}
(n-1)(n-3)(n-5)…(n-2013)=n(n+2)(n+4)…(n+2012)
\end{equation*}$$
adalah ...





Jawaban : 0 (tidak ada)
Jika $n$ genap maka ruas kanan genap tetapi ruas kiri ganjil. Sedangkan jika $n$ ganjil maka ruas kanan ganjil tetapi ruas kiri genap. Jadi, tidak ada nilai $n$ yang memenuhi.

2. Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah ...




Jawaban : 1
Misal kedua bilangan tersebut adalah $a$ dan $b$ maka $a^2-b^2=2012\Leftrightarrow (a+b)(a-b)=2012$. Oleh karena itu, $(a+b)$ dan $(a-b)$ adalah faktor positif dari 2012. Karena faktor positif dari 2012 adalah 1, 2, 4, 503, 1006 dan 2012. Selain itu, karena $(a+b)$ dan $(a-b)$ paritasnya sama maka nilai yang mungkin adalah $a+b=1006$ dan $a-b=2$. Sehingga diperoleh, $a=504$ dan $b=502$.

3. Bilangan terbesar $x$ kurang dari 1000 sehingga terdapat tepat dua bilangan asli $n$ sehingga $\dfrac{n^2+x}{n+1}$ merupakan bilangan asli adalah ...





Jawaban : 960
Perhatikan,
$$\begin{equation*}
\frac{n^2+x}{n+1}=n-1+\frac{x+1}{n+1}
\end{equation*}$$
maka agar $\dfrac{n^2+x}{n+1}$ bulat, haruslah $n+1$ faktor dari $x+1$. Oleh karena itu, supaya hanya ada tepat dua nilai $n$ maka $x+1$ harus memiliki tepat 3 faktor. Dengan kata lain $x+1$ adalah kuadrat suatu bilangan prima. Jadi, diperoleh $x+1=31^2=961$ sehingga $x=960$.

4. Diketahui suatu kelas terdiri dari 15 siswa. Semua siswa tersebut akan dikelompokkan menjadi 4 kelompok yang terdiri dari 4, 4, 4 dan 3 siswa. Ada berapa cara pengelompokan tersebut?





Jawaban : $\dfrac{\begin{pmatrix}
15 \\
4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
11 \\
4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
7 \\
4
\end{pmatrix}}{3!}
$

Misal kelompok yang terbentuk adalah A, B, C dan D dengan A, B dan C terdiri dari 4 anggota dan D terdiri dari 3 anggota. Maka :
Banyaknya cara menyusun A ada $\begin{pmatrix}
15 \\
4
\end{pmatrix}$
Banyaknya cara menyusun B ada $\begin{pmatrix}
11 \\
4
\end{pmatrix}$
Banyaknya cara menyusun C ada $\begin{pmatrix}
7 \\
4
\end{pmatrix}$
Untuk kelompok D tinggal sisanya saja, jadi tidak perlu repot menghitung. Tetapi yang perlu diingat adalah dengan cara ini setiap kasus dihitung sebanyak 3!= 6 kali. Jadi, jawabannya adalah $\dfrac{\begin{pmatrix}
15 \\
4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
11 \\
4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
7 \\
4
\end{pmatrix}}{3!}$

5. Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $AB$ sebagi sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 624 dan 6864. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah ...





Jawaban : 290
Dari keterangan soal diperoleh,
$$\begin{equation*}
a+b+c=624\Leftrightarrow a+b=624-c
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{equation*}
\frac{ab}{2}=6864
\end{equation*}$$
Dengan rumus phytagoras diperoleh
$$\begin{align*}
c^2&=a^2+b^2\\
&=(a+b)^2-2ab\\
&=(624-c)^2-4\cdot 6864\\
&=c^2-2\cdot624c+624^2-4\cdot 6864\\
\end{align*}$$
maka diperoleh $c=290$.

6. Banyaknya tripel bilangan bulat $(x,y,z)$ yang memenuhi
$$\begin{equation*}
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=x^3+y^3+z^3
\end{equation*}$$
adalah ...






Jawaban : tak hingga
Untuk soal ini, saya baru bisa untuk kasus $x,y,z$ bilangan bulat nonnegatif.
Jelas bahwa $x=y=z=0$ adalah penyelesaian dari persamaan di atas. Oleh karena itu, misalkan salah satu dari $x,y,z$ tidak sama dengan 0 maka diperoleh $x+y+z\geq 1$. Selanjutnya dari identitas $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ diperoleh,
$$\begin{align*}
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx&=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}\\
&\leq x^3+y^3+z^3-3xyz\\
&\leq x^3+y^3+z^3
\end{align*}$$
Oleh karena itu, agar kesamaan terjadi haruslah $x+y+z=1$. Tripel $(x,y,z)$ yang memenuhi adalah $(1,0,0),(0,1,0)$ dan $(0,0,1)$. Mudah dicek bahwa ketiga penyelesaian ini memenuhi kesamaan pada soal. Jadi, untuk $x,y,z$ bilangan bulat nonnegatif didapat 4 penyelesaian yang memenuhi.

[EDIT : 11 April 2012]

Setelah beberapa hari stuck dengan solusi di atas, saya iseng - iseng mencoba nilai $z=0$, maka soal akan equivalent dengan
$$\begin{equation*}
x^2+y^2-xy=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
\end{equation*}$$
karena $x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}(x^2+y^2+(x-y)^2)$ maka jika $x^2-xy+y^2=0$ berakibat $x=y=0$ sehingga diperoleh solusi $(0,0,0)$. Solusi ini sudah saya temukan sebelumnya, jadi tidak terlalu penting lagi.
Kasus lain, jika $x^2-xy+y^2\neq 0$ maka soal setara dengan
$$\begin{equation*}
x+y=1
\end{equation*}$$
Sehingga triple $(k,1-k,0)$ dengan $k\in \mathbb{Z}$ dan semua permutasinya adalah solusi dari persamaan pada soal.
Karena $k$ banyaknya takhingga, maka solusi persamaan $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=x^3+y^3+z^3$ juga takhingga.

7. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter $AB=30$. Melalui $A$ dan $B$ berturut-turut ditarik tali busur $AD$ dan $BE$ berpotongan di titik $C$. Jika $AC=3AD$ dan $BC=4BE$, maka luas segitiga $ABC$ adalah ...





Jawaban : 540

Perlu diperhatikan bahwa $\angle ADB=\angle CDB=\angle AEB=\angle AEC=90^\circ$. Misal, $AD=x$ dan $BE=y$ maka $AC=3x, CD=2x, BC=4y$ dan $CE=3y$. Dengan teorema Phytagoras pada segitiga $ABD$ dan segitiga $BCD$ diperoleh
$$\begin{align*}
30^2-x^2=(4y)^2-(2x)^2&\Leftrightarrow 900-x^2=16y^2-4x^2\\
&\Leftrightarrow 900=16y^2-3x^2
\end{align*}$$
Demikian pula dengan teorema Phytagoras pada segitiga $ABE$ dan segitiga $ACE$ diperoleh
$$\begin{align*}
30^2-y^2=(3x)^2-(3y)^2&\Leftrightarrow 900-y^2=9x^2-9y^2\\
&\Leftrightarrow 900=9x^2-8y^2
\end{align*}$$
dengan menggabungkan kedua persamaan di atas didapat,
$$\begin{equation*}
16y^2-3x^2=9x^2-8y^2\Leftrightarrow24y^2=12x^2\Leftrightarrow x^2=2y^2
\end{equation*}$$
sehingga kita peroleh
$$\begin{align*}
900=16y^2-3x^2=16y^2-6y^2=10y^2\Leftrightarrow y=\sqrt{90}
\end{align*}$$
Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
AE^2=900-y^2=900-90=810\Leftrightarrow AE=\sqrt{810}
\end{align*}$$
Jadi,
$$\begin{align*}
\text{Luas segitiga }ABC&=\frac{1}{2}BC\cdot AE\\
&=\frac{1}{2}\cdot 4y\cdot\sqrt{810}\\
&=2\cdot \sqrt{90}\sqrt{810}\\
&=2\cdot 3\sqrt{10}\cdot 9\sqrt{10}=540
\end{align*}$$

8. Misalkan $a,b,c,d$, dan $e$ adalah bilangan-bilangan bulat sehingga $2^a 3^b 4^c 5^d 6^e$ juga merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai mutlak dari $a,b,c,d$ dan $e$ tidak lebih dari 2012 maka nilai terkecil yang mungkin dari $a+b+c+d+e$ adalah ...





Jawaban : -2012
Perhatikan,
$$\begin{equation*}
2^a 3^b 4^c 5^d 6^e=2^a 3^b 2^{2c} 5^d (2\cdot3)^e=2^{a+2c+e}3^{b+e}5^d
\end{equation*}$$
Agar $a+b+c+d+e$ minimal, maka haruslah $a+2c+e=0,b+e=0$ dan $d=0$. Dari $a+2c+e=0$ dan $b+e=0$ diperoleh persamaan $b=a+2c$. Karena nilai minimum $b$ yang mungkin adalah $-2012$ maka agar $a+b+c+d+e$ minimum pilih $a=-2012$ dan $c=0$. Sehingga $a+b+c+d+e=a=-2012$.

9. Jika $(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})^2=n+r$ dengan $n$ merupakan bilangan asli dan $0\leq r< 1$, maka $r = ...$





Jawaban : $(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})^2-8045$
$$\begin{align*}
(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})^2=2012+2011+2\sqrt{2012\cdot2011}
\end{align*}$$
Perhatikan bahwa $2011<\sqrt{2012\cdot2011}<2012$ sehingga $\sqrt{2012\cdot2011}=2011+k$. Akan ditunjukkan bahwa $k<\frac{1}{2}$. Andaikan $k\geq \frac{1}{2}$ maka berakibat $$\begin{align*} 2012\cdot2011&=(2011+k)^2\\ &\geq(2011+\frac{1}{2})^2\\ &=2011^2+2011+\frac{1}{4}\\ &>2011\cdot2012
\end{align*}$$
yang jelas salah. Oleh karena itu, terbukti $k<\frac{1}{2}$ sehingga $0\leq 2k<1$. $$\begin{align*} (\sqrt{2012}+\sqrt{2011})^2&=2012+2011+2\sqrt{2012\cdot2011}\\ &=4023+4022+2k\\ &=8045+r \end{align*}$$ sehingga $r=(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})^2-8045$



10. Tentukan semua nilai $b$ sehingga untuk semua $x$ paling tidak salah satu dari $f(x)=x^2+2012x+b$ atau $g(x)=x^2-2012x+b$ positif.





Jawaban : $b>0$
Jumlahkan kedua fungsi, diperoleh
$$\begin{equation*}
f(x)+g(x)=2x^2+2b
\end{equation*}$$
sehingga jika $b >0$ untuk sebarang nilai $x$, $f(x)+g(x)$ selalu bernilai positif. Ini berarti paling tidak salah satu dari $f(x)$ atau $g(x)$ bernilai positif. Selanjutnya tinggal dibuktikan, untuk $b\leq 0$ terdapat $x=t$ sehingga $f(t)\leq 0$ dan $g(t)\leq 0$. Untuk itu pilih $t=0$ sehingga
$$\begin{equation*}
f(t)=f(0)=b\leq 0\text{ dan }g(t)=g(0)=b\leq 0
\end{equation*}$$
Jadi, terbukti nilai $b$ yang memenuhi adalah $b>0$.

Sekian dulu, sudah capek.





27 comments :

  1. Wah mantep mas tutur pembahasannya, tapi saya masih agak bingung dengan nomer 8. Agar a+b+c+d+e minimal, maka haruslah a+2c+e=0,b+e=0 dan d=0.
    oya, itu spoilerya pake plugin atau gimana mas? saya kalo blogspot kurang begitu paham, tapi persamaan matematikanya bagus, ada pilihannya.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Karena jika $a+2c+e, b+e$ dan $d$ bernilai negatif nantinya jadinya $2^{a+2c+e}\cdot3^{b+e}5^d$ tidak bulat mas, makanya menurut saya nilai minimalnya adalah $a+2c+e=0, b+e=0$ dan $d=0$.
      Kalo spoilernya buat sendiri mas, pake sedikit pengetahuan saya tentang CSS.

      Delete
  2. mantaff.. tapi kok soalnya ada yg beda ya sama osk cirebon mas

    ReplyDelete
    Replies
    1. soal OSK klo ndak salah ada 3 tipe, yang ini tipe 1. Mungkin soal ditempatmu yang tipe 2 atau 3.

      Aku kemarin dapet soal OSK yang di Medan, ada beberapa yang beda juga.

      Delete
    2. kalo setauku mang tiap prov beda. da sumbangan soal dr beberapa pihak. oy, aa' krg mkin mantap. lanjutkan!!!!!!

      Delete
  3. Mega Ningrum
    Maaf Pak, untuk soal no 10 kalau diambil b = 1 maka baik f(x) maupun g(x) memiliki D > 0 artinya kedua fungsi memiliki dua nilai x yang membuat f(x) dan g(x) nol sehingga ada x yang menyebabkan f(x) dan g(x) bernilai negatif. Mudah-mudahan tidak keliru

    ReplyDelete
    Replies
    1. Perlu diperhatikan bahwa soalnya bilang "paling tidak SALAH SATU dari $f$ atau $g$ " bernilai positif.
      Benar jika $D>0$ maka ada nilai $x$ yang membuat $f$ dan $g$ bernilai negatif. tetapi ini tidak masalah selama kedua-duanya tidak negatif. Misalnya jika $b=1$ maka
      $f(x)=x^2+2012x+1$ dan $g(x)=x^2-2012x+1$
      untuk $x=1$ maka $f(1)=2014$ dan $g(1)=-2010$ Jadi meskipun $g(1)$ negatif bukan masalah sebab $f(1)$ masih positif.
      Seperti penjelasanku di atas, jika $b=1$ maka
      $f(x)+g(x)=2x^2+2$ yang jelas bernilai positif untuk setiap $x$ maka salah satu dari $f$ atau $g$ pasti ada yang positif.

      Delete
  4. mas soal dan pembahasan OSP dan OSN 2011 da gak mas?

    ReplyDelete
  5. Aku usahakan lain kesempatan saya posting. Tentunya yang saya bisa ya. (soalnya susah - susah)

    ReplyDelete
  6. Anonymous04 May, 2012

    Pak, maaf mau bertanya,, Pak apakah ada lomba PASIAD tingkat SMA ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Setahu saya tidak ada (maksudnya saya belum pernah mendengar) lomba PASIAD yang tingkat SMA.
      Saya pikir juga lomba PASIAD adalah salah satu cara lembaga tersebut menjaring anak2 "hebat" yang mungkin bisa direkrut di sekolahnya. Dalam hal ini tentunya adalah anak SD dan SMP (but this is just my opinion lho)

      Delete
  7. Anonymous29 July, 2012

    yang soal no.1 itu< maksud pembahasannya gimana yaa? saya tidak mengerti

    ReplyDelete
    Replies
    1. ya kalo genap ga mungkin dan ganjil tidak mungkin ya brarti tidak ada kan?

      Delete
  8. kak, nomor 6 kayaknya jawabannya bukan tak hingga,
    katanya kalo himpuunannya gini (k, k-1, 0 )
    sedangkan jika dimasukkan (4,3,0)
    X^2 + Y^2 - XY = X^3 + Y^3
    16+9-12=27+64
    hasilnya jelas berbeda. mohon dikoreksi kk

    ReplyDelete
  9. ini nomor 4 saya cari" sama semua pembahasannya gitu doank... itu yang bermasalah "dengan cara ini setiap kasus dihitung sebayak 6 kali...

    kok bisa 6 kali yah?? itu saya bingung... bisa bantu??

    ReplyDelete
    Replies
    1. Misalkan groupnya supaya mudah saya beri inisial $A,B,C,D$ dan 15 siswanya saya wakili dengan angka $1,2,3,4,....,14,15$. Misal kita punya kelompok seperti ini :

      $A=1,2,3,4$
      $B=5,6,7,8$
      $C=9,10,11,12$
      $D=13,14,15$

      dengan perhitungan seperti pada pembahasan, jika tidak dibagi dengan $3!=6$ maka kelompok seperti di bawah ini :

      $B=1,2,3,4$
      $A=5,6,7,8$
      $D=9,10,11,12$
      $C=13,14,15$
      dihitung berbeda. Padahal pada kenyataannya kan sama, toh yan terbentuk kelompoknya ya cuma itu. Dan yang semacam ini $3!$.

      Begitu penjelasan singkatnya

      Delete
  10. ditunggu kak update soal OSK 2013 :D

    ReplyDelete
  11. Kak, saya mau tanya yang nomor 2, yang dimaksut dengan "paritasnya sama" itu apa ya? Lalu kenapa yg diambil 1006 dan 2? mohon penjelasannya ya kakkk. Trims

    ReplyDelete
    Replies
    1. Paritas itu gampangnya "genap atau ganjilnya suatu bilangan". Misal kalo $1$ maka pasangan faktornya adalah $2012$, knapa tidak diambil? Karena keduanya berbeda paritas, satu genap dan satunya lagi ganjil

      Delete
  12. 10 guru akan ditugaskan mengajar di 3 sekolah yakni sekola a, b, dan c berturut-turut sebanyak 2, 3, dan 5 orang. banyak cara yg mungkin untuk menugaskan kesepuluh guru tersebut adalah... (penanya rodi smp bojonegoro) ada beberapa pertanyaan yg akan saya sampaikan termasuk di atas tadi. mohon bantuannya!

    ReplyDelete
    Replies
    1. Pakai kombi saja

      ${10\choose_2}\cdot{8\choose_3}\cdot{5\choose_5}$

      Delete
  13. kubus abcd.efgh mempunyai panjang rusuk 2 satuan. titik o adalah tiitik potong 2 diagonal pada bidang bcfg. jarak titik o ke bidang bceh adalah....(rodi)

    ReplyDelete
    Replies
    1. Jaraknya $\frac{1}{4}$ panjang diagonal sisinya

      Delete
  14. delapan pensil dengan warna berbeda akan diletakkan dalam 2 kotak mini . banyak cara yg mungkin untuk meletakkan pensil-pensil tadi sehingga tidak ada kotak yg kosong adalah...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalau membaca soalnya, saya pikir kotaknya identik.

      Tinggal bagi kasus, kemungkinan isi kotaknya yaitu (1,7), (2,6), (3,5), (4,4) terus selanjutnya caranya mirip dengan kasus guru di atas

      Delete
  15. bagaimana cara mengenali kalau itu yang disebutkan identik apa nggak? trus aku masih binggung kapan harus menggunakan kombinasi kapan menggunakan permutasi. (rodi)

    ReplyDelete